Пятнадцатая проблема Гильберта
Пятнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Проблема состоит в том, чтобы поставить счетное исчисление Шуберта на строгую основу.
Введение
[ редактировать ]Исчисление Шуберта — это теория пересечений XIX века вместе с приложениями к перечислительной геометрии. Обоснование этого исчисления было содержанием 15-й проблемы Гильберта, а также основной темой алгебраической геометрии 20 века. [ 1 ] [ 2 ] В ходе разработки основ теории пересечений Ван дер Варден и Андре Вейль [ 3 ] [ 4 ] связала задачу с определением кольца когомологий H*(G/P) многообразия флагов G/P, где G — группа Ли и P a параболическая подгруппа G.
Аддитивная структура кольца H*(G/P) задается базовой теоремой исчисления Шуберта [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] принадлежит Эресману, Шевалле и Бернштейну-Гельфанду-Гельфанду, утверждающим, что классические классы Шуберта на G/P образуют свободный базис кольца когомологий H*(G/P). Оставшаяся проблема разложения произведений классов Шуберта как линейные комбинации базисных элементов получила название характеристической задачи. [ 8 ] [ 9 ] [ 3 ] Шуберта и рассматривается им как «главная теоретическая проблема перечислительной геометрии». [ 10 ]
Хотя перечислительная геометрия не имела никакой связи с физикой в течение первого столетия своего развития, с тех пор она стала центральным элементом теории струн . [ 11 ]
Постановка задачи
[ редактировать ]Полная исходная постановка задачи выглядит следующим образом:
Задача состоит в том, чтобы строго и с точным определением пределов их действия установить те геометрические числа, которые Шуберт особенно определил на основе так называемого принципа особого положения, или сохранения числа, посредством разработанное им счетное исчисление.
Хотя современная алгебра в принципе гарантирует возможность проведения процессов исключения, тем не менее для доказательства теорем перечислительной геометрии требуется гораздо большее, а именно фактическое проведение процесса исключения в случае уравнения специального вида таким образом, чтобы можно было предвидеть степень конечных уравнений и кратность их решений. [ 1 ]
Исчисление Шуберта
[ редактировать ]Исчисление Шуберта — это раздел алгебраической геометрии, введенный в девятнадцатом веке Германом Шубертом для решения различных счетных задач проективной геометрии (часть перечислительной геометрии ). Она была предшественником нескольких более современных теорий, например характеристических классов , и, в частности, ее алгоритмические аспекты до сих пор представляют интерес.
Объектами, введенными Шубертом, являются клетки Шуберта , которые представляют собой локально замкнутые множества в грассманиане, определяемом условиями инцидентности линейного подпространства в проективном пространстве с заданным флагом . Подробнее см. сорт Шуберт .
По словам Ван дер Вардена [ 3 ] и Андре Вейль [ 4 ] Пятнадцатая проблема Гильберта решена. В частности,
а) характерная задача Шуберта была решена Хайбао Дуанем и Сюэчжи Чжао; [ 12 ]
б) Специальные представления колец Чоу многообразий флагов были разработаны Борелем, Марлином, Билли-Хайманом, Дуань-Чжао и др.; [ 12 ]
в) Основные перечислительные примеры Шуберта. [ 8 ] были проверены Алуффи, Харрисом, Клейманом, Ксамбо и др. [ 13 ] [ 12 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Гильберт, Дэвид, «Математические проблемы» Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253–297, и в «Архивах математики и физики» , (3) 1 (1901), 44–63 и 213–237. Опубликовано в английском переводе Dr. Мэби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 Текст, доступный для просмотра в Интернете Текст в формате PDF два : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
- ^ Ф. Соттиле, Исчисление Шуберта, Математическая энциклопедия Springer
- ^ Jump up to: а б с Варден, Б.Л. ван дер (1930). «Топологическое обоснование счетной геометрии». Математика . 102 (1): 337–362. дои : 10.1007/BF01782350 . МР1512581 . S2CID 177808901 .
- ^ Jump up to: а б Вейль, А. (1962), Основы алгебраической геометрии , Студенческая математическая библиотека, том. 32, Американское математическое общество, MR 0144898.
- ^ Эресманн, К. (1934). «О топологии некоторых однородных пространств» (PDF) . Энн. математики . 35 (2): 396–443. дои : 10.2307/1968440 . JSTOR 1968440 .
- ^ Шевалле, К. (1994). «О клеточных разложениях G/B-пространств». Алгебраические группы и их обобщения: классические методы . Труды симпозиумов по чистой математике. Полет. 56.стр. 1–26. дои : 10.1090/pspum/056.1 . ISBN 9780821815403 .
- ^ И. Н. Бернштейн; И.М. Гельфанд; С. И. Гельфанд (1973). «Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P» . Русская математика. Опросы . 28 (3): 1–26. дои : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 . S2CID 250748691 .
- ^ Jump up to: а б Х. Шуберт, Исчисление счетной геометрии , 1879, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
- ^ Х. Шуберт, Решение проблемы характеристик линейных пространств произвольных размеров , сообщения Математического общества в Гамбурге 1 (1886), 134-155.
- ^ С. Клейман, Рецензия на книгу «Теория пересечений У. Фултона», Bull. АМС, Том 12, № 1 (1985), 137-143. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
- ^ Кац, Шелдон (2006), Перечислительная геометрия и теория струн , Студенческая математическая библиотека, том. 32, Американское математическое общество
- ^ Jump up to: а б с Х. Дуань; С. Чжао (2020). «О проблеме характеристики Шуберта». В Цзюнь Ху; и др. (ред.). Исчисление Шуберта и его приложения в комбинаторике и теории представлений . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 332. стр. 43–71. arXiv : 1912.10745 . дои : 10.1007/978-981-15-7451-1_4 . ISBN 978-981-15-7450-4 . S2CID 209444479 .
- ^ С. Клейман, Теория пересечений и перечислительная геометрия: обзор десятилетия, Proc. Симп. Чистая математика, 46:2, амер. Математика. Соц. (1987), 321–370. https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ два : 10.1090/pspum/046.2
- Клейман, Стивен Л. (1976), «Проблема 15: строгая основа перечислительного исчисления Шуберта», Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974) , Учеб. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXVIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 445–482, MR 0429938 .
- Манин, Ю. И. (1969), «О пятнадцатой проблеме Гильберта», Проблемы Гильберта (рус.) , Издат. «Наука», Москва, стр. 175–181, МР 0254047 .
- Прагач, Петр (1997), «Статус пятнадцатой проблемы Гильберта в 1993 году», Проблемы Гильберта (польский) (Międzyzdroje, 1993) , Варшава: Polsk. Акад. наук, с. 175–184, МР 1632447 .
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
