Проводник эллиптической кривой

В математике проводником эллиптической кривой над полем рациональных чисел (или, в более общем плане, локальным или глобальным полем ) является интегральный идеал , аналогичный проводнику Артина Галуа представления . Он задается как произведение простых идеалов вместе с соответствующими показателями, которые кодируют разветвление в расширениях полей , порожденных точками конечного порядка в групповом законе эллиптической кривой . Простые числа, участвующие в проводнике, являются как раз простыми числами плохой редукции кривой: это критерий Нерона–Огга–Шафаревича .

Формула Огга выражает проводник через дискриминант и количество компонентов специального волокна в локальном поле, которое можно вычислить с помощью алгоритма Тейта .

История

Проводник эллиптической кривой над локальным полем был неявно изучен (но не назван) Оггом (1967) в виде целочисленного инварианта ε+δ, который позже оказался показателем степени проводника.

Проводник эллиптической кривой над рациональными числами был введен и назван Вейлем (1967) как константа, появляющаяся в функциональном уравнении ее L-ряда , аналогично тому, как проводник глобального поля появляется в функциональном уравнении ее дзета-ряда. функция. Он показал, что его можно записать в виде произведения простых чисел с показателями порядка (Δ) − µ + 1, что по формуле Огга равно ε + δ. Аналогичное определение работает для любого глобального поля. Вейль также предположил, что проводник равен уровню модулярной формы, соответствующей эллиптической кривой.

Серр и Тейт (1968) распространили теорию на проводники абелевых многообразий .

Определение

Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над локальным полем K , а p — идеал кольца целых чисел поля K. простой Рассмотрим минимальное уравнение для E : обобщенное уравнение Вейерштрасса , коэффициенты которого p оценкой дискриминанта ν _p -целые и с минимально возможной (∆). Если дискриминант представляет собой p -единицу, то E имеет хорошую редукцию в точке p , а показатель степени проводника равен нулю.

Мы можем записать показатель f проводника как сумму ε + δ двух слагаемых, соответствующих ручному и дикому ветвлению. Часть ручного ветвления ε определяется в терминах типа редукции: ε=0 для хорошей редукции, ε=1 для мультипликативной редукции и ε=2 для аддитивной редукции. Член дикого ветвления δ равен нулю, если p не делит 2 или 3, а в последних случаях он определяется в терминах дикого ветвления расширений K точками деления E . по формуле Серра

$\delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).$

Здесь M — группа точек на эллиптической кривой порядка l для простого l , P — представление Свона , а G — группа Галуа конечного расширения K такого, что точки M определены над ней (так что G действует на М )

Формула Огга

Показатель степени проводника связан с другими инвариантами эллиптической кривой формулой Огга:

$f_{\mathbf {p} }=\nu _{\mathbf {p} }(\Delta )+1-n\ ,$

где n — число компонент (без учета кратностей) особого слоя минимальной модели Нерона для E. (иногда это используется как определение проводника).

Первоначальное доказательство Огга использовало множество проверок в каждом конкретном случае, особенно в характеристиках 2 и 3. Сайто (1988) дал единообразное доказательство и обобщил формулу Огга на более общие арифметические поверхности.

Мы также можем описать ε через оценку j-инварианта ν _p ( j ): он равен 0 в случае хорошей редукции; в противном случае это 1, если ν _p ( j ) < 0, и 2, если ν _p ( j ) ≥ 0.

Глобальный проводник

Пусть E определенная над числовым полем K. — эллиптическая кривая , Глобальный проводник — это идеал, заданный произведением простых чисел K

$f(E)=\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{f_{\mathbf {p} }}\ .$

Это конечное произведение, поскольку простые числа плохой редукции содержатся в множестве простых делителей дискриминанта любой модели для E с глобальными целыми коэффициентами.

Ссылки

• Кремона, Джон (1997). Алгоритмы для модульных эллиптических кривых (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59820-6 .
• Хусмеллер, Дейл (2004). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике. Том. 111 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95490-2 .
• Нерон, Андре (1964), «Минимальные модели абелевых многообразий локальных и глобальных тел» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке), 21 : 5–128, doi : 10.1007/BF02684271 , ISSN   1618-1913 , MR   0179172 , S2CID   120802890 , Збл   0132.41403
• Огг, AP (1967), «Эллиптические кривые и дикое ветвление», American Journal of Mathematics , 89 (1): 1–21, doi : 10.2307/2373092 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373092 , MR   0207694 , Zbl   0147.39803
• Сайто, Такеши (1988), «Проводник, дискриминант и формула Нётер арифметических поверхностей», Duke Math. J. , 57 (1): 151–173, doi : 10.1215/S0012-7094-88-05706-7 , MR   0952229
• Серр, Жан-Пьер ; Тейт, Джон (1968), «Хорошее сокращение абелевых многообразий», Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 492–517, doi : 10.2307/1970722 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970722 , MR   0236190 , Zbl   0172.46101
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 151. Шпрингер-Верлаг. ISBN  0-387-94328-5 .
• Сильверман, Джозеф Х .; Тейт, Джон (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-97825-9 .
• Джон Тейт (1974). «Арифметика эллиптических кривых» . Математические изобретения . 23 (3–4): 179–206. дои : 10.1007/BF01389745 . S2CID   120008651 . Збл   0296.14018 .
• Вейль, Андре (1967), «Об определении рядов Дирихле функциональными уравнениями», Ann. , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551 , MR   0207658 , S2CID   120553723

Внешние ссылки

• Данные эллиптических кривых - таблицы эллиптических кривых по Q, перечисленные по проводникам, вычисленные Джоном Кремоной.