Belyi's theorem

В математике , теорема Белого об алгебраических кривых утверждает, что любая неособая алгебраическая кривая C , определяемая коэффициентами алгебраических чисел , представляет собой компактную риманову поверхность которая является разветвленным накрытием римановой сферы , разветвленной только в трех точках.

Это результат Г. В. Белого 1979 года. В то время это считалось неожиданным и побудило Гротендика разработать теорию детских рисунков , которая описывает неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами с использованием комбинаторных данных.

Частные верхней полуплоскости

Отсюда следует, что рассматриваемую риманову поверхность можно рассматривать как фактор

Ч /Г

(где H — верхняя полуплоскость , а Γ — подгруппа конечного индекса в модулярной группе ), компактифицированная точками возврата . Поскольку модулярная группа имеет неконгруэнтные подгруппы , это не означает, что любая такая кривая является модулярной кривой .

Функции Белого

Функция Белого — это голоморфное отображение компактной римановой поверхности S в комплексную проективную прямую P ¹ ( C ) разветвлена ​​только по трем точкам, которые после преобразования Мёбиуса можно принять равными $\{0,1,\infty \}$. Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью детских рисунков .

Функции Белого и рисунки детей – но не теорема Белого – восходят, по крайней мере, к работам Феликса Кляйна ; он использовал их в своей статье ( Кляйн 1879 ) для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с группой монодромии PSL(2,11).

Приложения

Теорема Белого представляет собой теорему существования функций Белого и впоследствии широко использовалась в обратной задаче Галуа .

Ссылки

• Серр, Жан Пьер (1997). Лекции по теореме Морделла-Вейля . Аспекты математики. Том 15. Перевод с французского Мартина Брауна из заметок Мишеля Вальдшмидта (Третье изд.). Фридр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг. дои : 10.1007/978-3-663-10632-6 . ISBN  3-528-28968-6 . МР   1757192 .
• Кляйн, Феликс (1879). «О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка» . Математические анналы (на немецком языке). 15 (3–4): 533–555. дои : 10.1007/BF02086276 .
• Белый, Геннадий Владимирович (1980). «Расширения Галуа максимального кругового поля». Математика. СССР Изв . 14 (2). Перевод Нила Коблица : 247–256. дои : 10.1070/IM1980v014n02ABEH001096 . МР   0534593 .

Дальнейшее чтение

• Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-74022-7 , Збл   1253.30001
• Вуши Голдринг (2012), «Объединяющие темы, предложенные теоремой Белого», у Дориана Голдфельда; Джей Йоргенсон; Питер Джонс; Динакар Рамакришнан; Кеннет А. Рибет; Джон Тейт (ред.), Теория чисел, анализ и геометрия. Памяти Сержа Ланга , Springer, стр. 181–214, ISBN.  978-1-4614-1259-5