Классическая модульная кривая

В теории чисел классическая модулярная кривая — это неприводимая плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением

Φ п (Икс, y) знак равно 0

,

такой, что $(x, y) = (j (nτ), j (τ))$ — точка на кривой. Здесь $j (τ)$ обозначает $j$ -инвариант .

Кривую иногда называют $X 0 (n)$ , хотя часто это обозначение используется для абстрактной алгебраической кривой , для которой существуют различные модели. Связанный объект — классический модульный полином , многочлен от одной переменной, определяемой как $Φ n (x, x)$ .

Важно отметить, что классические модулярные кривые являются частью более широкой теории модулярных кривых . В частности, оно имеет другое выражение как компактифицированный фактор комплексной верхней полуплоскости $H$ .

Геометрия модульной кривой

Классическая модульная кривая, которую мы назовем $X 0 (n)$ , имеет степень, большую или равную $2 n,$ когда $n > 1$ , с равенством тогда и только тогда, когда $n$ является простым числом. Многочлен $Φ n$ имеет целые коэффициенты и, следовательно, определен над каждым полем. Однако коэффициенты достаточно велики, поэтому вычислительная работа с кривой может быть затруднена. Как многочлен от $x$ с коэффициентами из $Z [y]$ , он имеет степень $ψ (n)$ , где $ψ$ — пси-функция Дедекинда . Поскольку $Φ n (x, y) = Φ n (y, x)$ , $X 0 (n)$ симметричен относительно прямой $y = x$ и имеет особые точки на повторяющихся корнях классического модульного многочлена, где он пересекает себя в сложная плоскость. Это не единственные особенности, и, в частности, когда $n > 2$ , есть две особенности на бесконечности, где $x = 0, y = \infty$ и $x = \infty, y = 0$ , которые имеют только одну ветвь и, следовательно, имеют инвариант узла это настоящий узел, а не просто связь.

Параметризация модульной кривой

Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18$ или $25$ 1 $X 0 (n)$ имеет нулевой род и, следовательно, может быть параметризовано [ ] рациональными функциями. Самый простой нетривиальный пример — $X 0 (2)$ , где:

j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =\left({\frac {\eta (q)}{\eta (q^{2})}}\right)^{24}

есть (с точностью до постоянного члена) ряд Маккея–Томпсона для класса 2В Монстра , а $η$ — эта-функция Дедекинда , тогда

x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}},

y={\frac {(j_{2}+16)^{3}}{j_{2}}}

параметризует $X 0 (2)$ через рациональные функции от $j 2$ . нет необходимости фактически вычислять $j 2$ Для использования этой параметризации ; его можно принять как произвольный параметр.

Сопоставления

Кривая $C$ над $Q$ называется модулярной кривой , если для некоторого $n$ существует сюръективный морфизм $φ : X 0 (n) \to C$ , заданный рациональным отображением с целыми коэффициентами. Знаменитая теорема о модулярности говорит нам, что все эллиптические кривые над $Q$ являются модулярными.

Отображения возникают также в связи с $X0 поскольку (n),$ точки на нем соответствуют некоторым $n$ -изогенным парам эллиптических кривых. Изогения в между двумя эллиптическими кривыми — это нетривиальный морфизм многообразий (определяемых рациональным отображением) между кривыми, который также соблюдает групповые законы и, следовательно, отправляет точку, находящуюся на бесконечности (служащую тождеством группового закона), точка в бесконечности. Такое отображение всегда сюръективно и имеет конечное ядро, порядок которого есть степень изогении. Точки на $X0 соответствуют парам эллиптических кривых , (n)$ допускающих изогению степени $n$ с циклическим ядром.

Когда $X0 имеет род один, он (n)$ сам будет изоморфен эллиптической кривой, которая будет иметь тот же $j$ -инвариант .

Например, $X0 (11)$ имеет $j$ -инвариант $-2 1211 -5 313$ , и изоморфна кривой $y 2 + у = х 3 - х 2 - 10 х - 20$ . Если мы заменим это значение $j$ на $y$ в $X 0 (5)$ , мы получим два рациональных корня и множитель четвёртой степени. Два рациональных корня соответствуют классам изоморфизма кривых с рациональными коэффициентами, которые 5-изогенны указанной кривой, но не изоморфны и имеют другое функциональное поле. В частности, у нас есть шесть рациональных точек: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11 и x=-4096/11, y=-52893159101157376/. 11, плюс три точки, меняющие местами $x$ и $y$ , все на $X 0 (5)$ , что соответствует шести изогениям между этими тремя кривыми.

Если на кривой $y 2 + у = х 3 - х 2 - 10 x - 20$ , изоморфный $X 0 (11)$ заменим

x\mapsto {\frac {x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}}

y\mapsto y-{\frac {(2y+1)(x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-1)}{x^{3}(x-1)^{3}}}

и множителя, мы получаем посторонний множитель рациональной функции от $x$ и кривую $y 2 + у = х 3 - х 2$ , с $j$ -инвариантом $-2 1211 -1$ . Следовательно, обе кривые модулярны уровня $11$ и имеют отображения из $X 0 (11)$ .

По теореме Анри Карайоля , если эллиптическая кривая $E$ модулярна, то ее проводник инвариант изогении, первоначально описанный в терминах когомологий , является наименьшим целым числом $n$ таким, что существует рациональное отображение $φ : X 0 (n) \to E.$ , Поскольку теперь мы знаем, что все эллиптические кривые над $Q$ являются модулярными, мы также знаем, что проводник — это просто уровень $n$ его минимальной модульной параметризации.

Теория Галуа модулярной кривой

Теорию Галуа модулярной кривой исследовал Эрих Хекке . как многочлен от x с коэффициентами из $Z [y]$ Модульное уравнение $Φ0 рассматриваемое (n),$ многочленом степени $ψ (n)$ от $x$ , корни которого порождают расширение Галуа Q $, является (y)$ . В случае $X 0 (p)$ с $p$ простым числом, где характеристика поля не равна $p$ , Галуа группа $Q (x, y)/ Q (y)$ равна $PGL(2, p)$ , проективная общая линейная группа группа проективной дробно-линейных преобразований прямой поля из $p$ элементов, имеющей $p + 1$ точек, степени $X 0 (p)$ .

Это расширение содержит алгебраическое расширение $F / Q$ , где если $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ в обозначениях Гаусса тогда:

F=\mathbf {Q} \left({\sqrt {p^{*}}}\right).

Если мы расширим поле констант до $F$ , у нас теперь будет расширение с помощью группы Галуа $PSL(2, p)$ , проективной специальной линейной группы поля с $p$ элементами, которая является конечной простой группой. Специализируя $y$ получить бесконечное количество примеров полей с группой Галуа $PSL(2, p)$ над $F$ и $PGL(2, p)$ над $Q.$ на конкретном элементе поля, мы можем, за пределами тонкого набора ,

Когда $n$ не является простым числом, группы Галуа можно анализировать с точки зрения множителей $n$ как сплетения .

См. также

Ссылки

Хекке, Эрих (1935), «Уникальное определение функций модуля q-й степени по алгебраическим свойствам» , Mathematical Annals , 111 : 293–301, doi : 10.1007/BF01472221 , перепечатано в Mathematical Works , третье издание, Vandenhoeck & Ruprecht , Гёттинген, 1983, 568-576.
Энтони Кнапп, Эллиптические кривые , Принстон, 1992 г.
Серж Ланг , Эллиптические функции , Аддисон-Уэсли, 1973 г.
Горо Шимура, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Принстон, 1972 г.

Внешние ссылки

Последовательность OEIS A001617 (Род модульной группы Gamma_0(n). Или род модульной кривой X_0(n))
[2] Коэффициенты $X 0 (n)$