Детский рисунок

В математике — детский рисунок это тип графического вложения, используемый для изучения римановых поверхностей и для обеспечения комбинаторных инвариантов для действия абсолютной группы Галуа рациональных чисел . Название этих вложений по-французски означает «детский рисунок»; во множественном числе это либо dessins d'enfant , «детские рисунки», либо dessins d'enfants , «детские рисунки».

Детский рисунок — это граф которого , вершины попеременно окрашены в черный и белый цвета, встроенный в ориентированную поверхность , которая во многих случаях является просто плоскостью . Чтобы раскраска существовала, граф должен быть двудольным . Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы вращения — циклического порядка ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, идущим по часовой стрелке по поверхности в небольшом цикле. вокруг вершины.

Любой рисунок может обеспечить поверхность, в которую он встроен, структурой, напоминающей риманову поверхность. Естественно задать вопрос, какие римановы поверхности возникают таким образом? Ответ дает теорема Белого , которая утверждает, что римановы поверхности, которые можно описать рисунками, — это именно те, которые можно определить как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел . Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым также преобразует лежащие в их основе рисунки.

Более подробное рассмотрение этого вопроса см. в Schneps (1994) или Lando & Zvonkin (2004) .

История

19 век

Ранние протоформы детских рисунков появились еще в 1856 году в икосианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона ; говоря современным языком, это гамильтоновы пути на икосаэдрическом графе.

Узнаваемые современные рисунки детей и функции Белого использовал Феликс Кляйн . Кляйн назвал эти диаграммы Linienzüge (немецкий язык, множественное число от Linienzug «линия-дорожка», также используется как термин для обозначения многоугольника ); он использовал белый кружок для прообраза 0 и «+» для прообраза 1, а не черный кружок для 0 и белый кружок для 1, как в современных обозначениях. Он использовал эти диаграммы, чтобы построить 11-кратное накрытие сферы Римана самой по себе с группой монодромии. $PSL(2,11)$, следуя более ранним конструкциям 7-кратного накрытия с монодромией $PSL(2,7)$ связан с квартикой Клейна . Все это было связано с его исследованиями геометрии уравнения пятой степени и группы $A_{5}=PSL(2,5)$, собранные в его знаменитых «Лекциях об икосаэдре» 1884/88 года . Много позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством явления троицы .

20 век

Dessins d'enfant в их современной форме были заново открыты более века спустя и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его программе Esquisse d'un . Заппони (2003) цитирует Гротендика относительно его открытия действия Галуа на детские рисунки:

Это технически столь простое открытие произвело на меня очень сильное впечатление и представляет собой решающий поворот в ходе моих размышлений, смещение, в частности, моего центра интереса к математике, который вдруг оказался сильно сфокусированным. Я не верю, что какой-либо математический факт когда-либо поразил меня так сильно, как этот, и не оказал сопоставимого психологического воздействия. Это, конечно, происходит из-за очень знакомой, нетехнической природы рассматриваемых объектов, совершенно наглядным примером которых является любой рисунок ребенка, нацарапанный на листе бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан, не поднимая карандаша). К такому рисунку мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются вверх дном, как только мы добавляем еще одну черту.

Часть теории уже была независимо разработана Джонсом и Сингерманом (1978) незадолго до Гротендика. Они очерчивают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на римановых поверхностях и группами с некоторыми выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их представление о карте соответствует конкретному экземпляру детского рисунка. Более поздняя работа Брайанта и Сингермана (1985) распространила рассмотрение на поверхности с границей.

Римановы поверхности и пары Белого

Комплексные числа вместе со специальной точкой, обозначенной как $\infty$, образуют топологическое пространство, известное как сфера Римана . Любой полином и, в более общем смысле, любая рациональная функция. $p(x)/q(x)$ где $p$ и $q$ являются полиномами, преобразует сферу Римана, отображая ее в себя. Рассмотрим, например, функция рациональная $$f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.$$

Детский рисунок, возникающий из рациональной функции $f=-(x-1)^{3}(x-9)/64x$. Не в масштабе.

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальным гомеоморфизмом : оно взаимно однозначно отображает небольшой диск с центром в любой точке в другой диск. Однако в некоторых критических точках отображение более сложное и отображает диск с центром в точке в $k$-к-одному пути к его изображению. Число $k$ известен как степень критической точки, а преобразованное изображение критической точки известно как критическое значение . Пример, приведенный выше, $f$, имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые сами по себе не являются критическими, но отображаются в одно из критических значений, также включены; они обозначены степенью один.)

критическая точка х	критическое значение f ( x )	степень
$0$	$\infty$	$1$
$1$	$0$	$3$
$9$	$0$	$1$
$3+2{\sqrt {3}}\approx 6.464$	$1$	$2$
$3-2{\sqrt {3}}\approx -0.464$	$1$	$2$
$\infty$	$\infty$	$3$

Детский рисунок можно составить из $f$ помещая черные точки на прообразы 0 (то есть на 1 и 9), белые точки на прообразы 1 (то есть на $3\pm 2{\sqrt {3}}$) и дуги на прообразах отрезка [ 0, 1]. Этот сегмент линии имеет четыре прообраза: два вдоль отрезка линии от 1 до 9 и два, образующие простую замкнутую кривую , которая зацикливается от 1 до самой себя, окружая 0; Получившийся рисунок показан на рисунке.

Преобразование детского рисунка в рисунок склейки полупространств римановой поверхности путем включения точек на бесконечности.

В другом направлении из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания расположения критических точек, можно сформировать компактную риманову поверхность и отображение этой поверхности в риманову сферу, эквивалентное отображению, из которого нарисован рисунок. был построен изначально. Для этого поместите точку с надписью $\infty$ внутри каждой области рисунка (показано красными точками на втором рисунке) и триангулируйте каждую область, соединяя эту точку с черной и белой точками, образующими границу области, соединяясь несколько раз с одной и той же черной или белой точкой, если он появляется несколько раз на границе региона. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины, помеченные 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или $\infty$. Для каждого треугольника замените полуплоскость либо верхнюю полуплоскость треугольника с числами 0, 1 и $\infty$ в порядке против часовой стрелки или нижнюю полуплоскость для треугольника, в котором они расположены по часовой стрелке, и для каждой соседней пары треугольников склейте соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ, обозначенной метками вершин. Полученную риманову поверхность можно отобразить в сферу Римана, используя тождественное отображение внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детский рисунок сложился из $f$ достаточно, чтобы описать $f$ себя с точностью до биголоморфизма . Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность лишь как многообразие сложной структуры; он не строит вложения этого многообразия как алгебраической кривой в комплексную проективную плоскость , хотя такое вложение всегда существует.

Та же конструкция применяется в более общем плане, когда $X$ – любая риманова поверхность и $f$ – функция Белого ; то есть голоморфная функция $f$ от $X$ к сфере Римана, имеющей только 0, 1 и $\infty$ как критические значения. Пара $(X,f)$ этого типа известна как пара Белого . Из любой пары Белого $(X,f)$ можно создать детский рисунок, нарисованный на поверхности $X$, у которого есть свои черные точки на прообразах $f^{-1}(0)$ из 0, его белые точки на прообразах $f^{-1}(1)$ 1, а его края расположены вдоль прообразов $f^{-1}([0,1])$ отрезка прямой $[0,1]$. И наоборот, любой детский рисунок на любой поверхности $X$ может использоваться для определения инструкций склейки набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную $X$; отображение каждого полупространства по тождеству на сферу Римана дает функцию Белого $f$ на $X$, и, следовательно, приводит к паре Белого $(X,f)$. Any two Belyi pairs $(X,f)$ которые приводят к комбинаторно эквивалентным рисункам детей, биголоморфны, а из теоремы Белого следует, что для любой компактной римановой поверхности $X$ определенных над алгебраическими числами , существует функция Белого $f$ и детский рисунок, дающий комбинаторное описание обоих. $X$ и $f$.

Карты и гиперкарты

Триангуляция сферы с группой треугольников (2,3,5), созданная с использованием правильного додекаэдра для построения чистого рисунка.

Триангуляция гиперболической плоскости с группой треугольников (2,3,7), порожденной как универсальное накрытие квартики Клейна

Вершина рисунка имеет теоретико-графовую степень , количество инцидентных ребер, равную ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют вторую степень; рисунки, обладающие тем свойством, что каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми , а соответствующие им функции Белого — чистыми . Когда это происходит, можно описать рисунок с помощью более простого встроенного графа, вершинами которого являются только черные точки и который имеет ребро для каждой белой точки с конечными точками в двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно было бы нарисовать проще, как пару черных точек с ребром между ними и самопетлей на одной из точек. На чистом рисунке обычно рисуют только черные точки, а белые точки оставляют немаркированными; можно восстановить полный рисунок, добавив белую точку в середине каждого края карты.

Таким образом, любое вложение графа в поверхность, каждая грань которой представляет собой диск (то есть топологическую карту), приводит к созданию рисунка, если рассматривать вершины графа как черные точки рисунка и помещать белые точки в середину рисунка. каждое внедренное ребро графа. Если отображение соответствует функции Белого $f$, его двойственная карта (рисунок, сформированный из прообразов отрезка $[1,\infty ]$) соответствует мультипликативному обратному $1/f$.

Нечистый рисунок можно превратить в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из его краев. Соответствующее преобразование пар Белого заключается в замене функции Белого $\beta$ чистой функцией Белого $\gamma =4\beta (1-\beta )$. Можно вычислить критические точки $\gamma$ непосредственно из этой формулы: $\gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)$, $\gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )$, и $\gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})$. Таким образом, $\gamma ^{-1}(1)$ это прообраз под $\beta$ середины отрезка $[0,1]$, а края рисунка образовались из $\gamma$ разделить края рисунка, образованного из $\beta$.

При интерпретации чистого рисунка как карты произвольный рисунок является гиперкартой : то есть рисунком гиперграфа , в котором черные точки представляют вершины, а белые точки представляют гиперребра.

Обычные карты и группы треугольников

Пять платоновых тел – правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр – рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают свойством, заключающимся в том, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые встречаются друг с другом) может быть переносится к любому другому флагу из-за симметрии поверхности. В более общем смысле, карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг посредством симметрии, называется регулярной картой .

Если для создания чистого рисунка используется обычная карта, а полученный рисунок используется для создания триангулированной римановой поверхности, то края треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения через эти линии создают группу симметрии. называется группой треугольников , для которой треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показан сформированный таким образом набор треугольников, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярное отображение лежит на поверхности , род которой больше единицы, универсальным накрытием поверхности является гиперболическая плоскость , а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, представляет собой (кокомпактную) фуксову группу, представляющую дискретное множество. изометрий гиперболической плоскости. В этом случае стартовой поверхностью является факторизация гиперболической плоскости по конечного индекса подгруппе Γ в этой группе.

И наоборот, если риманова поверхность является фактором $(2,3,n)$ замощение (замощение сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами ${\tfrac {\pi }{2}}$, ${\tfrac {\pi }{3}}$, и ${\tfrac {\pi }{n}}$, соответствующий рисунок представляет собой граф Кэли, заданный генераторами второго и третьего порядка группы, или, что то же самое, мозаикой той же поверхности с помощью $n$-угольники встречаются по три в каждой вершине. Вершины этого мозаики дают черные точки рисунка, центры ребер - белые точки, а центры граней - точки, превышающие бесконечность.

Деревья и полиномы Шабата

Рисунок ребенка, соответствующий секстическому моному. $p(x)=x^{6}$.

Полиномы Чебышева и соответствующие детские рисунки, графы путей поочередного цвета .

Простейшими двудольными графами являются деревья . Любое вложение дерева имеет единственную область и, следовательно, по формуле Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если разместить полюс в точке $\infty$, можно представить в виде многочлена . И наоборот, любой многочлен с конечными критическими значениями 0 и 1 образует функцию Белого от сферы Римана к себе, имеющую единственную бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень многочлена равна количеству ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция Белого известна как полином Шабата , после Джорджа Шабата .

Например, возьмите $p$ быть мономом $p(x)=x^{d}$ имеющий только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба равные нулю . Хотя 1 не является критическим значением для $p$, еще можно интерпретировать $p$ как функция Белого из сферы Римана в себя, поскольку все ее критические значения лежат в множестве $\{0,1,\infty \}$. Соответствующий детский рисунок представляет собой звезду , имеющую одну центральную черную вершину, соединенную с $d$ белые листья ( полный двудольный граф $K_{1,d}$).

В более общем смысле полином $p(x)$ имеющий два критических значения $y_{1}$ и $y_{2}$ можно назвать полиномом Шабата. Такой полином можно нормализовать в функцию Белого с критическими значениями 0 и 1 по формуле $$q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},$$ но может быть удобнее уйти $p$ в ненормализованном виде.

Важным семейством примеров полиномов Шабата являются полиномы Чебышева первого рода: $T_{n}(x)$, которые имеют −1 и 1 в качестве критических значений. Соответствующие рисунки принимают форму графов путей , чередующихся между черными и белыми вершинами, с $n$ края на пути. Из-за связи между полиномами Шабата и полиномами Чебышева сами полиномы Шабата иногда называют обобщенными полиномами Чебышева.

Разным деревьям, как правило, будут соответствовать разные полиномы Шабата, равно как и разные вложения или раскраски одного и того же дерева. С точностью до нормализации и линейных преобразований своего аргумента полином Шабата однозначно определяется на основе раскраски вложенного дерева, но не всегда просто найти полином Шабата, в котором в качестве детского рисунка имеется данное вложенное дерево.

Абсолютная группа Галуа и ее инварианты

Два сопряженных детских рисунка

Полином $$p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,$$ можно превратить в полином Шабата, выбрав $$a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.$$ Два варианта $a$ приводят к двум функциям Белого $f_{1}$ и $f_{2}$. Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку описываются двумя неизоморфными деревьями, показанными на рисунке.

Однако, поскольку эти полиномы определены в поле алгебраических чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {21}})$, они могут быть преобразованы действием абсолютной группы Галуа $\Gamma$ рациональных чисел. Элемент $\Gamma$ который преобразует ${\sqrt {21}}$ к $-{\sqrt {21}}$ преобразует $f_{1}$ в $f_{2}$ и наоборот, и, таким образом, можно сказать, что оно преобразует каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, в другое дерево. В более общем смысле, из-за того, что критическими значениями любой функции Белого являются чистые рациональные числа 0, 1 и $\infty$, эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие $\Gamma$ на любом детском рисунке соответствующим действием на парах Белого; это действие, например, меняет местами два дерева, показанные на рисунке.

По теореме Белого действие $\Gamma$ на рисунках верен (т. е. каждые два элемента $\Gamma$ определить различные перестановки на множестве рисунков), поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о $\Gamma$ сам. В этом свете представляет большой интерес понять, какие рисунки могут превращаться друг в друга под действием $\Gamma$ а что может и не быть. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных и белых узлов: оба имеют черный узел третьей степени, два черных узла второй степени, два белых узла второй степени и три белых узла. узлы первой степени. Это равенство не случайно: всякий раз, когда $\Gamma$ преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одинаковую последовательность степеней. Последовательность степеней — один из известных инвариантов действия Галуа, но не единственный инвариант.

Стабилизатор рисунка – это подгруппа $\Gamma$ состоящая из групповых элементов, оставляющих рисунок неизменным. Ввиду соответствия Галуа между подгруппами $\Gamma$ и полей алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю, полю модулей рисунка . Орбита ; рисунка — это совокупность всех других рисунков, в которые он может быть преобразован из-за инвариантности степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы имеют конечный индекс . Аналогично можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, фиксирующую все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, еще один инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты — это максимальная нормальная подгруппа группы $\Gamma$ содержится в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному расширению $\mathbb {Q}$ который содержит поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассматриваемых в этом разделе, поле модулей орбиты есть $\mathbb {Q} ({\sqrt {21}})$. Две функции Белого $f_{1}$ и $f_{2}$ этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше поля модулей.

Ссылки

• ле Брюн, Ливен (2008), детские рисунки Кляйна и бакибол .
• Брайант, Робин П.; Сингерман, Дэвид (1985), «Основы теории отображений на поверхностях с границей», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 36 (141): 17–41, doi : 10.1093/qmath/36.1.17 , MR   0780347 .
• Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-74022-7 , Збл   1253.30001 .
• Гротендик, А. (1984), План программы
• Гамильтон, WR (17 октября 1856 г.), Письмо Джону Т. Грейвсу «Об Икосиане» . Собрано в Хальберштам, Х.; Ингрэм, RE, ред. (1967), Математические статьи, Vol. III, Алгебра , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 612–625 .
• Джонс, Гарет (1995), «Детские рисунки: двудольные карты и группы Галуа» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B35d : 4, заархивировано из оригинала 8 апреля 2017 года , получено 2 июня 2010 года .
• Джонс, Гарет; Сингерман, Дэвид (1978), «Теория отображений на ориентируемых поверхностях», Труды Лондонского математического общества , 37 (2): 273–307, doi : 10.1112/plms/s3-37.2.273 .
• Кляйн, Феликс (1878–79), «О преобразовании эллиптических функций и решении уравнений пятой степени (О преобразовании эллиптических функций и ...)» , Mathematical Annals , 14 : 13–75 (в Oeuvres, Том 3), doi : 10.1007/BF02297507 , S2CID   121056952 , в архиве. из оригинала 19 июля 2011 г. , получено 2 июня 2010 г.
• Кляйн, Феликс (1878–79), «О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка», Mathematical Annals , 14 : 90–135 (в Oeuvres, Tome 3), doi : 10.1007/BF01677143 , S2CID   121407539 , заархивировано из оригинала на 24 февраля 2012 г. , дата обращения 9 июля 2010 г.
• Кляйн, Феликс (1879), «О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка» , Mathematical Annals , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/BF02086276 , S2CID   120316938 , собрано на стр. 140–165. в Oeuvres, Том 3. Архивировано 19 июля 2011 года в Wayback Machine .
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения , Энциклопедия математических наук: Маломерная топология II, том. 141, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-00203-1 , Збл   1040.05001 . См. особенно главу 2 «Детские рисунки», с. 79–153.
• Шнепс, Лейла , изд. (1994), Теория Гротендика детских рисунков , Серия лекций Лондонского математического общества, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-47821-2 .
• Шнепс, Лейла ; Лочак, Пьер, ред. (1997), Геометрические действия Галуа II. Обратная задача Галуа, пространства модулей и группы классов отображений. Материалы конференции по геометрии и арифметике пространств модулей, Люмини, Франция, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 243, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-59641-6 , Збл   0868.00040 .
• Шаббат, Великобритания; Воеводский В.А. (2007) [1990], «Рисование кривых по числовым полям», в Картье, П .; Иллюзи, Л .; Кац, Нью-Мексико ; Лаумон, Г .; Манин, Ю.И. ; Рибет, К.А. (ред.), Праздник Гротендика, том III , Современная классика березового дома, Birchhouse, стр. стр. 199–227, ISBN.  978-0-8176-4568-7 , Збл   0790.14026 .
• Сингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), «Риманова поверхность однородной конструкции» , Вклад в алгебру и геометрию , 44 (2): 413–430, MR   2017042 , Zbl   1064.14030 .
• Заппони, Леонардо (август 2003 г.), «Что такое детский рисунок» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (7): 788–789, Zbl   1211.14001 .