Дирижер абелевой разновидности

В математике , в диофантовой геометрии , проводник абелева многообразия, определенного над локальным или глобальным полем F, является мерой того, насколько «плохой» является плохая редукция в некотором простом числе. Это связано с разветвлением поля, создаваемого точками кручения .

Определение

Для абелева многообразия A, полем F целых чисел R , рассмотрим модель Нерона A определенного над , которая является «наилучшей возможной» моделью A, определенной над R. , как указано выше, с кольцом Эту модель можно представить в виде схемы над

Спецификация( р )

(ср. спектр кольца ), для которого общий слой, построенный с помощью морфизма

Спец( F ) → Спец( R )

возвращает А. ​Пусть А ⁰ обозначают открытую схему подгрупп модели Нерона, слоями которой являются компоненты связности. Для максимального идеала кольца R с полем вычетов k A P ⁰ _k — групповое многообразие над k , следовательно, расширение абелева многообразия с помощью линейной группы. Эта линейная группа является расширением тора унипотентной группой . Пусть u _P — размерность унипотентной группы, а t _P — размерность тора. Порядок проводника в точке P равен

$f_{P}=2u_{P}+t_{P}+\delta _{P},\,$

где $\delta _{P}\in \mathbb {N}$ является мерой дикой разветвленности. Когда F — числовое поле, идеал проводника A определяется формулой

$f=\prod _{P}P^{f_{P}}.$

Характеристики

• A имеет хорошую редукцию в точке P тогда и только тогда, когда $u_{P}=t_{P}=0$ (что подразумевает $f_{P}=\delta _{P}=0$).
• A имеет полустабильную редукцию тогда и только тогда, когда $u_{P}=0$ (потом еще раз $\delta _{P}=0$).
• Если A приобретает полустабильную редукцию над расширением Галуа F степени, простой с p , характеристикой вычета в точке P , то δ _P = 0.
• Если $p>2d+1$, где d — размерность A , тогда $\delta _{P}=0$.
• Если $p\leq 2d+1$ и F — конечное расширение $\mathbb {Q} _{p}$ степени ветвления $e(F/\mathbb {Q} _{p})$, существует верхняя граница, выражаемая через функцию $L_{p}(n)$, который определяется следующим образом:

Писать $n=\sum _{k\geq 0}c_{k}p^{k}$ с $0\leq c_{k}<p$ и установить $L_{p}(n)=\sum _{k\geq 0}kc_{k}p^{k}$. Затем

$(*)\qquad f_{P}\leq 2d+e(F/\mathbb {Q} _{p})\left(p\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor +(p-1)L_{p}\left(\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor \right)\right).$

Далее для каждого $d,p,e$ с $p\leq 2d+1$ есть поле $F/\mathbb {Q} _{p}$ с $e(F/\mathbb {Q} _{p})=e$ и абелева разновидность $A/F$ размера $d$ так что $(*)$ является равенством.

Ссылки

• С. Ланг (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 70–71 . ISBN  3-540-61223-8 .
• Ж.-П. Серр; Дж. Тейт (1968). «Хорошая редукция абелевых многообразий». Энн. Математика . 88 (3). Анналы математики, Vol. 88, № 3: 492–517. дои : 10.2307/1970722 . JSTOR   1970722 .