Двадцать третья проблема Гильберта

Двадцать третья проблема Гильберта — последняя из проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . В отличие от других 22 задач Гильберта, его 23-я задача является не столько конкретной «проблемой», сколько стимулом к дальнейшему развитию вариационного исчисления . Его постановка проблемы представляет собой краткое изложение современного состояния (на 1900 год) теории вариационного исчисления с некоторыми вступительными комментариями, осуждающими отсутствие работ по теории вариационного исчисления в середине и конце периода. 19 век.

Исходное заявление

Постановка задачи начинается со следующего абзаца:

До сих пор я вообще говорил о проблемах, насколько это возможно, определенных и частных... Тем не менее, мне хотелось бы закончить общей проблемой, а именно указанием на неоднократно упомянутый в этой лекции раздел математики, который, несмотря на значительное продвижение, данное ему в последнее время Вейерштрассом, не получает той общей оценки, которой, по моему мнению, оно заслуживает, — я имею в виду вариационное исчисление. ^{[ 1 ]}

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление — это область математического анализа , которая занимается максимизацией или минимизацией функционалов , которые представляют собой отображения набора функций на действительные числа . Функционалы часто выражаются в виде определенных интегралов, включающих функции и их производные . Интерес представляют экстремальные функции, которые заставляют функционал достигать максимального или минимального значения, или стационарные функции — те, у которых скорость изменения функционала равна нулю.

Прогресс

После постановки задачи Давид Гильберт , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар среди других внесли значительный вклад в вариационное исчисление. ^{[ 2 ]} Марстон Морс применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . ^{[ 3 ]} Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф.Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . ^{[ 3 ]} Динамическое программирование Ричарда Беллмана является альтернативой вариационному исчислению. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Ссылки

^ Гильберт, Дэвид, «Математические проблемы» Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253–297, и в Архивах математики и физики , (3) 1 (1901), 44–63 и 213–237. Опубликовано в английском переводе Dr. Мэби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437–479 [1] [2] дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten — Nachrichten von der Königl. Общество науки в Геттинген.]
^ ван Брант, Брюс (2004). Вариационное исчисление . Спрингер. ISBN 0-387-40247-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv : math/0402357 .
^ Дмитрий П. Берцекас. Динамическое программирование и оптимальное управление. Афина Сайентифик, 2005.
^ Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении» . Учеб. Натл. акад. Наука . 40 (4): 231–235. Бибкод : 1954PNAS...40..231B . дои : 10.1073/pnas.40.4.231 . ПМК 527981 . ПМИД 16589462 .
^ Кушнер, Гарольд Дж. (2004). «Премия Ричарда Э. Беллмана за контроль над наследием» . Американский совет по автоматическому управлению . Архивировано из оригинала 01 октября 2018 г. Проверено 28 июля 2013 г. См . 2004: Гарольд Дж. Кушнер : относительно динамического программирования: «Вариационное исчисление имело родственные идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».

Дальнейшее чтение

Стампаккья, Гвидо (1976). «Двадцать третья проблема Гильберта: расширение вариационного исчисления». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 611–628. ISBN 0-8218-1428-1 .

[1] Гильберт, Дэвид, «Математические проблемы» Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253–297, и в Архивах математики и физики , (3) 1 (1901), 44–63 и 213–237. Опубликовано в английском переводе Dr. Мэби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437–479 [1] [2] дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten — Nachrichten von der Königl. Общество науки в Геттинген.]

[brunt-2] ван Брант, Брюс (2004). Вариационное исчисление . Спрингер. ISBN 0-387-40247-0 .

[ferguson-3] Jump up to: ^а ^б Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv : math/0402357 .

[4] Дмитрий П. Берцекас. Динамическое программирование и оптимальное управление. Афина Сайентифик, 2005.

[bellman-5] Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении» . Учеб. Натл. акад. Наука . 40 (4): 231–235. Бибкод : 1954PNAS...40..231B . дои : 10.1073/pnas.40.4.231 . ПМК 527981 . ПМИД 16589462 .

[Kushner2004-6] Кушнер, Гарольд Дж. (2004). «Премия Ричарда Э. Беллмана за контроль над наследием» . Американский совет по автоматическому управлению . Архивировано из оригинала 01 октября 2018 г. Проверено 28 июля 2013 г. См . 2004: Гарольд Дж. Кушнер : относительно динамического программирования: «Вариационное исчисление имело родственные идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]