Гипотеза abc Массера Остерле и пытается как можно больше сказать о повторяющихся простых множителях в уравнении a + b = c . Например, 3 + 125 = 128, но степени простых чисел здесь исключительные.
Метод Шаботи , основанный на p -адических аналитических функциях, представляет собой специальное приложение, но способен доказать случаи гипотезы Морделла для кривых, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развил идеи метода Торальфа Скулема для алгебраического тора . (К другим старым методам решения диофантовых задач относится метод Рунге .)
Диофантова размерность поля — это наименьшее натуральное число k , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу Ck : то есть такое, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда N > д к . Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1. [11]
Дискриминант точки
Дискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки P на алгебраическом многообразии V, определенном над числовым полем K : геометрический (логарифмический) дискриминант [12] d ( P ) и арифметический дискриминант , определенный Войтой. [13] Разницу между ними можно сравнить с разницей между родом сингулярной кривой и геометрическим родом десингуляризации арифметическим . [13] Арифметический род больше геометрического рода, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение аналогичных границ, включающих геометрический род, имело бы значительные последствия. [13]
В девятнадцатом веке стало понятно, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогию с аффинным координатным кольцом алгебраической кривой или компактной римановой поверхности, с удаленной точкой или более, что соответствует «бесконечным местам» числового поля. Эта идея более точно закодирована в теории, согласно которой все глобальные поля следует рассматривать на одной и той же основе. Идея идет дальше. Таким образом, эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют некоторые весьма строгие аналогии с эллиптическими кривыми над числовыми полями.
Принцип Хассе гласит, что растворимость в глобальном поле такая же, как и растворимость во всех соответствующих локальных полях . Одна из основных целей диофантовой геометрии — классифицировать случаи, когда справедлив принцип Хассе. Обычно это касается большого числа переменных, когда степень уравнения остается фиксированной. Принцип Хассе часто связывают с успехом метода круга Харди-Литтлвуда . Когда метод круга работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, такую как асимптотическое число решений. Уменьшение количества переменных усложняет метод круга; поэтому нарушения принципа Хассе, например, для кубических форм с малым числом переменных (и в частности для эллиптических кривых как кубических кривых ), на общем уровне связаны с ограничениями аналитического подхода.
Хассе – Потому что L-функция
L-функция Хассе -Вейля , иногда называемая глобальной L-функцией, представляет собой произведение Эйлера, образованное из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функций остаются в значительной степени в области гипотез, а доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры является прорывом. Философия Ленглендса во многом дополняет теорию глобальных L-функций.
Функция высоты
Функция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений. [17]
Бесконечный спуск был Пьера де Ферма классическим методом для решения диофантовых уравнений. Это стало одной половиной стандартного доказательства теоремы Морделла-Вейля, а другая часть представляла собой аргумент с функциями высоты (см.). Спуск — это что-то вроде деления на два в группе главных однородных пространств (часто называемых «спусками», когда они записаны уравнениями); в более современных терминах в группе когомологий Галуа , конечность которой нужно доказать. См. группу Зельмера .
Энрико Бомбьери (размерность 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс выдвинули гипотезу, что алгебраические многообразия общего типа не имеют плотных по Зарисскому подмножествов K -рациональных точек, поскольку K - конечно порожденное поле. В этот круг идей входит понимание аналитической гиперболичности и гипотезы Ланга о ней, а также гипотезы Войты. Аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами — это такое, в которое не существует голоморфного отображения всей комплексной плоскости , которое не было бы постоянным. Примеры включают компактные римановы поверхности рода g > 1. Ланг предположил, что V аналитически гиперболично тогда и только тогда, когда все подмногообразия имеют общий тип. [19]
Линейный тор
Линейный тор — это геометрически неприводимая по Зарисскому подгруппа аффинного тора (произведение мультипликативных групп). [20]
Гипотеза Морделла теперь является теоремой Фалтингса и утверждает, что кривая рода не менее двух имеет только конечное число рациональных точек. Гипотеза о равномерности утверждает, что должна быть равномерная граница количества таких точек, зависящая только от рода и области определения.
Теорема Морделла-Вейля является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелева многообразия A над числовым полем K группа A ( K ) является конечно порожденной абелевой группой . Первоначально это было доказано для числовых полей K , но распространяется на все конечно порожденные поля.
Морделлик сорт
Морделлово многообразие — это алгебраическое многообразие, которое имеет лишь конечное число точек в любом конечно порожденном поле. [25]
Наивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел — это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученного умножением на наименьший общий знаменатель . Это можно использовать для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена. [26]
Символ Нерона
Символ Нерона представляет собой бимультипликативную пару между дивизорами и алгебраическими циклами абелева многообразия , используемую в формулировке Нерона высоты Нерона – Тейта как суммы локальных вкладов. [27] [28] [29] Глобальный символ Нерона, который представляет собой сумму локальных символов, представляет собой всего лишь отрицательный результат пары высот. [30]
Высота Нерона – Тейта
Высота Нерона -Тейта (также часто называемая канонической высотой ) на абелевом многообразии A представляет собой функцию высоты (см.), которая по существу является внутренней и является точной квадратичной формой , а не приблизительно квадратичной относительно сложения на A как обеспечивается общей теорией высот. Его можно определить с общей высоты предельным процессом; есть еще формулы, в том смысле, что это сумма местных вкладов. [30]
Неванлинна инвариант
обильного Инвариант Неванлинны дивизора D на нормальном проективном многообразии X — это действительное число, которое описывает скорость роста числа рациональных точек на многообразии относительно вложения, определяемого дивизором. [31] Он имеет формальные свойства, аналогичные абсциссе сходимости дзета-функции высоты , и предполагается, что они по существу одинаковы. [32]
Абелево многообразие A размерности d имеет обычную редукцию в простом числе p, если оно имеет хорошую редукцию в точке p и, кроме того, p -кручение имеет ранг d . [33]
Полный идеал в числовом поле K является формальным произведением дробного идеала и K вектора положительных действительных чисел с компонентами, индексированными бесконечными позициями K . [34] A replete divisor is an Arakelov divisor . [4]
Специальное множество в алгебраическом многообразии — это подмножество, в котором можно было бы ожидать найти много рациональных точек. Точное определение варьируется в зависимости от контекста. Одним из определений является замыкание Зарисского объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; альтернативно можно получить изображения абелевых многообразий; [36] другое определение — это объединение всех подмногообразий, не принадлежащих к общему типу. [19] Для абелевых многообразий определением будет объединение всех транслятов собственных абелевых подмногообразий. [37] Для комплексного многообразия голоморфное специальное множество — это замыкание Зарисского образов всех непостоянных голоморфных отображений из C . Ланг предположил, что аналитические и алгебраические специальные множества равны. [38]
Теорема о подпространстве
Шмидта Теорема о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей. Количественная форма теоремы, в которой число подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликкевеем (1977), чтобы обеспечить более общие абсолютные значения в числовых полях . Теорему можно использовать для получения результатов по диофантовым уравнениям , таких как теорема Зигеля о целых точках и решение S-единичного уравнения . [39]
Кривая Тейта — это особая эллиптическая кривая над p-адическими числами, введенная Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. Хорошая редукция ).
Tsen rank
Ранг Цен области , названный в честь К.С. Цена , который представил свое исследование в 1936 году. [40] — наименьшее натуральное число i , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу T i : то есть такое, что любая система полиномов без постоянного члена степени d j от n переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда n > Σ d j я . Алгебраически замкнутые поля имеют нулевой ранг Цен. Ранг Цен больше или равен диофантовой размерности , но неизвестно, равны ли они, за исключением случая нулевого ранга. [41]
Гипотеза о равномерности утверждает, что для любого числового поля K и g > 2 существует равномерная граница B ( g , K ) количества K -рациональных точек на любой кривой рода g . Гипотеза вытекает из гипотезы Бомбьери-Ланга . [42]
Маловероятное пересечение
Маловероятное пересечение — это алгебраическая подгруппа, пересекающая подмногообразие тора или абелева многообразия в множестве необычно большой размерности, например, которое участвует в гипотезе Морделла-Лэнга . [43]
Гипотезы Вейля — три весьма влиятельные гипотезы Андре Вейля , обнародованные около 1949 года, о локальных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. После доказательства остаются расширения сравнения теоремы Шевалле – Уорнинга , основанные на элементарном методе, и улучшения оценок Вейля , например, лучшие оценки для кривых числа точек, чем полученные из основных принципов Вейля. теорема 1940 года. Последняя оказывается интересной для кодов алгебраической геометрии .
Распределения Вейля на алгебраических многообразиях
Андре Вейль в 1920-х и 1930-х годах предложил теорию разложения алгебраических чисел по простым идеалам в координатах точек алгебраических многообразий. Оно осталось несколько недостаточно развитым.
Машина высот Вейля — это эффективная процедура присвоения функции высоты любому дивизору на гладком проективном многообразии над числовым полем (или делителям Картье на негладких многообразиях). [47]
^ Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-96311-1 . → Содержит английский перевод Faltings (1983).
^ Рейно, Мишель (1983). «Sous-variétés d'une variété abélienne et point de torsion». Ин Артин, Майкл ; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И.Р. Шафаревичу к его шестидесятилетию. Том. Я: Арифметика . Прогресс в математике (на французском языке). Том. 35. Биркхаузер-Бостон. стр. 327–352. Збл 0581.14031 .
^ Росслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина-Мамфорда». Ван дер Гир, Джерард; Мунен, Бен; Шуф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля — два параллельных мира . Прогресс в математике. Том. 239. Биркхойзер. стр. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4 . Збл 1098.14030 .
^ Это упоминается в Дж. Тейта «Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» книге (О.Ф. Шиллинг, редактор), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).
^ Цен, К. (1936). «О ступенчатой теории квазиалгебраического замыкания коммутативных полей». Дж. Китайская математика . 171 :81–92. Например, 0015.38803 .
^ Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. стр. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4 .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 9f565506fc4f247fd3faeefdeb6e0fe5__1716688980 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9f/e5/9f565506fc4f247fd3faeefdeb6e0fe5.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Glossary of arithmetic and diophantine geometry - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)