Восемнадцатая проблема Гильберта

Восемнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, включенных в знаменитый список, составленный в 1900 году математиком Дэвидом Гильбертом . Он задает три отдельных вопроса о решетках и упаковке сфер в евклидовом пространстве.

Группы симметрии в n измерениях

Первая часть проблемы заключается в том, существует ли конечное число существенно различных пространственных групп в $n$-мерное евклидово пространство . На это утвердительно ответил Бибербах .

Анизоэдральная мозаика в 3 измерениях

Титульный лист Буклет Рейнхардта 1928 года, в котором он решил вторую часть задачи.

Вторая часть проблемы спрашивает, существует ли многогранник , который замощает трехмерное евклидово пространство, но не является фундаментальной областью какой-либо пространственной группы; то есть такое, которое замощено, но не допускает изоэдрального (плитка- транзитивного ) замощения. Такие плитки теперь известны как анизоэдральные . Задавая задачу в трех измерениях, Гильберт, вероятно, предполагал, что такой плитки не существует в двух измерениях; это предположение впоследствии оказалось неверным.

Первая такая трехмерная плитка была найдена Карлом Рейнхардтом в 1928 году. Первый двухмерный образец был найден Хешем в 1935 году. Связанная с этим проблема Эйнштейна требует создания формы, которая могла бы замостить пространство, но не имела бы бесконечной циклической группы симметрий.

Сферическая упаковка

Третья часть задачи требует максимально плотной упаковки сфер или упаковки других заданных форм. Хотя она явно включает в себя формы, отличные от сфер, ее обычно считают эквивалентной гипотезе Кеплера .

В 1998 году американский математик Томас Каллистер Хейлз представил компьютерное доказательство гипотезы Кеплера. Это показывает, что наиболее компактный способ упаковки сфер — это пирамидальная форма.

Ссылки

• Эдвардс, Стив (2003), Heesch's Tiling , заархивировано из оригинала 18 июля 2011 г.
• Хейлз, Томас К. (2005), «Доказательство гипотезы Кеплера» (PDF) , Annals of Mathematics , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math/9811078 , doi : 10.4007/annals.2005.162.1065
• Милнор, Дж. (1976), «Проблема Гильберта 18», в Браудер, Феликс Э. (ред.), Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 28, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-1428-1