Jump to content

Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий коразмерности -1 алгебраических многообразий . Обычно используются два разных обобщения: делители Картье и делители Вейля (названные честь Пьера Картье и Андре Вейля в Дэвидом Мамфордом ). Оба выведены из понятия делимости целых чисел и полей алгебраических чисел .

коразмерности 1 В глобальном масштабе каждое подмногообразие проективного пространства определяется исчезновением одного однородного многочлена ; Напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно может быть определено только с помощью r уравнений, когда r больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразия может быть задано одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие путем анализа его подмногообразий коразмерности 1 и соответствующих линейных расслоений .

На сингулярных многообразиях это свойство также может нарушаться, поэтому необходимо различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые локально определяются одним уравнением. Первые являются делителями Вейля, а вторые — делителями Картье.

Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологии , а дивизоры Картье представляют когомологии классы . В гладком многообразии (или, в более общем плане, в регулярной схеме ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, говорит, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.

Название «делитель» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали значимость областей Дедекинда для изучения алгебраических кривых . [1] Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой дробных идеалов дедекиндовой области.

Алгебраический цикл — это обобщение дивизора более высокой коразмерности; по определению дивизор Вейля — это цикл коразмерности 1.

Дивизоры на римановой поверхности

[ редактировать ]

Риманова поверхность — это одномерное комплексное многообразие , поэтому его подмногообразия коразмерности 1 имеют размерность 0. Группа дивизоров на компактной римановой поверхности X это свободная абелева группа в точках X.

Эквивалентно, дивизор на компактной римановой поверхности X представляет собой конечную линейную комбинацию точек X с целыми коэффициентами. Степень X делителя числа равна сумме его коэффициентов.

Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок исчезновения f в точке p в X , ord p ( f ). Это целое число, отрицательное, если f имеет полюс в точке p . Дивизор ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как

что является конечной суммой. Делители вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), набор главных делителей является подгруппой группы дивизоров. Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .

На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; т. е. число нулей мероморфной функции равно числу полюсов, подсчитанных с кратностью. В результате степень корректно определена на классах линейной эквивалентности дивизоров.

Учитывая дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не более чем заданными D , называемое H 0 ( X , O ( D )) или пространство секций линейного расслоения, связанного с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (поскольку у мероморфной функции не может быть больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H 0 ( X , O ( mD )) растет линейно по m при достаточно большом m . Теорема Римана–Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точный размер H 0 ( X , O ( D )) для дивизоров D низкой степени является тонким и не полностью определяется степенью D . В этих размерах отражены особенности компактной римановой поверхности.

Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала определяют дивизор ненулевой мероморфной 1-формы, как указано выше. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является одномерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. этом классе линейной эквивалентности называется каноническим дивизором X Любой дивизор , KX в . Род заключается в том, имеет ли канонический g из X можно прочитать по каноническому дивизору: а именно, K X имеет степень 2 g - 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей X дивизор отрицательную степень (поэтому X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не менее 2). Например, это определяет, ли X имеет метрику Кэлера с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфно сфере Римана CP. 1 .

Потому что делители

[ редактировать ]

Пусть X целая локально нётерова схема . Простой дивизор или дивизор на X — это целочисленная замкнутая подсхема Z коразмерности неприводимый в X. 1 Дивизор Вейля на X — это формальная сумма по простым делителям Z числа X ,

где коллекция локально конечен. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна будучи конечным. Группа всех дивизоров Вейля обозначается Div( X ) . Дивизор Вейля D эффективен , если все коэффициенты неотрицательны. Пишут D D′ , если разность D D′ эффективна.

Например, дивизор на алгебраической кривой над полем представляет собой формальную сумму конечного числа замкнутых точек. Делитель в Spec Z представляет собой формальную сумму простых чисел с целыми коэффициентами и, следовательно, соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Аналогичная характеристика справедлива и для дивизоров на где K — числовое поле.

Если Z X — простой делитель, то локальное кольцо имеет размерность Крулля один. Если не равно нулю, то порядок исчезновения f записываемый вдоль Z , ord Z ( f ) , длине равен Эта длина конечна, [2] и оно аддитивно по отношению к умножению, то есть ord Z ( fg ) = ord Z ( f ) + ord Z ( g ) . [3] Если k ( X ) — поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f k ( X ) можно записать как частное g / h , где g и h находятся в а порядок исчезновения f определяется как ord Z ( g ) − ord Z ( h ) . [4] Согласно этому определению, порядок исчезновения — это функция ord Z : k ( X ) × З. ​Если X нормальное , то локальное кольцо кольцо дискретного нормирования , а функция ord Z — соответствующее нормирование. Для ненулевой рациональной функции f на X главный дивизор Вейля, связанный с f, определяется как дивизор Вейля

Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, действительно определяет дивизор Вейля. Главный дивизор Вейля, связанный с f, также обозначается ( f ) . Если f — регулярная функция, то ее главный делитель Вейля эффективен, но, вообще говоря, это неверно. Из аддитивности порядка исчезновения функции следует, что

Следовательно, div является гомоморфизмом и, в частности, его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.

Пусть X — нормальная целочисленная нётерова схема. Каждый дивизор Вейля D определяет когерентный пучок на Х. ​Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций. [5]

То есть ненулевая рациональная функция f является сечением над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U ,

где n Z коэффициент при Z в D. — Если D является главным, то есть D является делителем рациональной функции g , то существует изоморфизм

с является эффективным делителем и поэтому является регулярным благодаря нормальности X . И наоборот, если изоморфен как -модуль, то D главный. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда является обратимым; то есть линейный пучок.

Если D — эффективный делитель, соответствующий подсхеме X (например, D может быть приведенным делителем или простым делителем), то идеальный пучок подсхемы D равен Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности:

Пучковые когомологии этой последовательности показывают, что содержит информацию о том, являются ли регулярные функции на D ограничениями регулярных функций на X .

Также имеется включение шкивов

Это дает канонический элемент а именно, образ глобального сечения 1. Это называется каноническим сечением и может обозначаться s D . Если каноническое сечение представляет собой образ никуда не исчезающей рациональной функции, то ее образ в исчезает вдоль D, поскольку функции перехода исчезают вдоль D . Когда D является гладким дивизором Картье, можно идентифицировать коядро указанного выше включения; см. разделители #Cartier ниже.

Предположим, что X — нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D — делитель Вейля. Затем первого ранга является рефлексивным пучком , и поскольку определяется как подпучок это дробный идеальный пучок (см. ниже). И наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: пучок может быть ограничен регулярным локусом, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (опять же, см. ниже), и поскольку сингулярный локус имеет коразмерность не менее во-вторых, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.

Группа классов делителей

[ редактировать ]

Группа классов дивизоров Вейля Cl( X ) является фактором Div( X ) по подгруппе всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными, если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров представляет собой группу дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чоу ; а именно, Cl( X ) — это группа Чоу CH n −1 ( X ) ( n − 1)-мерных циклов.

Пусть Z замкнутое подмножество X. — Если Z неприводима коразмерности один, то Cl( X Z ) изоморфна фактор-группе Cl( X ) по классу Z . Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl( X ) → Cl( X Z ) является изоморфизмом. [6] (Эти факты представляют собой частные случаи последовательности локализации групп Чжоу.)

В нормальной целочисленной нетеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда и изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Затем определяет изоморфизм моноида из группы классов дивизоров Вейля X в моноид классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга один на X .

  • Пусть k — поле, и пусть n — целое положительное число. Поскольку кольцо полиномов k [ x 1 , ..., x n ] является уникальной областью факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства A н над k равна нулю. [7] Поскольку проективное пространство P н над k минус гиперплоскость H изоморфна A н , то группа классов дивизоров P н порождается классом H . Отсюда несложно проверить, что Cl( P н фактически изоморфен целым числам Z , порожденным H. ) Конкретно это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 P н определяется обращением в нуль одного однородного многочлена.
  • Пусть X — алгебраическая кривая над полем k . Каждая замкнутая точка p в X имеет форму Spec E для некоторого конечного поля расширения поля k , а p определяется E как степень E степень над k . Расширение этого за счет линейности дает понятие степени дивизора на X . Если X проективная кривая над k , то дивизор ненулевой рациональной функции f на X имеет нулевую степень. [8] В результате для проективной кривой X степень дает гомоморфизм deg: Cl( X ) → Z .
  • Аффинный квадратичный конус xy = z 2 .
    Пусть X квадрика размерности 2, определенная уравнением xy = z 2 в аффинном трехмерном пространстве над полем. Тогда линия D в X, определяемая соотношением x = z = 0, не является главной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как множество одним уравнением на X , а именно x = 0; но функция x на X обращается в нуль до порядка 2 вдоль D , и поэтому мы обнаруживаем только, что 2 D является Картье (как определено ниже) X. на Фактически группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна циклической группе Z порожденной классом D. /2 , [10]
  • Пусть X — квадрика размерности 3, определенная уравнением xy = zw в аффинном 4-мерном пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определенная формулой x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением вблизи начала координат, даже как набор. Отсюда следует, что D не является Q-Картье на X ; то есть ни одно положительное кратное D не является Картье. Фактически, группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна целым числам Z порожденным классом D. , [11]

Канонический делитель

[ редактировать ]

Пусть X — нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкое : локус U в X — это открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность не менее 2. Пусть j : U X — отображение включения, тогда гомоморфизм ограничения

является изоморфизмом, поскольку X U имеет коразмерность не менее 2 в X . Например, можно использовать этот изоморфизм для определения канонического дивизора K X числа X : это дивизор Вейля (с точностью до линейной эквивалентности), соответствующий линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на U . Аналогично, пучок на X пучок прямых изображений где n размерность X.

Пример : Пусть X = P н — проективное n -пространство с однородными координатами x 0 , ..., x n . Пусть U { x0 = ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y i = x i / x 0 . Позволять

Тогда ω — рациональная дифференциальная форма на U ; таким образом, это рациональный раздел который имеет простые полюса вдоль Z i = { x i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, поэтому мы видим, что ω имеет простой полюс вдоль Z 0 также . Таким образом, делитель ω равен

и его класс делителя

где [ ЧАС ] = [ Z я ], я знак равно 0, ..., п . (См. также последовательность Эйлера .)

Делители Картье

[ редактировать ]

Пусть X — целая нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности

Дивизор Картье на X — это глобальное сечение Эквивалентное описание состоит в том, что делитель Картье представляет собой набор где представляет собой открытую крышку это раздел на и на с точностью до умножения на часть

Дивизоры Картье также имеют теоретико-пучковое описание. Дробный идеальный пучок – это под- -модуль Дробный пучок идеалов J обратим , если для каждого x в X существует открытая окрестность U точки x , на которой ограничение J на ​​U равно где и товар принимается Каждый делитель Картье определяет обратимый дробный идеальный пучок, используя описание делителя Картье как набора и наоборот, обратимые дробные идеальные пучки определяют делители Картье. Если дивизор Картье обозначается D , то соответствующий пучок дробных идеалов обозначается или Л ( Д ).

Согласно точной последовательности, указанной выше, существует точная последовательность групп пучков когомологий :

Дивизор Картье называется главным , если он принадлежит образу гомоморфизма то есть, если это делитель рациональной функции на X . Два делителя Картье линейно эквивалентны, если их разность главная. Каждое линейное расслоение L на целочисленной нетеровой схеме X является классом некоторого дивизора Картье. В результате приведенная выше точная последовательность отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целочисленной нетеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. В более общем смысле это справедливо для приведенных нётеровых схем или для квазипроективных схем над нётеровым кольцом: [12] но в целом оно может не сработать (даже для правильных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности. [13]

Предположим, что D — эффективный делитель Картье. Тогда существует короткая точная последовательность

Эта последовательность получена из короткой точной последовательности, связывающей структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D — делитель Картье, локально свободна и, следовательно, тензоризирует эту последовательность с помощью дает еще одну короткую точную последовательность, приведенную выше. Когда D является гладким, является нормальным расслоением D в X .

Сравнение делителей Вейля и делителей Картье

[ редактировать ]

Дивизор Вейля D называется картье тогда и только тогда, когда пучок является обратимым. Когда это произойдет, (с его вложением в M X ) — это линейное расслоение, связанное с дивизором Картье. Точнее, если обратима, то существует открытое покрытие { U i } такое, что ограничивается тривиальным расслоением на каждом открытом множестве. Для каждого U i выберите изоморфизм Образ под этой картой находится раздел на У я . Потому что определяется как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией f i . Коллекция тогда является делителем Картье. Это четко определено, поскольку единственным выбором было накрытие и изоморфизм, ни один из которых не меняет дивизор Картье. Этот делитель Картье можно использовать для создания пучка, который для различия мы обозначим L ( D ). Существует изоморфизм с L ( D ), определенным путем работы над открытым покрытием { U i }. Ключевым фактом, который следует здесь проверить, является то, что функции перехода и L ( D ) совместимы, и это означает, что все эти функции имеют вид

В противоположном направлении делитель Картье на целочисленной нётеровой схеме X определяет дивизор Вейля на X , применяя естественным образом функциям f i на открытых множествах U i .

Если X является нормальным, дивизор Картье определяется соответствующим дивизором Вейля, а делитель Вейля является Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.

Нётерова схема X называется факториальной , если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . [5] (Некоторые авторы говорят «локально факториал».) В частности, каждая регулярная схема является факториалом. [14] В факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, и поэтому всегда является линейным расслоением. [7] Однако в общем случае дивизор Вейля в нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры четырехугольных конусов выше.

Эффективные делители Картье

[ редактировать ]

Эффективные делители Картье — это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теорию эффективных дивизоров Картье можно развивать без каких-либо ссылок на пучки рациональных функций или дробные идеальные пучки.

Пусть X — схема. Эффективный дивизор Картье на X — это идеальный пучок I , который обратим и такой, что для каждой точки x в X стебель I x является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A такое, что U D = Spec A / ( f ) , где f — ненулевой делитель в A . Сумма двух эффективных делителей Картье соответствует произведению идеальных пучков.

Существует хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ : X S — морфизм. Относительный эффективный делитель Картье для X над S — это эффективный дивизор Картье D над X который плоский над S. , В силу предположения плоскостности для каждого происходит откат D к и этот откат является эффективным делителем Картье. В частности, это справедливо для слоев φ.

Лемма Кодайры

[ редактировать ]

В качестве основного результата (большого) делителя Картье существует результат, называемый леммой Кодаиры: [15] [16]

Пусть X — неприводимое проективное многообразие , D — большой дивизор Картье на X , а H — произвольный эффективный дивизор Картье X. на Затем

.

для всех достаточно больших .

Лемма Кодайры дает некоторые результаты относительно большого делителя.

Функциональность

[ редактировать ]

Пусть φ : X Y — морфизм целых локально нётеровых схем. Часто, но не всегда, можно использовать φ для перевода делителя D из одной схемы в другую. Возможно ли это, зависит от того, является ли дивизор дивизором Вейля или Картье, должен ли дивизор перемещаться из X в Y или наоборот, и какими дополнительными свойствами может обладать φ.

Если Z — простой делитель Вейля на X , то является замкнутой неприводимой подсхемой Y . В зависимости от φ он может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ — раздутие точки на плоскости, а Z — исключительный дивизор, то его образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ * Z определяется как если эта подсхема является простым делителем и в противном случае определяется как делитель нуля. Расширение этого за счет линейности приведет, предполагая, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div( X ) → Div( Y ), называемый pushforward . (Если X не квазикомпактно, то прямое продвижение может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого продвижения на группах Чжоу.

Если Z — дивизор Картье, то при мягких гипотезах относительно φ имеет место обратный ход . Сноп - теоретически, когда есть карта отката , то этот откат можно использовать для определения отката делителей Картье. Что касается локальных разделов, то откат определяется как . Откат всегда определяется, если φ является доминирующим, но его нельзя определить в общем случае. Например, если X = Z и φ — включение Z в Y , то φ * Z не определен, поскольку соответствующие локальные разделы везде будут равны нулю. (Однако обратная связь соответствующего линейного расслоения определена.)

Если φ плоская, то определен обратный образ дивизоров Вейля. В этом случае обратный ход Z равен φ * Z = φ −1 ( З ) . Плоскостность φ гарантирует, что прообраз Z продолжает иметь коразмерность один. Это может оказаться неудачным для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия .

Первый класс Черна

[ редактировать ]

Для целочисленной нетеровой схемы X естественный гомоморфизм группы дивизоров Картье в группу дивизоров Вейля дает гомоморфизм

известный как первый класс Черна . [17] [18] Первый класс Чженя инъективен, если X нормален, и является изоморфизмом, если X факториален (как определено выше). В частности, дивизоры Картье можно отождествить с дивизорами Вейля в любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для X. регулярного

Явно первый класс Чженя можно определить следующим образом. Для линейного расслоения L на целочисленной нётеровой схеме X пусть s — ненулевое рациональное сечение L (т. е. сечение некоторого непустого открытого подмножества L ), которое существует в силу локальной тривиальности L . Определим дивизор ( s ) Вейля на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Чженя L можно определить как дивизор ( s ). Изменение рационального сечения s меняет этот делитель посредством линейной эквивалентности, поскольку ( fs ) = ( f ) + ( s ) для ненулевой рациональной функции f и ненулевого рационального сечения s языка L . Таким образом, элемент c 1 ( L ) в Cl( X ) корректно определен.

Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение цикла , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля–Мура :

Последняя группа определяется с использованием пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Аналогично, группа Пикара отображается в целые когомологии с помощью первого класса Черна в топологическом смысле:

Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , где правое вертикальное отображение представляет собой кепочное произведение с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля – Мура:

Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.

Глобальные разделы линейных пучков и линейных систем

[ редактировать ]

Дивизор Картье эффективен , если его локальные определяющие функции f i регулярны (а не только рациональные функции). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, определенной локально через fi = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда связанное с ним линейное расслоение имеет ненулевой глобальный раздел s ; тогда D линейно эквивалентен нулевому локусу s .

Пусть X проективное многообразие над полем k . Затем умножив глобальную часть ненулевым скаляром по k не меняет своего нулевого локуса. В результате проективное пространство прямых в k -векторном пространстве глобальных сечений H 0 ( X , O ( D )) можно отождествить с набором эффективных дивизоров, линейно эквивалентных называемых полной линейной системой D. , D Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров .

Одной из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения является понимание возможных отображений данного многообразия в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно, морфизм многообразия X в проективное пространство P н над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения на П н . Более того, в L имеется n +1 секций, базовое множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. И наоборот, любое линейное расслоение L с n +1 глобальными сечениями, общее базовое множество которых пусто, определяет морфизм X P. н . [19] Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности дивизоров Картье (или линейных расслоений), таких как обильные делители и делители nef . [20]

Для дивизора D на проективном многообразии X над полем k -векторное k пространство H 0 ( X , O ( D )) имеет конечную размерность. Теорема Римана-Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X является проективной кривой. Последовательные обобщения, теорема Хирцебруха-Римана-Роха и теорема Гротендика-Римана-Роха , дают некоторую информацию о размерности H. 0 ( X , O ( D )) для проективного многообразия X любой размерности над полем.

Поскольку канонический дивизор неразрывно связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, заданные K X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры X инвариантом, измеряющим является ключевым бирациональным рост векторных пространств H. 0 ( X , mK X ) (что означает H 0 ( X , O ( mK X ))) при m увеличении . Размерность Кодайры делит все n -мерные многообразия на n +2 класса, которые (очень грубо) идут от положительной кривизны к отрицательной кривизне.

Q-делители

[ редактировать ]

Пусть X — нормальное многообразие. -дивизор (Вейля) Q коразмерности 1 — это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий X с рациональными коэффициентами. ( R -делитель определяется аналогично.) Q -делитель эффективен , если коэффициенты неотрицательны. Q числа -делитель D является Q-делителем Картье , если mD является делителем Картье для некоторого положительного целого m . Если X гладкое, то каждый Q -делитель является Q -Картье.

Если

является Q -делителем, то его округление вниз будет делителем

где — наибольшее целое число, меньшее или равное a . Сноп тогда определяется как

Теорема Гротендика–Лефшеца о гиперплоскости.

[ редактировать ]

Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости следует, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic( X ) → Pic( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y — гладкое полное многообразие пересечений размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденная ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.

Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, используя произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R локальное кольцо полного пересечения , факториальное в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество кольца R имеет коразмерность не менее 4), то R — уникальная область факторизации (и, следовательно, каждая область факторизации Вейля делитель на Spec( R ) — Картье). [21] Ограничение размера здесь является оптимальным, как показано на примере трехмерного квадратичного конуса выше.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Дьедонне (1985), раздел VI.6.
  2. ^ Проект Stacks, тег 00PF .
  3. ^ Проект Stacks, тег 02MC .
  4. ^ Проект Stacks, тег 02MD .
  5. ^ Jump up to: а б Коллар (2013), Обозначение 1.2.
  6. ^ Хартсхорн (1977), Предложение II.6.5.
  7. ^ Jump up to: а б Хартсхорн (1977), Предложение II.6.2.
  8. ^ Проект Stacks, тег 02RS .
  9. ^ Клейман (2005), теоремы 2.5 и 5.4, замечание 6.19.
  10. ^ Хартсхорн (1977), Пример II.6.5.2.
  11. ^ Хартсхорн (1977), Упражнение II.6.5.
  12. ^ Гротендик, EGA IV, Часть 4, Предложение 21.3.4, Следствие 21.3.5.
  13. ^ Лазарсфельд (2004), Пример 1.1.6.
  14. ^ Проект Stacks, тег 0AFW .
  15. ^ «Глава 2. Предварительные сведения». Основы минимальной модельной программы . Мемуары Математического общества Японии. 2017. С. 16–47. doi : 10.2969/msjmemoirs/03501C020 . ISBN  978-4-86497-045-7 .
  16. ^ ( Лазарсфельд 2004 , стр. 141, предложение 2.2.6.)
  17. ^ Для многообразия X над полем классы Чженя любого векторного расслоения на X действуют шапочным произведением на группах Чоу X , и гомоморфизм здесь можно описать как L ↦ c 1 ( L ) ∩ [ X ].
  18. ^ Эйзенбуд и Харрис 2016 , § 1.4.
  19. ^ Хартсхорн (1977), Теорема II.7.1.
  20. ^ ( Лазарсфельд 2004 , Глава 1)
  21. ^ Гротендик, SGA 2, следствие XI.3.14.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f75dc29a3fa61d0d9497cd2cfa976a90__1681487940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f7/90/f75dc29a3fa61d0d9497cd2cfa976a90.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Divisor (algebraic geometry) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)