Торсионная гипотеза

Гипотеза Огга
Поле	Теория чисел
Предполагается	Беппо Леви
Предполагается в	1908
Первое доказательство	Барри Мазур
Первое доказательство в	1977–1978

В алгебраической геометрии и теории чисел гипотеза кручения или гипотеза о равномерной ограниченности точек кручения для абелевых многообразий утверждает, что порядок периодической группы абелева многообразия над числовым полем может быть ограничен с точки зрения размерности многообразия и числа поле. Более сильная версия гипотезы состоит в том, что кручение ограничено в терминах размерности многообразия и степени числового поля. Гипотеза о кручении полностью решена в случае эллиптических кривых .

Эллиптические кривые

С 1906 по 1911 год Беппо Леви опубликовал серию статей, исследующих возможные конечные порядки точек на эллиптических кривых над рациональными числами. ^{[ 1 ]} Он показал, что существует бесконечно много эллиптических кривых над рациональными числами со следующими периодическими группами:

C _n при 1 ≤ n ≤ 10, где C _n обозначает циклическую группу порядка n ;
С ₁₂ ;
C _2n × C ₂ при 1 ≤ n ≤ 4, где × обозначает прямую сумму .

На Международном математическом конгрессе 1908 года в Риме Леви предположил, что это полный список периодических групп для эллиптических кривых над рациональными числами. ^{[ 1 ]} Гипотеза о кручении эллиптических кривых над рациональными числами была независимо переформулирована Трюгве Нагеллом ( 1952 ) и снова Эндрю Оггом ( 1971 ), при этом гипотеза стала широко известна как гипотеза Огга . ^{[ 1 ]}

Эндрю Огг ( 1971 ) установил связь между гипотезой кручения эллиптических кривых над рациональными числами и теорией классических модулярных кривых . ^{[ 1 ]} В начале 1970-х годов работы Жерара Лигоза, Даниэля Куберта , Барри Мазура и Джона Тейта показали, что несколько малых значений n не встречаются как порядки точек кручения на эллиптических кривых над рациональными числами. ^{[ 1 ]} Барри Мазур ( 1977 , 1978 ) доказал гипотезу полного кручения для эллиптических кривых над рациональными числами. Его методы были обобщены Каменным (1992) и Каменным и Мазуром (1995) , которые получили равномерную ограниченность для квадратичных полей и числовых полей степени не выше 8 соответственно. Наконец, Лоик Мерель ( 1996 ) доказал гипотезу об эллиптических кривых над любым числовым полем. ^{[ 1 ]} Он доказал для $K$ числовое поле степени $d=[K:\mathbb {Q} ]$ и эллиптическая кривая $E/K$ что существует оценка порядка периодической группы, зависящая только от степени $|E(K)_{\text{tors}}|\leq B(d)$ . Кроме того, если $P\in E(K)_{\text{tors}}$ является точкой простого порядка $p$ у нас есть $p\leq d^{3d^{2}}.$

Эффективная оценка размера периодической группы в терминах степени числового поля была дана Парентом (1999) . Родитель доказал, что для $P\in E(K)_{\text{tors}}$ точка первостепенного порядка власти $p^{n}$ у нас есть $p^{n}\leq B(d,p)={\begin{cases}129(3^{d}-1)(3d)^{6}&{\text{if }}p=2,\\65(5^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p=3,\\65(3^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p>3.\end{cases}}$ Параметр $B_{\text{max}}(d)=129(5^{d}-1)(3d)^{6}$ мы получаем из структурного результата теоремы Морделла-Вейля , т.е. есть два целых числа $n_{1},n_{2}$ такой, что $E(K)_{\text{tors}}\cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n_{2}\mathbb {Z}$ , грубая, но эффективная граница $B(d)=\left(B_{\text{max}}(d)^{B_{\text{max}}(d)}\right)^{2}.$

Джозеф Остерле в личных заметках 1994 года дал несколько лучшую оценку для пунктов первостепенного значения. $p$ из $p\leq (3^{d/2}+1)^{2}$ , что оказывается полезным для вычислений над полями малого порядка, но одного этого недостаточно для получения эффективной оценки для $|E(K)_{\text{tors}}|$ . Дерикс и др. (2017) представили опубликованную версию результата Остерле.

Для числовых полей малой степени известны более уточненные результаты ( Сазерленд 2012 ). Полный список возможных периодических групп дан для эллиптических кривых над $\mathbb {Q}$ (см. выше), а также для полей квадратичных и кубических чисел. В степени 1 и 2 все возникающие группы встречаются бесконечно часто. То же самое справедливо и для кубических полей. ^{[ 2 ]} за исключением группы C ₂₁ , которая встречается только на одной эллиптической кривой над $K=\mathbb {Q} (\zeta _{9})^{+}$ . Для числовых полей четвертой и пятой степени определены периодические группы, возникающие бесконечно часто. В следующей таблице представлен набор всех простых чисел. $S(d)$ которые на самом деле возникают как порядок точки кручения $P\in E(K)_{\text{tors}}$ где ${\text{Primes}}(q)$ обозначает множество всех простых чисел не выше q ( Derickx et al. (2017) и Khawaja (2023) ).

Простые числа, которые в малой степени встречаются как порядки точек кручения. $d$
$d$	1	2	3	4	5	6	7	8
$S(d)$	${\text{Primes}}(7)$	${\text{Primes}}(13)$	${\text{Primes}}(13)$	${\text{Primes}}(17)$	${\text{Primes}}(19)$	${\text{Primes}}(19)\cup \{37\}$	${\text{Primes}}(23)$	${\text{Primes}}(23)$

В следующей таблице представлен набор всех простых чисел. $S'(d)$ которые возникают бесконечно часто как порядок точки кручения ( Derickx et al. (2017) ).

Простые числа, которые встречаются бесконечно часто как порядки точек кручения в малой степени. $d$
$d$	1	2	3	4	5	6	7	8
$S'(d)$	${\text{Primes}}(7)$	${\text{Primes}}(13)$	${\text{Primes}}(13)$	${\text{Primes}}(17)$	${\text{Primes}}(19)$	${\text{Primes}}(19)$	${\text{Primes}}(23)$	${\text{Primes}}(23)$

Барри Мазур выступил с обзорным докладом о торсионной гипотезе. ^{[ 2 ]} по случаю учреждения профессорского звания Ogg ^{[ 3 ]} в Институте перспективных исследований в октябре 2022 года.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шаппахер и Шуф 1996 , стр. 64–65.
^ Jump up to: ^а ^б Балакришнан, Дженнифер С .; Мазур, Барри; Догра, Нетан (10 июля 2023 г.). «Гипотеза Огга о кручении: пятьдесят лет спустя». arXiv : 2307.04752 [ math.NT ].
^ «Фрэнк К. и Флоренс С. Огг учредили профессорскую должность в IAS» . Институт перспективных исследований . 12 октября 2022 г. Проверено 16 апреля 2024 г.

Библиография

Каменный, Шелдон (1992). «Точки кручения на эллиптических кривых и $q$ -коэффициенты модульных форм». Inventiones Mathematicae . 109 (2): 221–229. Bibcode : 1992InMat.109..221K . doi : /BF01232025 . MR 1172689. 10.1007 S2CID 118750444 .
Каменный, Шелдон; Мазур, Барри (1995). «Рациональное кручение простого порядка в эллиптических кривых над числовыми полями». Астериск . 228 . С приложением А. Гранвилля: 81–100. МР 1330929 .
Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339 . МР 0488287 . S2CID 122609075 .
Мазур, Барри (1978), «Рациональные изогении простой степени», Inventiones Mathematicae , 44 (2), с приложением Дориана Голдфельда : 129–162, Бибкод : 1978InMat..44..129M , doi : 10.1007/BF01390348 , MR 0482230 , S2CID 121987166
Мерель, Лоик (1996). «Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M . дои : 10.1007/s002220050059 . МР 1369424 . S2CID 3590991 .
Нагель, Трюгве (1952). «Проблемы теории исключительных точек на плоских кубиках рода один». 11-й Скандинавский конгресс математиков, Тронхейм, 1949, Осло . Издательство Йохан Грундт Танум [ нет ] . стр. 71–76. OCLC 608098404 .
Огг, Эндрю (1971). «Рациональные точки конечного порядка на эллиптических кривых». Математические изобретения . 22 (2): 105–111. Бибкод : 1971InMat..12..105O . дои : 10.1007/BF01404654 . S2CID 121794531 .
Огг, Эндрю (1973). «Рациональные точки на некоторых эллиптических модулярных кривых». Учеб. Симп. Чистая математика . Труды симпозиумов по чистой математике. 24 : 221–231. дои : 10.1090/pspum/024/0337974 . ISBN 9780821814246 .
Родитель, Пьер (1999). «Эффективные оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на французском языке). 1999 (506): 85–116. arXiv : alg-geom/9611022 . дои : 10.1515/crll.1999.009 . МР 1665681 .
Шаппахер, Норберт ; Шуф, Рене (1996), «Беппо Леви и арифметика эллиптических кривых» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 57–69, doi : 10.1007/bf03024818 , MR 1381581 , S2CID 125072148 , Zbl 0849.01036
Сазерленд, Эндрю В. (2012). «Крученые подгруппы эллиптических кривых над числовыми полями» (PDF) . math.mit.edu .
Дерикс, Мартен; Каменный, Шелдон; Штейн, Уильям; Столл, Майкл (2017). «Точки кручения на эллиптических кривых над числовыми полями малой степени». arXiv : 1707.00364 [ math.NT ].
Хаваджа, Малиха (2023). «Простые числа кручения для эллиптических кривых над числовыми полями степени 8». arXiv : 2304.14284 [ math.NT ].

[FOOTNOTESchappacherSchoof199664–65-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шаппахер и Шуф 1996 , стр. 64–65.

[Balakrishnan_Mazur_2023-2] Jump up to: ^а ^б Балакришнан, Дженнифер С .; Мазур, Барри; Догра, Нетан (10 июля 2023 г.). «Гипотеза Огга о кручении: пятьдесят лет спустя». arXiv : 2307.04752 [ math.NT ].

[IAS_Ogg_Professorship_2022-3] «Фрэнк К. и Флоренс С. Огг учредили профессорскую должность в IAS» . Институт перспективных исследований . 12 октября 2022 г. Проверено 16 апреля 2024 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]