Кривая Ферма

Кубическая поверхность Ферма $X^{3}+Y^{3}=Z^{3}$

В математике — кривая Ферма это алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости, определенная в однородных координатах ( X : Y : Z ) уравнением Ферма:

$X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\$

Следовательно, в терминах аффинной плоскости его уравнение имеет вид:

$x^{n}+y^{n}=1.\$

Целочисленное решение уравнения Ферма будет соответствовать решению аффинного уравнения с ненулевым рациональным числом , и наоборот. Но благодаря Великой теореме Ферма теперь известно, что (при n > 2) не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма; следовательно, кривая Ферма не имеет нетривиальных рациональных точек.

Кривая Ферма неособая и имеет род :

$(n-1)(n-2)/2.\$

Это означает род 0 для случая n = 2 ( коника ) и род 1 только для n = 3 ( эллиптическая кривая ). Якобианская разновидность кривой Ферма подробно изучена. Оно изогенно произведению простых абелевых многообразий со сложным умножением .

Кривая Ферма также имеет гональность :

$n-1.\$

Сорта Ферма

Уравнения в стиле Ферма с большим количеством переменных определяют как проективные многообразия Ферма многообразия .

Связанные исследования

• Бейкер, Мэтью; Гонсалес-Хименес, Энрике; Гонсалес, Хосеп; Пунен, Бьорн (2005), «Результаты конечности для модульных кривых рода не менее 2», American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325–1387, arXiv : math/0211394 , doi : 10.1353/ajm.2005.0037 , JSTOR   40068023 , S2CID   8578601
• Гросс, Бенедикт Х.; Рорлих, Дэвид Э. (1978), «Некоторые результаты о группе Морделла-Вейля якобиана кривой Ферма» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi : 10.1007/BF01403161 , S2CID   121819622 , заархивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2011 г.
• Классы, Мэтью Дж.; Дебарр, Оливье (1994), «Точки низкой степени на гладких плоских кривых», Журнал чистой и прикладной математики , 1994 (446): 81–88, arXiv : alg-geom/9210004 , doi : 10.1515/crll.1994.446. 81 , S2CID   7967465
• Цермиас, Павлос (2004), «Точки низкой степени на кривых Гурвица-Клейна», Transactions of the American Mathematical Society , 356 (3): 939–951, doi : 10.1090/S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR   1195002