Четырнадцатая проблема Гильберта

В математике , четырнадцатая проблема Гильберта то есть номер 14 проблем Хилберта, предложенных в 1900 году, спрашивает, являются ли алгебры определенные конечно .

Настройка заключается в следующем: предположим, что k - это поле , и пусть k является подполе поля рациональных функций в n переменных,

k ( x ₁ , ..., x _n ) над k .

Рассмотрим теперь K -Algebra R, определяемый как перекресток

R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .

Гильберт предположил, что все такие алгебры конечно генерируются по k .

Некоторые результаты были получены, подтверждающие гипотезу Хилберта в особых случаях и для определенных классов колец (в частности, гипотеза была доказана безоговорочно для n = 1 и n = 2 от Зариски в 1954 году). Затем в 1959 году Масайоши Нагата нашел контрпример для гипотезы Гилберта. Контрпример нагаты является подходящим образом построенным кольцом инвариантов для действия линейной алгебраической группы .

История

Первоначально проблема возникла в алгебраической инвариантной теории . Здесь кольцо r дается как (соответствующим образом определено) кольцо полиномиальных инвариантов линейной алгебраической группы над поле k, действуя алгебраически на полиномиальном кольце k [ x ₁ , ..., x _n ] (или, в более общем, на конечно сгенерированная алгебра, определенная на поле). В этой ситуации поле k является поле рациональных функций (коэффициенты полиномов) в переменных x _I , которые инвариантны под заданным действием алгебраической группы, кольцо R - кольцо полиномов, которые инвариантны под действием. Классическим примером в девятнадцатом веке было обширное исследование (в частности, Кейли , Сильвестр , Клебш , Пол Гордан , а также Гильберт) инвариантов бинарных форм в двух переменных с естественным действием специальной линейной группы Sl ₂ ( k ) на нем на нем Полем Сам Гильберт доказал конечную генерацию инвариантных колец в случае области сложных чисел для некоторых классических полуносящих групп Lie Lie (в частности, общая линейная группа В комплексных числах) и конкретных линейных действий на полиномиальных кольцах, т.е. Действия, исходящие из конечных измерных представлений о группе лжи. Этот результат конечности был позже расширен Германом Вейлом на класс всех полугодных групп лжи. Основным ингредиентом в доказательстве Гильберта является теорема Гильберта, применяемая к идеалу внутри полиномиального кольца, генерируемого инвариантами.

Формулировка Зариского

Формулировка Зарисского четырнадцатой проблемы Гильберта спрашивает, является ли для квазиаффинного алгебраического многообразия X над полем k (возможно, предполагающим X нормальным или гладким ) кольцо регулярных функций на X конечно порожденным над k .

Была показана формулировка Зарисского. ^{[ 1 ]} быть эквивалентной исходной задаче для X нормального. (См. также: теорема Зарисского о конечности .)

Эфендиев Ф.Ф. (Фуад Эфенди) предоставил симметричный алгоритм генерации базиса инвариантов n-арных форм степени r. ^{[ 2 ]}

Контрпример Нагаты

Нагата (1960) дал следующее противодействие проблеме Хилберта. Поле k - это поле, содержащее 48 элементов A _{1 I} , ..., A _{16 I} , для i = 1, 2, 3, которые алгебраически независимы над основным полем. Кольцо r - это полиномиальное кольцо k [ x ₁ , ..., x ₁₆ , t ₁ , ..., t ₁₆ ] в 32 переменных. Векторное пространство V представляет собой 13-мерное векторное пространство над K, состоящее из всех векторов ( B ₁ , ..., B ₁₆ ) в k ¹⁶ ортогонально каждому из трех векторов ( a _{1 i} , ..., a _{16 i} ) для i = 1, 2, 3. Векторное пространство V представляет собой 13-мерную коммутативную унипотентную алгебраическую группу при сложении, и ее элементы действуют на R , зафиксировав все элементы t _j и приведя x _j к x _j + b _j t _j . Тогда кольцо элементов R, инвариантных относительно действия группы V, не является конечно порожденной k -алгеброй.

Некоторые авторы уменьшили размеры группы и векторного пространства в примере Нагаты. Например, Тотаро (2008) показал, что над любым полем действует сумма G ³
_A из трех копий аддитивной группы на k ¹⁸ чье кольцо инвариантов не сгенерировано.

См. также

Локально нильпотентный деривация

Ссылки

Библиография

Нагата, Масайоши (1960) [1958], «О четырнадцатой проблеме Гилберта» , Proc. Интернат. Конгресс математика. 1958 , издательство Кембриджского университета , с. 459–462, г-н 0116056 , архивировано с оригинала 2011-07-17
Нагата, Масайоши (1965), лекции по четырнадцатой проблеме Гильберта (PDF) , Института фундаментальных исследований TATA по математике, вып. 31, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, гл. 0215828
Тотаро, Берт (2008), «14-я проблема Гильберта над конечными полями и гипотеза о конусе кривых», Compositio Mathematica , 144 (5): 1176–1198, arXiv : 0808.0695 , doi : 10.1112/S0010437X08003667 , ISSN 0010-437X , МР 2457523
О. Зариский, Алгебрико-геометрические интерпретации четырнадцатой проблемы Гильберта , Бюллетень математических наук 78 (1954), стр. 155–168.

Сноски

^ Винкельманн, Йорг (2003), «Инвариантные кольца и квазиаффинные факторы», Math. Z. , 244 (1): 163–174, arXiv : math/0007076 , doi : 10.1007/s00209-002-0484-9 .
^ Эфендиев, Ф.Ф. (1992). «Явное построение элементов кольца S(n, r) инвариантов n-арных форм степени R». Математические заметки . 51 (2): 204–207. дои : 10.1007/BF02102130 .

[1] Винкельманн, Йорг (2003), «Инвариантные кольца и квазиаффинные факторы», Math. Z. , 244 (1): 163–174, arXiv : math/0007076 , doi : 10.1007/s00209-002-0484-9 .

[2] Эфендиев, Ф.Ф. (1992). «Явное построение элементов кольца S(n, r) инвариантов n-арных форм степени R». Математические заметки . 51 (2): 204–207. дои : 10.1007/BF02102130 .

[ 1 ]

[ 2 ]