Шестая проблема Гильберта
Шестая проблема Гильберта состоит в аксиоматизации тех разделов физики , в которых математика преобладает . Оно встречается в широко цитируемом списке математических задач Гильберта , который он представил в 1900 году. [ 1 ] В общепринятом английском переводе это явное заявление гласит:
- 6. Математическая трактовка аксиом физики. Исследования по основам геометрии ставят задачу: трактовать таким же образом, посредством аксиом, те физические науки, в которых уже сегодня математика играет важную роль; на первом месте стоят теория вероятностей и механика.
Гильберт дал дальнейшее объяснение этой проблемы и ее возможных конкретных форм:
- «Что касается аксиом теории вероятностей, то мне кажется желательным, чтобы их логическое исследование сопровождалось строгим и удовлетворительным развитием метода средних значений в математической физике, и в частности в кинетической теории газов. ...Работы Больцмана над принципами механики ставят перед собой задачу математического развития предельных процессов, там лишь обозначенных, которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения континуумов».
История
[ редактировать ]Сам Дэвид Гильберт посвятил большую часть своих исследований шестой проблеме; [ 3 ] в частности, он работал в тех областях физики, которые возникли после постановки им задачи.
В 1910-е годы небесная механика превратилась в общую теорию относительности . Гильберт и Эмми Нётер активно переписывались с Альбертом Эйнштейном по поводу формулировки теории. [ 4 ]
В 1920-е годы механика микроскопических систем превратилась в квантовую механику . Гильберт при содействии Джона фон Неймана , Л. Нордгейма и Э. П. Вигнера работал над аксиоматическими основами квантовой механики (см. Гильбертово пространство ). [ 5 ] В то же время, но независимо, Дирак сформулировал квантовую механику способом, близким к аксиоматической системе, как это сделал Герман Вейль при содействии Эрвина Шрёдингера .
В 1930-х годах теория вероятностей была поставлена на аксиоматическую основу Андреем Колмогоровым с помощью теории меры .
Начиная с 1960-х годов, после работ Артура Вайтмана и Рудольфа Хаага , современную квантовую теорию поля также можно считать близкой к аксиоматическому описанию.
В 1990-2000-е годы к проблеме «лишь обозначенных там предельных процессов, ведущих от атомистической точки зрения к законам движения континуумов» обращались многие группы математиков. Основные недавние результаты резюмированы Лорой Сен-Раймонд , [ 6 ] Маршалл Слемрод, [ 7 ] Александр Н. Горбань и Илья Карлин . [ 8 ]
Статус
[ редактировать ]Шестой проблемой Гильберта было предложение расширить аксиоматический метод за пределы существующих математических дисциплин, на физику и за ее пределы. Это расширение требует развития семантики физики с формальным анализом понятия физической реальности, что необходимо сделать. [ 9 ] Две фундаментальные теории охватывают большинство фундаментальных явлений физики:
- Квантовая теория поля , [ 10 ] который обеспечивает математическую основу Стандартной модели ;
- Общая теория относительности , которая описывает пространство-время и гравитацию в макроскопическом масштабе.
Гильберт считал общую теорию относительности важной частью фундамента физики. [ 11 ] [ 12 ] Однако квантовая теория поля логически не согласуется с общей теорией относительности, что указывает на необходимость до сих пор неизвестной теории квантовой гравитации , где семантика физики, как ожидается, будет играть центральную роль. Таким образом, шестая проблема Гильберта остается открытой: [ 13 ] Тем не менее, в последние годы он способствовал исследованиям основ физики с особым акцентом на роли логики и точности языка, что привело к некоторым интересным результатам, а именно. прямая реализация принципа неопределенности из определения «производной» Коши и устранение семантического препятствия на пути любой теории квантовой гравитации с аксиоматической точки зрения, [ 14 ] раскрытие логической тавтологии в квантовых тестах принципа эквивалентности [ 15 ] и формальная недоказуемость первого уравнения Максвелла. [ 16 ]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . МР1557926 . Более ранние публикации (в оригинальном немецком языке) появились в Göttinger Nachrichten , 1900, стр. 253–297, и в Archives of Mathematics and Physics , 3rd series, vol. 1 (1901), стр. 44–63, 213–237.
- ^ Горбань, Александр Н.; Карлин, Илья В. (2005). Инвариантные многообразия для физической и химической кинетики . Конспект лекций по физике (ЛНП, т. 660). Берлин, Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/b98103 . ISBN 978-3-540-22684-0 . Архивировано из оригинала 19 августа 2020 г. Альтернативный URL
- ^ Корри, Л. (1997). «Давид Гильберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Архив истории точных наук . 51 (2): 83–198. дои : 10.1007/BF00375141 .
- ^ Зауэр 1999 , с. 6
- ^ ван Хов, Леон (1958). «Вклад фон Неймана в квантовую теорию» . Бык. амер. Математика. Соц . 64 (3): 95–99. дои : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . МР 0092587 . Збл 0080.00416 .
- ^ Сен-Раймонд, Л. (2009). Гидродинамические пределы уравнения Больцмана . Конспект лекций по математике. Том. 1971. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-92847-8 . ISBN 978-3-540-92847-8 .
- ^ Слемрод, М. (2013). «От Больцмана до Эйлера: новый взгляд на шестую проблему Гильберта» . Вычислить. Математика. Приложение . 65 (10): 1497–1501. дои : 10.1016/j.camwa.2012.08.016 . МР 3061719 .
- ^ Горбань, АН; Карлин, И. (2014). «Шестая проблема Гильберта: точные и приближенные гидродинамические многообразия для кинетических уравнений» . Бык. амер. Математика. Соц . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . дои : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
- ^ Горбань, АН (2018). «Шестая проблема Гильберта: бесконечный путь к строгости» . Фил. Пер. Р. Сок. А. 376 (2118): 20170238.arXiv : 1803.03599 . Бибкод : 2018RSPTA.37670238G . дои : 10.1098/rsta.2017.0238 . ПМИД 29555808 .
- ^ Вайтман, А.С. (1976). «Шестая проблема Гильберта: математическая трактовка аксиом физики». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII. Американское математическое общество . стр. 147–240. ISBN 0-8218-1428-1 .
- ^ Гильберт, Дэвид (1915). «Основы физики. (Первое сообщение)» . Новости Общества наук в Геттингене, математико-физический класс . 1915 : 395–407.
- ^ Зауэр 1999
- ^ Тематический выпуск «Шестая проблема Гильберта» . Фил. Пер. Р. Сок. А. 376 (2118). 2018. дои : 10.1098/rsta/376/2118 .
- ^ А. Маджи (2022). «Логико-лингвистическая ошибка Коши, принцип неопределенности Гейзенберга и семантическая дилемма относительно «квантовой гравитации» ». Международный журнал теоретической физики . 61 (3). arXiv : 2204.00418 . дои : 10.1007/s10773-022-05051-8 .
- ^ Маджи, А.; Сардар, Г. (2023). «Научная ценность квантовых тестов принципа эквивалентности в свете шестой проблемы Гильберта». Прамана - J Phys . 97 (1). arXiv : 2301.06327 . дои : 10.1007/s12043-022-02504-x .
- ^ А. Маджи (2023). «Недоказуемость первого уравнения Максвелла в свете условия полноты ЭПР: вычислительный подход с логико-лингвистической точки зрения» . Прамана - J Phys . 61 (4). arXiv : 2310.14930 . дои : 10.1007/s12043-023-02594-1 .
Ссылки
[ редактировать ]- Зауэр, Тилман (1999). «Относительность открытий: первая заметка Гильберта об основах физики». Арх. Хист. Точная наука . 53 (6): 529–575. arXiv : физика/9811050 . Бибкод : 1998физика..11050S . Збл 0926.01004 .
- Вайтман, А.С. (1976). «Шестая проблема Гильберта: математическая трактовка аксиом физики». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII. Американское математическое общество . стр. 147–240. ISBN 0-8218-1428-1 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
