Теорема существования
В математике — теорема существования это теорема , которая утверждает существование определенного объекта. [1] Это может быть утверждение, начинающееся с фразы « существуют(я) », или это может быть универсальное утверждение, последний квантор которого является экзистенциальным (например, «для всех x , y , ... существуют(а)... "."). В формальных терминах символической логики теорема существования — это теорема с предварительной нормальной формой , включающей квантор существования , хотя на практике такие теоремы обычно излагаются на стандартном математическом языке. Например, утверждение о том, что синусоидальная функция непрерывна всюду, или любая теорема, записанная с помощью большой записи O , можно рассматривать как теоремы, которые являются экзистенциальными по своей природе, поскольку количественную оценку можно найти в определениях используемых понятий.
Споры, восходящие к началу двадцатого века, касаются вопроса чисто теоретических теорем существования, то есть теорем, которые зависят от неконструктивного основополагающего материала, такого как аксиома бесконечности , аксиома выбора или закон исключенного третьего . Такие теоремы не дают никаких указаний на то, как сконструировать (или продемонстрировать) объект, о существовании которого утверждается. С конструктивистской точки зрения такие подходы нежизнеспособны, поскольку приводят к потере математикой своей конкретной применимости. [2] в то время как противоположная точка зрения состоит в том, что абстрактные методы имеют далеко идущие последствия, [ нужны дальнейшие объяснения ] таким образом, каким не может быть численный анализ .
существования « Чистые результаты »
В математике теорема существования является чисто теоретической, если приведенное для нее доказательство не указывает на конструкцию объекта, существование которого утверждается. Такое доказательство неконструктивно. [3] так как весь подход может не поддаваться построению. [4] С точки зрения алгоритмов , чисто теоретические теоремы существования обходят все алгоритмы поиска того, что, как утверждается, существует. Их следует противопоставить так называемым «конструктивным» теоремам существования. [5] которые многие математики-конструктивисты, работающие в области расширенной логики (например, интуиционистской логики ), считают более сильными, чем их неконструктивные аналоги.
Несмотря на это, чисто теоретические результаты существования, тем не менее, повсеместно распространены в современной математике. Например, Джона Нэша оригинальное доказательство существования равновесия Нэша в 1951 году было такой теоремой существования. Конструктивный подход был найден и позже, в 1962 году. [6]
Конструктивистские идеи [ править ]
С другой стороны, произошло значительное прояснение того, что такое конструктивная математика , без появления «главной теории». Например, согласно определениям Эрретта Бишопа , непрерывность такой функции, как sin( x ), должна быть доказана как конструктивная граница модуля непрерывности , а это означает, что экзистенциальное содержание утверждения непрерывности — это обещание, которое может храниться всегда. Соответственно, Бишоп отвергает стандартную идею поточечной непрерывности и предлагает определять непрерывность в терминах «локальной однородной непрерывности». [7] Другое объяснение теоремы существования можно получить из теории типов , в которой доказательство экзистенциального утверждения может быть получено только из термина (который можно рассматривать как содержание вычислений).
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ «Определение теоремы существования | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 29 ноября 2019 г.
- ^ См. раздел о неконструктивных доказательствах статьи « Конструктивное доказательство ».
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема существования» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 г.
- ^ Деннис Э. Хесселинг (6 декабря 2012 г.). Гномы в тумане: восприятие интуиционизма Брауэра в 1920-е годы . Биркхойзер. п. 376. ИСБН 978-3-0348-7989-7 .
- ^ Исаак Рубинштейн; Лев Рубинштейн (28 апреля 1998 г.). Уравнения с частными производными в классической математической физике . Издательство Кембриджского университета. п. 246. ИСБН 978-0-521-55846-4 .
- ^ Шефер, Уве (3 декабря 2014 г.). От леммы Спернера к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах: введение в теоремы о неподвижной точке и их приложения . КИТ Научное издательство. п. 31. ISBN 978-3-7315-0260-9 .
- ^ «Конструктивная математика Бишопа в nLab» . ncatlab.org . Проверено 29 ноября 2019 г.