Шестнадцатая проблема Гильберта

16-я проблема Гильберта была поставлена ​​Давидом Гильбертом на парижской конференции Международного конгресса математиков в 1900 году как часть его списка из 23 задач по математике .

Исходная задача была поставлена ​​как Проблема топологии поверхностей алгебраических кривых и .

На самом деле задача состоит из двух схожих задач в разных разделах математики:

• Исследование взаимного расположения ветвей вещественных алгебраических кривых степени п (и аналогично для алгебраических поверхностей ).
• Определение верхней границы числа предельных циклов в двумерных полиномиальных векторных полях степени n и исследование их взаимного расположения.

Первая проблема для n = 8 пока не решена. Поэтому именно эту проблему обычно имеют в виду, когда говорят о шестнадцатой проблеме Гильберта в реальной алгебраической геометрии . Вторая проблема также остается нерешенной: верхняя оценка числа предельных циклов неизвестна ни при каком п > 1, и именно это обычно подразумевается под шестнадцатой проблемой Гильберта в области динамических систем .

Испанское Королевское математическое общество опубликовало объяснение шестнадцатой проблемы Гильберта.

Первая часть 16-й проблемы Гильберта

В 1876 году Гарнак исследовал алгебраические кривые на вещественной проективной плоскости и обнаружил, что кривые степени n могут иметь не более

${n^{2}-3n+4 \over 2}$

отдельные подключаемые компоненты . Более того, он показал, как строить кривые, достигающие этой верхней границы, и, таким образом, это была наилучшая возможная граница. Кривые с таким количеством компонентов называются М-кривыми .

Гильберт исследовал М-кривые 6-й степени и обнаружил, что 11 компонентов всегда группируются определенным образом. Теперь его задача перед математическим сообществом заключалась в том, чтобы полностью исследовать возможные конфигурации компонентов М-кривых.

Более того, он потребовал обобщения теоремы Гарнака о кривой на алгебраические поверхности и аналогичного исследования поверхностей с максимальным числом компонентов.

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта

Здесь мы будем рассматривать полиномиальные векторные поля в вещественной плоскости, то есть систему дифференциальных уравнений вида:

${dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)$

где P и Q — вещественные многочлены степени n .

Эти полиномиальные векторные поля изучал Пуанкаре , у которого возникла идея отказаться от поиска точных решений системы и вместо этого попытаться изучить качественные особенности совокупности всех возможных решений.

Среди многих важных открытий он обнаружил, что предельные множества таких решений не обязательно должны быть стационарной точкой , а могут быть периодическим решением. Такие решения называются предельными циклами .

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы определить верхнюю границу числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях степени n и, как и в первой части, исследовать их взаимное расположение.

Результаты

показали В 1991/1992 году Юлий Ильяшенко и Жан Экаль , что каждое полиномиальное векторное поле на плоскости имеет только конечное число предельных циклов (в 1981 году было показано, что статья Анри Дюлака 1923 года , в которой утверждается доказательство этого утверждения, содержит пробел). . Это утверждение не очевидно, так как легко построить гладкую (C ^∞ ) векторные поля на плоскости с бесконечным числом концентрических предельных циклов.

Вопрос о том, существует ли конечная верхняя граница H ( n ) для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей степени n, остается нерешенным для любого n > 1. ( H (1) = 0, поскольку линейные векторные поля не имеют предела циклов.) Евгений Ландис и Иван Петровский предложили решение в 1950-х годах, но в начале 1960-х оно оказалось ошибочным. Известны квадратичные плоские векторные поля с четырьмя предельными циклами. Пример численной визуализации четырех предельных циклов в квадратичном плоском векторном поле можно найти здесь. В целом трудности оценки числа предельных циклов путем численного интегрирования обусловлены вложенными предельными циклами с очень узкими областями притяжения, являющимися скрытыми аттракторами , и полустабильными предельными циклами.

Оригинальная постановка задач

В своей речи Гильберт представил проблемы так:

Верхняя граница замкнутых и отдельных ветвей алгебраической кривой степени п была установлена ​​Гарнаком («Математические Анналы», 10); отсюда возникает дальнейший вопрос об относительном положении ветвей в плоскости. Что касается кривых 6-й степени, то я — правда, довольно сложным образом — убедил себя, что 11 ветвей, которые они могут иметь по Гарнаку, никогда не могут быть все разделены, а скорее должна существовать одна ветвь, у которой есть другая ветвь. идущие внутри него, и девять ветвей, идущие снаружи или напротив него. Мне кажется, что тщательное исследование взаимного расположения верхних границ отдельных ветвей представляет большой интерес, а равно и соответствующее исследование числа, формы и положения листов алгебраической поверхности в пространстве - пока не представляется возможным. даже известно, сколько листов максимально может иметь поверхность степени 4 в трехмерном пространстве. (ср. Рон, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Лейпциг, 1886 г.)

Гильберт продолжает:

Следуя этой чисто алгебраической проблеме, я хотел бы поднять вопрос, который, как мне кажется, можно решить тем же методом непрерывной замены коэффициентов и ответ на который имеет такое же значение, как и топология семейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – это вопрос о верхней границе и положении граничных циклов Пуанкаре (пределов циклов) для дифференциального уравнения первого порядка вида:

${dy \over dx}={Y \over X}$

где X , Y — целые рациональные функции n- й степени соответственно. x , y или записано однородно:

$X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0$

где X , Y , Z означают целые, рациональные, однородные функции n- й степени по x , y , z , причем последние следует считать функцией параметра t .

Внешние ссылки

• 16-я проблема Гильберта: вычисление величин Ляпунова и предельных циклов в двумерных динамических системах