Квазипроективное разнообразие

В математике квазипроективное многообразие в алгебраической геометрии — это локально замкнутое подмножество проективного многообразия , т. е. пересечение внутри некоторого проективного пространства открытого по Зарисскому и замкнутого по Зарисскому подмножества. Аналогичное определение используется в теории схем , где квазипроективная схема — это локально замкнутая подсхема некоторого проективного пространства .

с

Аффинное пространство — это открытое по Зарисскому подмножество проективного пространства , и поскольку любое замкнутое аффинное подмножество $U$ может быть выражено как пересечение проективного завершения ${\bar {U}}$ и аффинное пространство, вложенное в проективное пространство, это означает, что любое аффинное многообразие квазипроективно. Существуют локально замкнутые подмножества проективного пространства, которые не являются аффинными, так что квазипроективное пространство является более общим, чем аффинное. Взятие дополнения к одной точке проективного пространства размерности не менее 2 дает неаффинное квазипроективное многообразие. Это также пример квазипроективного многообразия, которое не является ни аффинным, ни проективным.

Примеры

Поскольку квазипроективные многообразия обобщают как аффинные, так и проективные многообразия, их иногда называют просто многообразиями . Многообразия, изоморфные аффинным алгебраическим многообразиям как квазипроективным многообразиям, называются аффинными многообразиями ; аналогично для проективных многообразий. Например, дополнение точки аффинной прямой, т. е. $X=\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}$, изоморфно нулевому множеству многочлена $xy-1$ в аффинной плоскости. Как аффинное множество $X$ не является замкнутым, поскольку любой нулевой полином в дополнении должен быть нулем на аффинной прямой. Другой пример: дополнение к любой конике в проективном пространстве размерности 2 аффинно. Многообразия, изоморфные открытым подмножествам аффинных многообразий, называются квазиаффинными .

Квазипроективные многообразия локально аффинны в том же смысле, в каком многообразие локально евклидово : каждая точка квазипроективного многообразия имеет окрестность, которая является аффинным многообразием. Это дает базис аффинных множеств для топологии Зарисского на квазипроективном многообразии.

См. также

• Абстрактное алгебраическое многообразие , часто синоним «квазипроективного многообразия».
• дивизориальная схема — обобщение квазипроективного многообразия

Ссылки

• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-3-642-37956-7 . ISBN  978-0-387-97716-4 .