Словарь алгебраической геометрии

Это словарь алгебраической геометрии .

См. также глоссарий коммутативной алгебры , глоссарий классической алгебраической геометрии и глоссарий теории колец . Информацию о приложениях теории чисел см. в глоссарии арифметики и диофантовой геометрии .

Для простоты ссылка на базовую схему часто опускается; т. е. схема будет схемой над некоторой фиксированной базовой схемой S и морфизмом S -морфизмом.

!$@

$\eta$

Общий пункт . Например, точка, соответствующая нулевому идеалу любой интегральной аффинной схемы.

Ф ( п ), Ф ( Д )

1. Если X — проективная схема с скручивающим пучком Серра ${\mathcal {O}}_{X}(1)$ и если F является ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, то $F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).$

2. Если D — дивизор Картье и F — ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль ( X произвольный), то $F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).$ Если D — дивизор Вейля и F рефлексивно, то F ( D ) заменяется его рефлексивной оболочкой (и результат по-прежнему называется F ( D ).)

| Д |

Полная линейная система дивизора Вейля D на нормальном полном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k ; то есть, $|D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))$. Существует биекция между множеством k -рациональных точек | Д | и множество эффективных дивизоров Вейля на X , линейно эквивалентных D . То же определение используется, если D является дивизором Картье на полном многообразии над k .

[Х/Г]

Факторстек X скажем, алгебраического пространства G по действию групповой схемы , .

$X/\!/G$

Фактор GIT схемы X по действию групповой схемы G .

л ^н

Неоднозначное обозначение. Обычно это означает n -ю тензорную степень L но также может означать число самопересечения L. , Если $L={\mathcal {O}}_{X}$, пучок структур на X , то это означает прямую сумму n копий ${\mathcal {O}}_{X}$.

${\mathcal {O}}_{X}(-1)$

Тавтологическое линейное расслоение . Это двойник извилистого пучка Серра. ${\mathcal {O}}_{X}(1)$.

${\mathcal {O}}_{X}(1)$

Извилистый пучок Серра . Это двойник тавтологического линейного расслоения. ${\mathcal {O}}_{X}(-1)$. Его еще называют гиперплоским расслоением.

${\mathcal {O}}_{X}(D)$

1. Если D — эффективный дивизор Картье на X , то он является обратным идеальному D. пучку

2. В большинстве случаев ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ является образом D при естественном гомоморфизме группы из группы дивизоров Картье в группу Пикара $\operatorname {Pic} (X)$ группа X классов изоморфизма линейных расслоений на X. —

3. В общем, ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ — пучок, соответствующий дивизору Вейля D (на нормальной схеме ). Оно не должно быть локально свободным, оно должно быть только рефлексивным .

4. D Если $\mathbb {Q}$-делитель, тогда ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ является ${\mathcal {O}}_{X}$ неотъемлемой части D .

$\Omega _{X}^{p}$

1.   $\Omega _{X}^{1}$ является пучком кэлеровых дифференциалов на X .

2.   $\Omega _{X}^{p}$ - p -я внешняя степень $\Omega _{X}^{1}$.

$\Omega _{X}^{p}(\log D)$

1. Если p равно 1, это пучок логарифмических кэлеровых дифференциалов на X вдоль D (грубо дифференциальные формы с простыми полюсами вдоль дивизора D .)

2.   $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ - p -я внешняя степень $\Omega _{X}^{1}(\log D)$.

P ( V )

Обозначение неоднозначное. Его традиционный смысл — проективизация конечномерного k - векторного пространства V ; то есть, $\mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))$( Proj кольца полиномиальных функций k [ V ]) и его k -точки соответствуют прямым в V . Напротив, Хартсхорн и EGA пишут P ( V ) для Proj симметричной V. алгебры

Q-факториал

Нормальный сорт есть $\mathbb {Q}$-факториал, если каждый $\mathbb {Q}$- Делитель Вейля $\mathbb {Q}$-Картье.

Спецификация( р )

Множество всех простых идеалов в кольце R с топологией Зарисского; называется простым спектром R . он

Спецификация _X ( F )

Относительный Spec OX ​ _​ -алгебры F . Он также обозначается Spec ( F ) или просто Spec ( F ).

Спецификация ^а ( Р )

Множество всех нормировок кольца R с некоторой слабой топологией; называется спектром Берковича R . он

А

абелев

1. Абелево многообразие является полным групповым многообразием. Например, рассмотрим сложное многообразие $\mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}$ или эллиптическая кривая $E$ над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$.

2. Абелева схема — это (плоское) семейство абелевых многообразий.

формула присоединения

1. Если D — эффективный дивизор Картье на алгебраическом многообразии X , оба из которых допускают дуализирующие пучки. $\omega _{D},\omega _{X}$, то формула присоединения гласит: $\omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}$.

2. Если, кроме того, X и D гладкие, то формула эквивалентна утверждению: $K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}$где $K_{D},K_{X}$ являются каноническими делителями на D и X .

родственный

1. Аффинное пространство — это примерно векторное пространство, в котором забыли, какая точка является началом координат.

2. Аффинное многообразие – это многообразие в аффинном пространстве.

3. Аффинной схемой называется схема, являющаяся простым спектром некоторого коммутативного кольца.

4. Морфизм называется аффинным, если прообраз любого открытого аффинного подмножества снова аффинен. Говоря более причудливо, аффинные морфизмы определяются глобальной конструкцией Spec для пучков O _X -алгебр, определяемой по аналогии со спектром кольца . Важными аффинными морфизмами являются векторные расслоения и конечные морфизмы .

5. Аффинный конус над замкнутым подмногообразием X проективного пространства является Spec однородного координатного кольца X .

Алгебраическая геометрия занимала центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся глубочайшие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие важнейшие работы Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего века отношение к алгебраической геометрии резко изменилось. ... Стиль мышления, вполне развитый в то время в алгебраической геометрии, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, определившего тогда развитие математики. ... Примерно в середине нынешнего столетия алгебраическая геометрия в значительной степени претерпела такой процесс изменения. В результате она снова может претендовать на то положение, которое когда-то занимала в математике.

Из предисловия к книге И. Р. Шафаревича «Основы алгебраической геометрии».

алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, изучающий решения алгебраических уравнений.

алгебраическая геометрия над полем с одним элементом

Одна из целей — доказать гипотезу Римана . См. также поле с одним элементом и Пенья, Хавьер Лопес; Лоршайд, Оливер (31 августа 2009 г.). «Картирование земли F_1: обзор геометрии поля с одним элементом». arXiv : 0909.0069 [ math.AG ]. а также .

алгебраическая группа

Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие, которое также является группой в том смысле, что групповые операции являются морфизмами многообразий.

алгебраическая схема

Отделенная схема конечного типа над полем. Например, алгебраическое многообразие — это приведенная неприводимая алгебраическая схема.

алгебраический набор

Алгебраическое множество над полем k — это приведенная разделенная схема конечного типа над полем k. $\operatorname {Spec} (k)$. Неприводимое алгебраическое множество называется алгебраическим многообразием.

алгебраическое пространство

Алгебраическое пространство — это фактор схемы по этальному отношению эквивалентности .

алгебраическое многообразие

Алгебраическое многообразие над полем k — это целочисленная разделенная схема конечного типа над $\operatorname {Spec} (k)$. Обратите внимание: отказ от предположения о том, что k алгебраически замкнут, приводит к некоторой патологии; например, $\operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C}$ не является многообразием, поскольку координатное кольцо $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ не является целостной областью .

алгебраическое векторное расслоение

конечного Локально свободный пучок ранга.

обильный

Линейное расслоение на проективном многообразии является обильным , если некоторая его тензорная степень очень обильна.

Arakelov geometry

Алгебраическая геометрия над компактификацией Spec кольца целых рациональных чисел $\mathbb {Z}$. See Arakelov geometry .

арифметический род

Арифметический род проективного многообразия X размерности r равен $(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)$.

Артин стек

Другой термин для обозначения алгебраического стека .

артинский

0-мерный и нётеровский. Определение применимо как к схеме, так и к кольцу.

Б

Функция Беренда

Взвешенная эйлерова характеристика ) стека X относительно функции Беренда это степень виртуального фундаментального класса X. — ( хорошего

Формула следа Беренда

Формула следов Беренда обобщает формулу следов Гротендика ; обе формулы вычисляют след Фробениуса на l -адических когомологиях.

большой

Большое линейное расслоение L на X размерности n — это такое линейное расслоение, что $\displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0$.

бирациональный морфизм

Бирациональный морфизм схем — это морфизм, который становится изоморфизмом после ограничения некоторым открытым плотным подмножеством. Одним из наиболее распространенных примеров бирационального отображения является отображение, индуцированное расширением.

взрыв

Раздутие — это бирациональное преобразование , заменяющее замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Именно, учитывая нётерову схему X и замкнутую подсхему $Z\subset X$, раздутие X вдоль Z является собственным морфизмом $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ такой, что (1) $\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ – эффективный дивизор Картье, называемый исключительным дивизором, и (2) $\pi$ универсален относительно (1). Конкретно, он строится как относительный Proj алгебры Риса $O_{X}$ относительно идеального пучка, определяющего Z .

С

Калаби – сегодня

Метрика Калаби–Яу — это кэлерова метрика, кривизна Риччи которой равна нулю.

канонический

1. Канонический пучок на нормальном многообразии X размерности n есть $\omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}$ где i — включение гладкого локуса U и $\Omega _{U}^{n}$ — пучок дифференциальных форм на U степени n . Если базовое поле вместо нормальности имеет нулевую характеристику, то можно заменить i разрешением особенностей.

2. Канонический класс $K_{X}$ на нормальном многообразии X — это класс дивизоров такой, что ${\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}$.

3. Канонический дивизор является представителем канонического класса $K_{X}$ обозначаются одним и тем же символом (и не имеют четкого определения).

4. Каноническое кольцо нормального многообразия X есть кольцо сечения канонического пучка .

каноническая модель

Каноническая модель — это Proj канонического кольца (при условии, что кольцо конечно порождено).

Картье

Эффективный дивизор Картье D на схеме X над S — это замкнутая подсхема X , плоская над S и идеальный пучок которой обратим (локально свободен от ранга один).

Регулярность Кастельнуово – Мамфорда

Регулярность Кастельнуово –Мамфорда когерентного пучка F на проективном пространстве. $f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S$ над схемой S — наименьшее целое число r такое, что

$R^{i}f_{*}F(r-i)=0$

для всех i > 0.

контактная сеть

Схема называется цепной , если все цепи между двумя неприводимыми замкнутыми подсхемами имеют одинаковую длину. Примеры включают практически все, например, разновидности на поле, и трудно построить примеры, которые не являются цепными.

центральное волокно

Особое волокно.

Группа Чоу

k -я Чжоу группа $A_{k}(X)$ гладкого многообразия X — свободная абелева группа, порожденная замкнутыми подмногообразиями размерности k (группой k - циклов ) по модулю рациональных эквивалентностей .

классификация

1. Классификация является руководящим принципом во всей математике, где все объекты, удовлетворяющие определенным свойствам, с точностью до заданной эквивалентности пытаются описать с помощью более доступных данных, таких как инварианты или даже какой-либо конструктивный процесс. В алгебраической геометрии различают дискретные и непрерывные инварианты. Для непрерывных классифицирующих инвариантов дополнительно предпринимается попытка предоставить некоторую геометрическую структуру, которая приводит к пространствам модулей .

2. Полные гладкие кривые над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до рациональной эквивалентности по роду $g$. (а) $g=0$. рациональные кривые, т. е. кривая бирациональна проективной прямой $\mathbb {P} ^{1}$. (б) $g=1$. Эллиптические кривые , т.е. кривая представляет собой полную одномерную групповую схему после выбора любой точки кривой в качестве единицы. (с) $g\geq 2$. Гиперболические кривые , называемые также кривыми общего типа . См. примеры алгебраических кривых . Классификацию гладких кривых можно уточнить по степени кривых проективно вложенных , особенно если они ограничены плоскими кривыми . Заметим, что все полные гладкие кривые проективны в том смысле, что они допускают вложения в проективное пространство, но для корректного определения степени необходимо явно указать выбор такого вложения. Арифметика полной гладкой кривой над числовым полем (в частности, число и структура ее рациональных точек) определяется классификацией соответствующей базы кривой, замененной на алгебраическое замыкание. см . в теореме Фалтингса . Подробности об арифметических последствиях

3. Классификация полных гладких поверхностей над алгебраически замкнутым полем с точностью до рациональной эквивалентности. см. в обзоре классификации или классификации Энрикеса-Кодайры . Подробности

4. Классификация особенностей соотв. ассоциированные окрестности Зарисского над алгебраически замкнутыми полями с точностью до изоморфизма. (а) В характеристике 0 результат разрешения Хиронаки присоединяет к сингулярности инварианты, которые их классифицируют. (b) Для кривых и поверхностей разрешение известно по любой характеристике, которая также дает возможность классификации. Кривые см . здесь или кривые и поверхности здесь .

5. Классификация сортов Фано в мелком измерении.

6. Минимальная модельная программа представляет собой подход к бирациональной классификации полных гладких многообразий в более высокой размерности (не менее 2). Хотя первоначальная цель состоит в гладких многообразиях, терминальные сингулярности появляются естественным образом и являются частью более широкой классификации.

7. Классификация расщепляемых редуктивных групп с точностью до изоморфизма над алгебраически замкнутыми полями.

классифицирующий стек

Аналог классифицирующего пространства торсоров в алгебраической геометрии; см. классификационный стек .

закрыто

Замкнутыми подсхемами схемы X называются те, которые входят в следующую конструкцию. Пусть J — квазикогерентный пучок ${\mathcal {O}}_{X}$- идеалы . Носитель ​ факторпучка ​ ${\mathcal {O}}_{X}/J$ является замкнутым подмножеством Z в X и $(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})$ — это схема, называемая замкнутой подсхемой, определяемая квазикогерентным пучком идеалов J . Причина, по которой определение закрытых подсхем основано на такой конструкции, заключается в том, что, в отличие от открытых подмножеств, закрытое подмножество схемы не имеет уникальной структуры как подсхема.

Коэн-Маколей

Схема называется Коэн-Маколей.если все локальные кольца Коэна-Маколея .Например, регулярные схемы и Spec k [ x,y ]/( xy ) являются схемами Коэна – Маколея, но нет.

когерентный пучок

Когерентный пучок на нетеровой схеме X — это квазикогерентный пучок, конечно порожденный как O _X -модуль.

конический

Алгебраическая кривая второй степени.

подключен

Схема связна как топологическое пространство. Поскольку связные компоненты уточняют неприводимые, любая неприводимая схема связна, но не наоборот. Аффинная схема Spec(R) связна тогда и только тогда, когда кольцо R не имеет идемпотентов, отличных от 0 и 1; такое кольцо еще называют связным .Примеры связных схем включают аффинное пространство , проективное пространство , а пример несвязной схемы — это Спецификация ( k [ x ] × k [ x ])

компактификация

См., например, теорему о компактификации Нагаты .

Кольцо Кокса

Обобщение однородного координатного кольца. См. Кольцо Кокса .

они трескаются

Крепантный морфизм $f:X\to Y$ между нормальными многообразиями является морфизмом таким, что $f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}$.

изгиб

Алгебраическое многообразие размерности один.

Д

деформация

Позволять $S\to S'$ — морфизм схем, а X — S -схема. Тогда деформация X ' объекта X представляет собой S' -схему вместе с квадратом обратного образа, в котором X является ответом X ' (обычно X ' считается плоским ).

локус вырождения

Учитывая карту векторного расслоения $f:E\to F$ над многообразием X (т. е. схемным X -морфизмом полных пространств расслоений) локусом вырождения является (теоретико-схемный) локус $X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}$.

вырождение

схема X 1. Говорят, что вырождается в схему $X_{0}$ (называемый пределом X ), если существует схема $\pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}$ с обычным волокном X и специальным волокном $X_{0}$.

2. Плоское вырождение — это вырождение такое, что $\pi$ плоский.

измерение

Размерность . , по определению максимальная длина цепочки неприводимых замкнутых подсхем, является глобальным свойством Это можно увидеть локально, если схема неприводима. Это зависит только от топологии, а не от связки структур. См. также Глобальное измерение .Примеры: равномерные схемы в размерности 0: артиновы схемы, 1: алгебраические кривые , 2: алгебраические поверхности .

степень

1. Степенью линейного расслоения L на полном многообразии называется целое число d такое, что $\chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})$.

2. Если x — цикл на полном многообразии $f:X\to \operatorname {Spec} k$ над полем k , то его степень равна $f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z}$.

3. О степени конечного морфизма см. морфизм многообразий #Степень конечного морфизма .

производная алгебраическая геометрия

Подход к алгебраической геометрии с использованием ( коммутативных ) кольцевых спектров вместо коммутативных колец ; см. производную алгебраическую геометрию .

разделительный

1. Дивизориальный пучок на нормальном многообразии — это рефлексивный пучок вида O _X ( D ) для некоторого дивизора Вейля D .

2. Дивизориальная схема — это схема, допускающая обширное семейство обратимых пучков. Базовым примером является схема, допускающая обильный обратимый пучок.

доминирующий

Морфизм f : X → Y называется доминантным , если образ f ( X ) плотен . Морфизм аффинных схем Spec A → Spec B плотен тогда и только тогда, когда ядро ​​соответствующего отображения B → A содержится в нильрадикале B .

дуализирующий комплекс

См. Когерентная двойственность .

дуализирующий пучок

В проективной схеме Коэна – Маколея чистой размерности n дуализирующий пучок является когерентным пучком. $\omega$ на X такой, что $H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}$выполняется для любого локально свободного пучка F на X ; например, если X — гладкое проективное многообразие, то это канонический пучок .

И

Элементы алгебраической геометрии

EGA схемы была неполной попыткой заложить основу алгебраической геометрии, основанной на понятии , обобщении алгебраического многообразия. Семинар по алгебраической геометрии продолжится с того места, на котором остановился EGA. Сегодня это один из стандартных справочников по алгебраической геометрии.

эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая — это гладкая проективная кривая рода один.

существенно конечного типа

Локализация схемы конечного типа.

распространяется

Морфизм f : Y → X является этальным , если он плоский и неразветвленный. Есть еще несколько эквивалентных определений. В случае гладких сортов $X$ и $Y$ над алгебраически замкнутым полем этальные морфизмы — это в точности те, которые индуцируют изоморфизм касательных пространств. $df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X$, что совпадает с обычным понятием этального отображения в дифференциальной геометрии.Этальные морфизмы составляют очень важный класс морфизмов; они используются для построения так называемой этальной топологии и, следовательно, этальных когомологий , которые в настоящее время являются одним из краеугольных камней алгебраической геометрии.

последовательность Эйлера

Точная последовательность шкивов:

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,$

где Р ^н — проективное пространство над полем, а последний ненулевой член — касательный пучок , называется последовательностью Эйлера .

эквивариантная теория пересечений

См. главу II http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf.

Ф

F -обычный

Относится к морфизму Фробениуса .

Изображение

Многообразие Фано — это гладкое проективное многообразие X , антиканонический пучок которого $\omega _{X}^{-1}$ достаточно.

волокно

Данный $f:X\to Y$ между схемами слой f над y является, как множество, прообразом $f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}$; он имеет естественную структуру схемы над полем вычетов y как расслоенное произведение $X\times _{Y}\{y\}$, где $\{y\}$ имеет естественную структуру схемы над Y как Spec поля вычетов y .

волокнистый продукт

1. Еще один термин « откат » в теории категорий.

2. Стек $F\times _{G}H$ дано за $f:F\to G,g:H\to G$: объект над B — это тройка ( x , y , ψ), x в F ( B ), y в H ( B ), ψ — изоморфизм $f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)$ в G ( Б ); стрелка от ( x , y , ψ) к ( x' , y ' , ψ') является парой морфизмов $\alpha :x\to x',\beta :y\to y'$ такой, что $\psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi$. Полученный квадрат с очевидными проекциями не коммутирует; скорее, он коммутирует с точностью до естественного изоморфизма; т. е. оно 2-коммутирует .

финальный

Одна из фундаментальных идей Гротендика состоит в том, чтобы подчеркнуть относительные понятия, т.е. условия на морфизмы, а не условия на сами схемы. Категория схем имеет конечный объект — спектр кольца. $\mathbb {Z}$ целых чисел; так что любая схема $S$ закончилось ​ ${\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )$, и уникальным способом.

конечный

Морфизм f : Y → X конечен , если $X$ могут быть покрыты аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}B$ такой, что каждый $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ аффинно — скажем, о форме ${\text{Spec }}A$ - и более того $A$ конечно генерируется как $B$-модуль. См. конечный морфизм .Конечные морфизмы квазиконечные, но не все морфизмы, имеющие конечные слои, квазиконечные, а морфизмы конечного типа обычно не являются квазиконечными.

конечный тип (локально)

Морфизм f : Y → X локально конечного типа, если $X$ могут быть покрыты аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}B$ такой, что каждый прообраз $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ покрывается аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}A$ где каждый $A$ конечно генерируется как $B$-алгебра.Морфизм f : Y → X имеет конечный тип , если $X$ могут быть покрыты аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}B$ такой, что каждый прообраз $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ покрыто конечным числом аффинных открытых множеств ${\text{Spec }}A$ где каждый $A$ конечно генерируется как $B$-алгебра.

конечные волокна

Морфизм f : Y → X имеет конечные слои , если слой над каждой точкой $x\in X$ является конечным множеством. Морфизм называется квазиконечным, если он имеет конечный тип и имеет конечные слои.

конечное представление

Если y является точкой Y , то морфизм f имеет конечное представление в y (или конечно представлено в y ), если существует открытая аффинная окрестность U точки f(y) и открытая аффинная окрестность V точки y такие, что f ( V ) ⊆ U и ${\mathcal {O}}_{Y}(V)$ — конечно определенная алгебра над ${\mathcal {O}}_{X}(U)$. Морфизм f локально конечного представления, если он конечно определен во всех точках Y . Если X локально нётерово, то f локально конечного представления тогда и только тогда, когда оно локально конечного типа. Морфизм f : Y → X имеет конечное представление (или Y конечно представимо над X ), если он локально конечного представления, квазикомпактен и квазиотделим. Если X локально нётерово, то f имеет конечное представление тогда и только тогда, когда оно имеет конечный тип.

разнообразие флагов

параметризует Многообразие флагов флаг векторных пространств.

плоский

Морфизм $f$ является плоским, если оно порождает плоское отображение на ножках. Если рассматривать морфизм f : Y → X как семейство схем, параметризованных точками $X$геометрический смысл плоскостности можно грубо описать, сказав, что волокна $f^{-1}(x)$ не различайтесь слишком сильно.

формальный

См. формальную схему .

Г

г ^р _д

Дана кривая C , дивизор D на ней и векторное подпространство $V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))$, говорят, что линейная система $\mathbb {P} (V)$ это АГ ^р _d, если V имеет размерность r +1, а D имеет степень d . Один говорит, что C имеет ag ^р _d, если существует такая линейная система.

Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга

Теорема о реконструкции Габриэля -Розенберга утверждает, что схема X может быть восстановлена ​​из категории квазикогерентных пучков на X . Теорема является отправной точкой для некоммутативной алгебраической геометрии , поскольку, принимая теорему как аксиому, определение некоммутативной схемы равнозначно определению категории квазикогерентных пучков на ней. См. также https://mathoverflow.net/q/16257.

G-пакет

Главный G-расслоение.

общая точка

Плотная точка.

род

См. #арифметический род , #геометрический род .

формула типа

Формула рода узловой кривой на проективной плоскости гласит, что род кривой задается как $g=(d-1)(d-2)/2-\delta$где d — степень кривой, а δ — количество узлов (которое равно нулю, если кривая гладкая).

геометрический род

Геометрический род гладкого проективного многообразия X размерности n равен $\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})$(где равенство — это теорема двойственности Серра .)

геометрическая точка

Простой спектр алгебраически замкнутого поля.

геометрическое свойство

Свойство схемы X над полем k называется « геометрическим », если оно выполнено для $X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}$ для любого расширения поля $E/k$.

геометрическое частное

Геометрическое частное схемы X с действием групповой схемы G — это хорошее частное такое, что слои являются орбитами.

gerbe

Герб — это (примерно) стек , который локально непуст и в котором два объекта локально изоморфны.

коэффициент ГИТ

Коэффициент GIT $X/\!/G$ является $\operatorname {Spec} (A^{G})$ когда $X=\operatorname {Spec} A$ и $\operatorname {Proj} (A^{G})$ когда $X=\operatorname {Proj} A$.

хороший коэффициент

Хорошее факторизм схемы X с действием групповой схемы G — это инвариантный морфизм $f:X\to Y$ такой, что $(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.$

Горенштейн

1. Схема Горенштейна — это локально нётерова схема, локальные кольца которой являются кольцами Горенштейна .

2. Говорят, что нормальным многообразием является $\mathbb {Q}$-Горенштейна, если канонический делитель на нем равен $\mathbb {Q}$-Картье (и не обязательно Коэн-Маколей).

3. Некоторые авторы называют нормальным многообразием Горенштейна, если канонический дивизор есть Картье; обратите внимание, что это использование несовместимо со значением 1.

Теорема Грауэрта – Рименшнайдера об исчезании

Теорема Грауэрта – Рименшнайдера об исчезновении расширяет теорему об исчезновении Кодайры на более высокие пучки прямых изображений; см. также https://arxiv.org/abs/1404.1827.

Кольцо сортов Гротендика

Кольцо Гротендика многообразий — это свободная абелева группа, порожденная классами изоморфизма многообразий соотношением: $[X]=[Z]+[X-Z]$где Z — замкнутое подмногообразие многообразия X , снабженное умножением $[X]\cdot [Y]=[X\times Y].$

Теорема об исчезновении Гротендика

Теорема об исчезновении Гротендика касается локальных когомологий .

групповая схема

Групповая схема — это схема, множества точек которой имеют структуру группы .

групповое разнообразие

Старый термин для обозначения «гладкой» алгебраической группы.

ЧАС

Полином Гильберта

Полином Гильберта проективной схемы X над полем является эйлеровой характеристикой. $\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))$.

Пучок Ходжа

Расслоение Ходжа в пространстве модулей кривых (фиксированного рода) — это, грубо говоря, векторное расслоение, слой которого над кривой C является векторным пространством $\Gamma (C,\omega _{C})$.

гиперэллиптический

Кривая называется гиперэллиптической, если она имеет g ¹ ₂ (т.е. существует линейная система размерности 1 и степени 2.)

расслоение гиперплоскости

Другой термин для извилистого пучка Серра. ${\mathcal {O}}_{X}(1)$. Это двойственное тавтологическому линейному расслоению (отсюда и термин).

я

изображение

Если f : Y → X — любой морфизм схем, теоретико-схемный образ f : это единственная замкнутая подсхема i : Z → X , которая удовлетворяет следующему универсальному свойству —

1. f факторы через i ,
2. если j : Z ′ → X — любая замкнутая подсхема X такая, что f факторизуется через j , то i также факторизуется через j .

Это понятие отличается от понятия обычного теоретико-множественного образа f , f ( Y ). Например, базовое пространство Z всегда содержит (но не обязательно равно) замыкание Зарисского f ( Y ) в X , поэтому, если Y — любая открытая (а не замкнутая) подсхема X , а f — карта включения, тогда Z отличается от f ( Y ). Когда Y редуцирован, то Z является замыканием Зарисского f ( Y ), наделенным структурой редуцированной замкнутой подсхемы. Но в общем случае, если f квазикомпактна, конструкция Z не является локальной на X. не

погружение

Погружения f : Y → X — это отображения, учитывающие изоморфизмы с подсхемами. В частности, открытое погружение факторизуется через изоморфизм с открытой подсхемой, а закрытое погружение факторизуется через изоморфизм с закрытой подсхемой. Эквивалентно, f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомеоморфизм основного топологического пространства Y в замкнутое подмножество основного топологического пространства X , и если морфизм $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ является сюръективным. Композиция погружений – это снова погружение. Некоторые авторы, такие как Хартсхорн в своей книге «Алгебраическая геометрия» и К. Лю в своей книге «Алгебраическая геометрия и арифметические кривые» , определяют погружения как смесь открытого погружения, за которым следует закрытое погружение. Эти погружения являются погружениями в указанном выше смысле, но обратное неверно. Более того, согласно этому определению, композиция двух погружений не обязательно является погружением. Однако эти два определения эквивалентны, когда f квазикомпактно. Заметим, что открытое погружение полностью описывается своим образом в смысле топологических пространств, а закрытое погружение — нет: $\operatorname {Spec} A/I$ и $\operatorname {Spec} A/J$ может быть гомеоморфным, но не изоморфным. Это происходит, например, если I — радикал J , но J не является радикальным идеалом. При указании замкнутого подмножества схемы без упоминания структуры схемы обычно имеется в виду так называемая приведенная структура схемы, т. е. структура схемы, соответствующая единственному радикальному идеалу, состоящему из всех функций, исчезающих на этом замкнутом подмножестве.

инд-схема

Инди -схема — это индуктивный предел замкнутых погружений схем.

обратимый пучок

Локально свободный пучок первого ранга. Эквивалентно, это торсор для мультипликативной группы. $\mathbb {G} _{m}$ (т.е. линейный пучок).

интеграл

Схема, которая одновременно является приведенной и неприводимой, называется интегральной . Для локально нётеровых схем быть целостным эквивалентно тому, чтобы быть связной схемой, которая покрывается спектрами областей целостности . (Строго говоря, это не локальное свойство, поскольку непересекающееся объединение двух целых схем не является целостным. Однако для неприводимых схем это локальное свойство.)Например, схема Spec k [ t ]/ f , f неприводимого полинома является целой, а Spec A × B ( A , B ≠ 0) — нет.

нередуцируемый

Схема X называется неприводимой, если (как топологическое пространство) она не является объединением двух замкнутых подмножеств, за исключением случаев, когда одно из них равно X . Используя соответствие простых идеалов и точек в аффинной схеме, это означает, что X неприводимо тогда и только тогда, когда X связно и все кольца A _i имеют ровно один минимальный простой идеал . (Поэтому кольца, обладающие ровно одним минимальным простым идеалом, также называются неприводимыми .) Любую нётерову схему можно однозначно записать как объединение конечного числа максимальных неприводимых непустых замкнутых подмножеств, называемых ее неприводимыми компонентами . Аффинное пространство и проективное пространство неприводимы, а Spec k [ x,y ]/( xy ) = нет.

Дж

Якобианская разновидность

Многообразие Якоби проективной кривой X нулевой степени. — это часть многообразия Пикара $\operatorname {Pic} (X)$.

К

Теорема Кемпфа об исчезновении

Теорема Кемпфа об исчезновении касается исчезновения высших когомологий многообразия флагов.

клт

Аббревиатура от « терминал журналов Кавамата ».

Кодайра измерение

1. Размерность Кодаиры (также называемая размерностью Иитака ) полуобильного линейного расслоения L это размерность Proj сечения кольца L. —

2. Кодайровская размерность нормального многообразия X есть кодайровская размерность его канонического пучка.

Теорема об исчезновении Кодайры

См. теорему об исчезновении Кодайры .

Карта Кураниши

См. структуру Кураниши .

л

Номер аукциона

См. число Лелонга .

структура уровней

см. http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf.

линеаризация

Другой термин для обозначения структуры эквивариантного пучка /векторного расслоения.

местный

Наиболее важные свойства схем носят локальный характер , т.е. схема X обладает некоторым свойством P тогда и только тогда, когда для любого покрытия X открытыми подсхемами Xi _, т.е. X = $\cup$ X _i , каждый X _i обладает свойством P . Обычно бывает так, что достаточно проверить одну крышку, а не все возможные. Также говорят, что определенное свойство является локальным по Зарискому , если нужно различать топологию Зарисского и другие возможные топологии, такие как этальная топология .Рассмотрим схему X и покрытие аффинными открытыми подсхемами Spec A _i . Таким образом, используя словарь между (коммутативными) кольцами и аффинными схемами, локальные свойства являются свойствами колец A _i . Свойство P является локальным в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда соответствующее свойство колец устойчиво относительно локализации .Например, можно говорить о локально нётеровых схемах, а именно о тех, которые покрываются спектрами нётеровых колец . Тот факт, что локализации нетерова кольца все еще являются нетеровыми, означает, что свойство схемы быть локально нетеровым является локальным в указанном выше смысле (отсюда и название). Другой пример: если кольцо редуцировано (т. е. не имеет ненулевых нильпотентных элементов), то редуцированы и его локализации.Примером нелокального свойства является обособленность (определение см. ниже). Любая аффинная схема является разделимой, следовательно, любая схема является локально разделенной. Однако аффинные части могут патологически склеиться, образуя неразделенную схему.Ниже приводится (неполный) список локальных свойств колец, применяемых к схемам. Пусть Х = $\cup$ Spec A _i — покрытие схемы открытыми аффинными подсхемами. Для определенности пусть k обозначает поле в дальнейшем. Однако большинство примеров также работают с целыми числами Z в качестве основы или даже с более общими базами.Подключено,нередуцируемый,уменьшенный,интеграл,нормальный,обычный,Коэн-Маколей,локально нётерийский,измерение, контактная сеть,Горенштейн.

местное полное пересечение

Локальные кольца являются кольцами полных пересечений . См. также: обычное встраивание .

местная униформизация

Локальная униформизация — метод построения более слабой формы разрешения особенностей с помощью колец нормирования .

локально факториал

Локальные кольца являются уникальными областями факторизации .

локально конечного представления

См. конечное представление выше.

локально конечного типа

Морфизм f : Y → X локально конечного типа, если $X$ могут быть покрыты аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}B$ такой, что каждый прообраз $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ покрывается аффинными открытыми множествами ${\text{Spec }}A$ где каждый $A$ конечно генерируется как $B$-алгебра.

локально нетеровский

A — _i кольца нётеровы . Если к тому же конечное число таких аффинных спектров покрывает X , то схема называется нетеровой . Хотя верно, что спектр нетерова кольца является нетеровым топологическим пространством , обратное неверно. Например, большинство схем конечномерной алгебраической геометрии локально нетеровы, но $GL_{\infty }=\cup GL_{n}$ нет.

логарифмическая геометрия

структура журнала

См. структуру журнала . Идея принадлежит Фонтен-Иллюзи и Като.

группа циклов

См. группу циклов (в связанной статье не обсуждается группа циклов в алгебраической геометрии; сейчас см. также ind-scheme ).

М

модули

См., например, пространство модулей .

В то время как большая часть ранних работ по модулям, особенно после [Mum65], делала акцент на построении точных или грубых пространств модулей, в последнее время акцент сместился в сторону изучения семейств многообразий, то есть в сторону функторов модулей и стеков модулей. Основная задача — понять, какие объекты образуют «хорошие» семейства. Как только будет установлено хорошее понятие «хороших семей», существование грубого пространства модулей должно стать почти автоматическим. Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, а лишь удобным способом отслеживания определенной информации, которая только скрыта в функторе модулей или стеке модулей.

Коллар, Янош, Глава 1 , «Книга о модулях поверхностей».

Минимальная модельная программа Мори

Программа минимальной модели — это исследовательская программа , целью которой является бирациональная классификация алгебраических многообразий размерности больше 2.

морфизм

1. Морфизм алгебраических многообразий локально задается полиномами.

2. Морфизм схем — это морфизм локально окольцованных пространств .

3. Морфизм $f:F\to G$ стеков (скажем, над категорией S -схем) является функтором таким, что $P_{G}\circ f=P_{F}$ где $P_{F},P_{G}$ являются структурными картами базовой категории.

Н

неф

См. линейный пакет nef .

неособый

Архаичный термин, обозначающий «гладкий», как в случае с гладкой разновидностью .

нормальный

1. Целочисленная схема называется нормальной , если локальные кольца являются целозамкнутыми областями . Например, все регулярные схемы нормальны, а особые кривые — нет.

2. Плавная кривая $C\subset \mathbf {P} ^{r}$ называется k -нормальной, если гиперповерхности степени k вырезают полный линейный ряд $|{\mathcal {O}}_{C}(k)|$. Она проективно нормальна, если она k -нормальна для всех k > 0. Таким образом, говорят, что «кривая проективно нормальна, если линейная система, которая ее вкладывает, полна». Термин «линейно нормальный» является синонимом 1-нормального.

3. Закрытое подмногообразие. $X\subset \mathbf {P} ^{r}$ называется проективно нормальным, если аффинное накрытие над X является нормальной схемой ; т. е. однородное координатное кольцо X является целозамкнутой областью. Это значение соответствует значению 2.

нормальный

1. Если X — замкнутая подсхема схемы Y с идеальным пучком I , то нормальный пучок к X — это $(I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})$. Если вложение X в Y регулярно , оно локально свободно и называется нормальным расслоением .

2. Нормальный конус к X есть $\operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})$. если X регулярно вложено в Y , то нормальный конус изоморфен $\operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))$, общее пространство нормального расслоения к X .

обычные переходы

Сокращения nc для нормального пересечения и snc для простого нормального пересечения. Относится к нескольким тесно связанным понятиям, таким как nc-дивизор, nc-особенность, snc-делитель и snc-особенность. См. обычные пересечения .

обычно генерируется

Линейное расслоение L на многообразии X называется нормально порожденным , если для каждого целого числа n > 0 естественное отображение $\Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})$ является сюръективным.

ТО

открыть

1. Морфизм f : Y → X схем называется открытым ( закрытым ), если лежащее в его основе отображение топологических пространств открыто (соответственно замкнуто), т. е. если открытые подсхемы Y отображаются в открытые подсхемы X (и аналогично для закрыто). Например, конечно определенные плоские морфизмы открыты, а собственные отображения закрыты.

2. Открытая подсхема схемы X – это открытое подмножество U со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$.

орбифолд

В настоящее время орбифолд часто определяют как стек Делиня–Мамфорда над категорией дифференцируемых многообразий.

П

p - делимая группа

См. p -делимую группу (примерно аналог точек кручения абелева многообразия).

карандаш

Линейная система размерности один.

Группа Пикарда

Группа Пикара X — это группа классов изоморфизма линейных расслоений на X , причем умножение является тензорным произведением .

Вложение Плюкера

— Вложение Плюкера это закрытое вложение грассманова многообразия в проективное пространство.

разнообразный

n -й есть плюрирод гладкого проективного многообразия $\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})$. См. также число Ходжа .

Карта вычетов Пуанкаре

См . Вычет Пуанкаре .

точка

Схема $S$ является локально окольцованным пространством , поэтому тем более топологическим пространством , но значения точки $S$ тройственны:

1. точка $P$ лежащего в основе топологического пространства;
2. а $T$-ценная точка $S$ является морфизмом из $T$ к $S$, для любой схемы $T$;
3. геометрическая точка , где $S$ определен над (наделен морфизмом в) ${\textrm {Spec}}(K)$, где $K$ является полем , является морфизмом из ${\textrm {Spec}}({\overline {K}})$ к $S$ где ${\overline {K}}$ является алгебраическим замыканием $K$.

Геометрические точки — это то, что в большинстве классических случаев, например, алгебраических многообразий , являющихся комплексными многообразиями , было бы точками обычного смысла. Очки $P$ базового пространства включают аналоги общих точек (в смысле Зарисского , а не Андре Вейля ), которые специализируются на точках обычного смысла. $T$-значные точки рассматриваются посредством леммы Йонеды как способ идентификации $S$ с представимым функтором $h_{S}$ оно настраивает. Исторически существовал процесс, при котором в проективной геометрии добавлялось больше точек ( например, сложные точки, бесконечная линия ) для упрощения геометрии путем уточнения базовых объектов. $T$-оцененные баллы были огромным дальнейшим шагом.В рамках преобладающего подхода Гротендика существуют три соответствующих понятия слоя морфизма: первое — это простой прообраз точки. Два других образуются путем создания волоконных продуктов двух морфизмов. Например, геометрический слой морфизма $S^{\prime }\to S$ мыслится как $S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})$.Это делает расширение аффинных схем , где это всего лишь тензорное произведение R-алгебр , на все схемы операции расслоенного произведения значимым (хотя и технически анодным) результатом.

поляризация

встраивание в проективное пространство

Проект

См . «Строительство проекта» .

формула прогноза

Формула проекции гласит, что для морфизма $f:X\to Y$ схем, ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль ${\mathcal {F}}$ и локально бесплатно ${\mathcal {O}}_{Y}$-модуль ${\mathcal {E}}$ конечного ранга, существует естественный изоморфизм $f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E$(суммируя, $f_{*}$ линейна относительно действия локально свободных пучков.)

проективный

1. Проективное многообразие — замкнутое подмногообразие проективного пространства.

2. Проективная схема над схемой S — это S -схема, факторизующая некоторое проективное пространство. $\mathbf {P} _{S}^{N}\to S$ как закрытая подсхема.

3. Проективные морфизмы определяются аналогично аффинным морфизмам: f : Y → X называется проективным , если он факторизуется как замкнутое погружение, за которым следует проекция проективного пространства. $\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X$ к $X$. Обратите внимание, что это определение является более ограничительным, чем определение EGA , II.5.5.2. Последний определяет $f$ быть проективным, если он задается глобальным Proj квазикогерентной градуированной O _X -алгебры ${\mathcal {S}}$ такой, что ${\mathcal {S}}_{1}$ конечно порождена и порождает алгебру ${\mathcal {S}}$. Оба определения совпадают, когда $X$ аффинен или, в более общем смысле, если он квазикомпактен, разделен и допускает обильный пучок, например, если $X$ представляет собой открытую подсхему проективного пространства $\mathbb {P} _{A}^{n}$ по кольцу $A$.

проективный пучок

Если E — локально свободный пучок на схеме X , проективное расслоение P ( E ) схемы E является глобальным Proj симметрической алгебры двойственной к E : $\mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).$ Фултона Обратите внимание, что это определение в настоящее время является стандартным (например, теория пересечения ), но отличается от EGA и Hartshorne (они не принимают двойственное определение).

проективно нормальный

См . #нормальный .

правильный

Морфизм является собственным , если он отделим, универсально замкнут (т. е. такой, что расслоенные произведения с ним являются замкнутыми отображениями) и имеют конечный тип. Проективные морфизмы собственные; но обратное, вообще говоря, неверно. См. также полное разнообразие . Глубоким свойством собственных морфизмов является существование факторизации Штейна , а именно существование промежуточной схемы, такой, что морфизм может быть выражен как морфизм со связными слоями, за которым следует конечный морфизм.

свойство Р

Пусть P — свойство схемы, устойчивой относительно замены базы (конечного типа, собственной, гладкой, этальной и т. д.). Тогда представимый морфизм $f:F\to G$ говорят, что он обладает свойством P, если для любого $B\to G$ с Б схема, изменение базы $F\times _{G}B\to B$ свойство P. имеет

псевдоредуктивный

Псевдоредуктивность обобщает редуктивность в контексте связной гладкой линейной алгебраической группы .

чистое измерение

Схема имеет чистую размерность d, если каждая неприводимая компонента имеет размерность d .

вопрос

квазикогерентный

Квазикогерентный пучок на нетеровой схеме X — это пучок O _X -модулей , локально заданный модулями.

квазикомпактный

Морфизм f : Y → X называется квазикомпактным , если для некоторого (эквивалентно: любого) открытого аффинного покрытия X некоторым U _i = Spec B _i прообразы f ⁻¹ ( U _i ) квазикомпактны .

квазиконечный

Морфизм f : Y → X имеет конечные слои , если слой над каждой точкой $x\in X$ является конечным множеством. Морфизм называется квазиконечным, если он имеет конечный тип и имеет конечные слои.

квазипроективный

Квазипроективное многообразие — это локально замкнутое подмногообразие проективного пространства.

квазиотделенный

Морфизм f : Y → X называется квазиотделимым или ( Y квазиотделим над X ), если диагональный морфизм Y → Y × _X Y квазикомпактен. Схема Y называется квазиразделенной , если Y квазиразделенная над Spec( Z ).

квазираскол

Редуктивная группа $G$ определено над полем $k$ квазирасщеплена тогда и только тогда , когда она допускает борелевскую подгруппу $B\subseteq G$ определено более $k$. Любая квазирасщепляемая редуктивная группа является расщепленно-редуктивной группой, но существуют квазирасщепляемые редуктивные группы, которые не являются расщепленно-редуктивными.

Схема котировок

Схема Quot параметризует факторы локально свободных пучков на проективной схеме.

стек частных

Обычно обозначаемый [ X / G ], факторстек обобщает фактор схемы или многообразия.

Р

рациональный

1. Над алгебраически замкнутым полем многообразие рационально , если оно бирационально проективному пространству. Например, рациональные кривые и рациональные поверхности — это те, которые бирациональны по отношению к $\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}$.

2. Для данного поля k и относительной схемы X → S точка k -рациональная X . является S -морфизмом $\operatorname {Spec} (k)\to X$.

рациональная функция

Элемент в функциональном поле $k(X)=\varinjlim k[U]$ где предел пробегает все координатные кольца открытых подмножеств U (неприводимого) алгебраического многообразия X . См. также функциональное поле (теория схем) .

рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая – это образ $\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})$.Если d = 3, ее еще называют скрученной кубикой .

рациональные особенности

Многообразие X над полем нулевой характеристики имеет рациональные особенности , если существует разрешение особенностей $f:X'\to X$ такой, что $f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}$ и $R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1$.

уменьшенный

1. Коммутативное кольцо $R$ приведен , если он не имеет ненулевых нильпотентных элементов, т. е. его нильрадикал является нулевым идеалом, ${\sqrt {(0)}}=(0)$. Эквивалентно, $R$ уменьшается, если $\operatorname {Spec} (R)$ это сокращенная схема.

2. Схема X редуцирована, если ее стебли ${\mathcal {O}}_{X,x}$ представляют собой редуцированные кольца. Эквивалентно X уменьшается, если для каждого открытого подмножества $U\subset X$, ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ является приведенным кольцом, т. е. $X$ не имеет ненулевых нильпотентных секций.

редуктивный

Связная группа линейная алгебраическая $G$ над полем $k$ является редуктивной группой тогда и только тогда, когда унипотентный радикал $R_{u}(G_{\overline {k}})$ изменения базы $G_{\overline {k}}$ из $G$ к алгебраическому замыканию ${\overline {k}}$ тривиально.

рефлексивная связка

Когерентный пучок рефлексивен , если каноническое отображение во второй двойственный пучок является изоморфизмом.

обычный

Регулярная схема — это схема, в которой локальные кольца являются регулярными локальными кольцами . Например, гладкие многообразия над полем являются регулярными, а Spec k [ x,y ]/( x ² + х ³ - и ² )= нет.

регулярное встраивание

погружение Закрытое $i:X\hookrightarrow Y$ является регулярным вложением, если каждая точка X имеет аффинную окрестность в Y, так что идеал X там порождается регулярной последовательностью . Если i — регулярное вложение, то пучок конормальный i , т. е. ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ когда ${\mathcal {I}}$ — идеальный пучок X , локально свободен.

обычная функция

Морфизм аффинную алгебраического многообразия на прямую .

представимый морфизм

Морфизм $F\to G$ стеков таких, что для любого морфизма $B\to G$ по схеме Б базовое изменение $F\times _{G}B$ является алгебраическим пространством. Если «алгебраическое пространство» заменить «схемой», то оно называется сильно представимым.

разрешение особенностей

Разрешение особенностей схемы X — это собственный бирациональный морфизм $\pi :Z\to X$ такой, что Z является гладким .

Формула Римана – Гурвица

Учитывая конечный сепарабельный морфизм $\pi :X\to Y$ между гладкими проективными кривыми, если $\pi$ является строго разветвленным (без дикого ветвления), например, над полем нулевой характеристики, то формула Римана – Гурвица связывает степень π, роды X , Y и индексы ветвления : $2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)$.В настоящее время формула рассматривается как следствие более общей формулы (которая справедлива, даже если π не является ручным): $K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R$где $\sim$ означает линейную эквивалентность и $R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P$ является делителем относительного котангенса $\Omega _{X/Y}$ (называемый разными ).

Формула Римана – Роха

1. Если L — линейное расслоение степени d кривой рода g , то формула Римана–Роха вычисляет эйлерову характеристику L на гладкой проективной : $\chi (L)=d-g+1$.Например, из формулы следует, что степень канонического делителя K равна 2 g - 2.

2. Общая версия принадлежит Гротендику и называется формулой Гротендика–Римана–Роха . Там написано: если $\pi :X\to S$ — собственный морфизм с гладкими X , S , и если E — векторное расслоение на X , то в качестве равенства в рациональной группе Чоу $\operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))$где $\pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}$, $\operatorname {ch}$ означает символ Черна и $\operatorname {td}$ класс Тодда касательного расслоения пространства, а над комплексными числами: $\pi _{*}$ есть интегрирование по слоям . Например, если база S — точка, X — гладкая кривая рода g , а E — линейное расслоение L , то левая часть сводится к эйлеровой характеристике, а правая — к $\pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.$

жесткий

Любая бесконечно малая деформация тривиальна. Например, проективное пространство является жестким, поскольку $\operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0$ (и с использованием карты Кодайры–Спенсера ).

затвердевать

Эвристический термин, примерно эквивалентный «уничтожению автоморфизмов». Например, можно сказать: «Мы вводим структуры уровней , соответственно, отмеченные точки , чтобы закрепить геометрическую ситуацию».

С

По мнению самого Гротендика, не должно быть почти никакой истории схем, а только история сопротивления им: ... Не существует серьезного исторического вопроса о том, как Гротендик нашел свое определение схем. Это было в воздухе. Серр хорошо сказал, что схемы никто не изобретал (разговор 1995 г.). Вопрос в том, что заставило Гротендика поверить, что он должен использовать это определение, чтобы упростить 80-страничную статью Серра примерно до 1000 страниц « Элементов алгебраической геометрии» ?

[1]

схема

Схема локально — это окольцованное пространство , являющееся локально простым спектром коммутативного кольца .

Шуберт

1. Ячейка Шуберта – это B -орбита на грассманиане. $\operatorname {Gr} (d,n)$ где B – стандарт Бореля; т. е. группа верхнетреугольных матриц.

2. Многообразие Шуберта – это замыкание ячейки Шуберта.

прокрутка

Рациональный нормальный свиток представляет собой линейчатую степени поверхность $n$ в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n+1}$ для некоторых $n\in \mathbb {N} _{>1}$.

секущая разновидность

Секансное многообразие к проективному многообразию $V\subset \mathbb {P} ^{r}$ является замыканием объединения всех секущих прямых к V в $\mathbb {P} ^{r}$.

кольцо секции

или Кольцо секций кольцо сечений линейного расслоения L на схеме X — это градуированное кольцо $\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})$.

Условия Серра S _n

См. условия Серра о нормальности . См. также https://mathoverflow.net/q/22228.

Двойственность Серра

См. #дуализирующий пучок

разделенный

— Отделённый морфизм это морфизм $f$ такая, что продукт волокнистый $f$ с собой вместе $f$ имеет свою диагональ как замкнутую подсхему — другими словами, диагональный морфизм представляет собой замкнутое погружение .

пучок, созданный глобальными разделами

Пучок с набором глобальных секций, охватывающих стебель снопа в каждой точке. См. раздел «Сноп, созданный глобальными разделами» .

простой

1. Термин «простая точка» — это старый термин, обозначающий «гладкую точку».

2. Дивизор простого нормального пересечения (snc) — это другое название гладкого дивизора нормального пересечения, т.е. дивизора, который имеет только гладкие особенности нормального пересечения. Они появляются при сильной десингуляризации , а также при стабилизации задач компактификации модулей.

3. В контексте линейных алгебраических групп существуют полупростые группы и простые группы , которые сами являются полупростыми группами с дополнительными свойствами. Поскольку все простые группы редуктивны, расщепляемая простая группа — это простая группа, расщепляемая редуктивна.

гладкий

1.  

Основная статья: гладкий морфизм

Многомерным аналогом этальных морфизмов являются гладкие морфизмы . Существует много различных характеристик гладкости. Ниже приведены эквивалентные определения гладкости морфизма f : Y → X :

1. для любого y ∈ Y существуют открытые аффинные окрестности V и U точки y , x = f ( y ) соответственно, такие, что ограничение f на V действует как этальный морфизм, за которым следует проекция аффинного n -пространства на U .
2. f плоская, локально конечного представления и для каждой геометрической точки ${\bar {y}}$ Y поля (морфизм спектра алгебраически замкнутого $k({\bar {y}})$ до Y ), геометрическое волокно $X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))$ является гладким n -мерным многообразием над $k({\bar {y}})$ в смысле классической алгебраической геометрии.

2. Гладкая схема над совершенным полем k — это схема X , локально конечного типа и регулярная над k .

3. Гладкой схемой над полем k называется схема X , геометрически гладкая: $X\times _{k}{\overline {k}}$ гладкий.

особенный

Дивизор D на гладкой кривой C называется особенным , если $h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))$, который называется индексом специализации, положителен.

сферическая разновидность

Сферическое многообразие — это нормальное G -многообразие ( G связное редуктивное) с открытой плотной орбитой, образованной борелевской подгруппой группы G. -

расколоть

1. В контексте алгебраической группы $G$ для определенных свойств $P$ существует разделение производного свойства- $P$. Обычно $P$ это свойство, которое является автоматическим или более распространенным в алгебраически замкнутых полях. ${\overline {k}}$. Если это свойство уже выполняется для $G$ определенный над не обязательно алгебраически замкнутым полем $k$ затем $G$ говорят, что удовлетворяет расщеплению $P$.

2. Линейная алгебраическая группа $G$ определено над полем $k$ является тором, если только если у него изменилось основание $G_{\overline {k}}$ к алгебраическому замыканию ${\overline {k}}$ изоморфно произведению мультипликативных групп $G_{m,{\overline {k}}}^{n}$. $G$ является расщепленным тором тогда и только тогда, когда он изоморфен $G_{m,k}^{n}$ без каких-либо изменений базы. $G$ говорят, что оно расщепляется над промежуточным полем $k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}$ тогда и только тогда, когда его база изменится $G_{L}$ к $L$ изоморфен $G_{m,L}^{n}$.

3. Редуктивная группа . $G$ определено над полем $k$ является расщепляюще-редуктивным тогда и только тогда, когда максимальный тор $T\subseteq G$ определено более $k$ является расщепленным тором. Поскольку любая простая группа редуктивна, расщепляемая простая группа означает простую группу, которая является расщепляюще-редуктивной.

4. Связная разрешимая линейная алгебраическая группа. $G$ определено над полем $k$ расщепляется тогда и только тогда , когда он имеет композиционный ряд $B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}$ определено более $k$ такая, что каждое последующее частное $B_{i}/B_{i+1}$ изоморфна либо мультипликативной группе $G_{m,k}$ или аддитивная группа $G_{m,a}$ над $k$.

5. Линейная алгебраическая группа. $G$ определено над полем $k$ расщепляется борелевская тогда и только тогда, когда у него есть подгруппа $B\subseteq G$ определено более $k$ расщепленную в смысле связных разрешимых линейных алгебраических групп.

6. В классификации вещественных алгебр Ли расщепляемые алгебры Ли важную роль играют . Существует тесная связь между линейными группами Ли, ассоциированными с ними алгебрами Ли и линейными алгебраическими группами над $k=\mathbb {R}$ соотв. $\mathbb {C}$. Термин «раскол» имеет аналогичное значение для теории Ли и линейных алгебраических групп.

стабильный

1. Стабильная кривая — это кривая с некоторой «мягкой» особенностью, используемая для построения хорошего пространства модулей кривых .

2. Устойчивое векторное расслоение используется для построения пространства модулей векторных расслоений .

куча

Стек параметризует множества точек вместе с автоморфизмами.

строгое преобразование

Учитывая взрыв $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ вдоль замкнутой подсхемы Z и морфизма $f:Y\to X$строгое преобразование Y это (также называемое собственным преобразованием) — раздутие ${\widetilde {Y}}\to Y$ Y подсхеме по замкнутой $f^{-1}Z$. Если f — замкнутое погружение, то индуцированное отображение ${\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ также является закрытым погружением.

подсхема

Подсхема является замкнутой без квалификатора X подсхемой открытой подсхемы X .

поверхность

Алгебраическое многообразие размерности два.

симметричная разновидность

Аналог симметричного пространства . См. симметричную разновидность .

Т

касательное пространство

См. касательное пространство Зарисского .

тавтологическое расслоение

Тавтологическое линейное расслоение проективной схемы X является двойственным скручивающему пучку Серра. ${\mathcal {O}}_{X}(1)$; то есть, ${\mathcal {O}}_{X}(-1)$.

теорема

См. основную теорему Зариского , теорему о формальных функциях , теорему о замене базы когомологий , категорию: Теоремы алгебраической геометрии .

вложение тора

Старый термин для торического многообразия.

торическое разнообразие

Торическое многообразие — это нормальное многообразие с действием тора, такое, что тор имеет открытую плотную орбиту.

тропическая геометрия

Разновидность кусочно-линейной алгебраической геометрии. См. тропическую геометрию .

тор

Расщепляемый тор — это произведение конечного числа мультипликативных групп. $\mathbb {G} _{m}$.

В

универсальный

1. Если функтор модулей F представлен некоторой схемой или алгебраическим пространством M , то универсальный объект — это элемент F ( M ), соответствующий тождественному морфизму M → M (который является M -точкой M ). Если значения F являются, скажем, классами изоморфизма кривых с дополнительной структурой, то универсальный объект называется универсальной кривой . было Тавтологическое расслоение бы еще одним примером универсального объекта.

2. Пусть ${\mathcal {M}}_{g}$ – модули гладких проективных кривых рода g и ${\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}$ гладких проективных кривых рода g с одиночными отмеченными точками. В литературе карта забывчивости $\pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}$часто называют универсальной кривой.

универсально

Морфизм обладает некоторым свойством универсальности, если этим свойством обладают все изменения базисов морфизма. Примеры включают универсально цепную , универсально инъективную .

неразветвленный

Для точки $y$ в $Y$, рассмотрим соответствующий морфизм локальных колец $f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}$.Позволять ${\mathfrak {m}}$ быть максимальным идеалом ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}$, и пусть ${\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}$быть идеалом, порожденным образом ${\mathfrak {m}}$ в ${\mathcal {O}}_{Y,y}$. Морфизм $f$ неразветвлен ) , (соответственно G-неразветвлен если он локально конечного типа (соответственно локально конечного представления) и если для всех $y$ в $Y$, ${\mathfrak {n}}$ является максимальным идеалом ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ и индуцированное отображение ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}$является конечным сепарабельным расширением поля . Это геометрическая версия (и обобщение) расширения неразветвленного поля в теории алгебраических чисел .

V

разнообразие

синоним «алгебраического разнообразия».

очень обильный

Линейное расслоение L на многообразии X очень обильно, если X можно вложить в проективное пространство так, что L является ограничением скручивающего пучка Серра O (1) на проективном пространстве.

В

слабо нормальный

схема является слабо нормальной, если любой конечный бирациональный морфизм к ней является изоморфизмом.

Потому что делитель

Другой, но более стандартный термин для «цикла коразмерности один»; делитель см. .

Вейль взаимность

См. взаимность Вейля .

С

Пространство Зариского – Римана

Пространство Зарисского–Римана — это локально окольцованное пространство, точки которого являются кольцами нормирования.

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN.  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР   0217085 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков. Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 17 . дои : 10.1007/bf02684890 . МР   0163911 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР   0173675 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР   0199181 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 . дои : 10.1007/bf02684343 . МР   0217086 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 . дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Коллар, Янош , «Книга о модулях поверхностей», доступная на его веб-сайте [2]
• Конспекты курса Мартина Олссона, написанные Антоном, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/writing/Stacks/Stacks.pdf
• Книга , разработанная многими авторами.

См. также

• Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
• Глоссарий классической алгебраической геометрии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Глоссарий римановой и метрической геометрии
• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Список поверхностей
• Список кривых