Относительный эффективный делитель Картье

В алгебраической геометрии относительный эффективный дивизор Картье представляет собой, грубо говоря, семейство эффективных дивизоров Картье . А именно, эффективный дивизор Картье в схеме X над кольцом R — это замкнутая подсхема D кольца X , которая (1) плоская над R и (2) идеальный пучок $I(D)$ группы D локально свободен от ранга один (т. е. обратимый пучок). Эквивалентно, замкнутая подсхема D схемы X является эффективным делителем Картье, если существует открытое аффинное накрытие. $U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}$ X и ненулевых делителей $f_{i}\in A_{i}$ такое, что пересечение $D\cap U_{i}$ задается уравнением $f_{i}=0$ (называемые локальными уравнениями) и $A/f_{i}A$ плоская над R и такая, что они совместимы.

Эффективный дивизор Картье как геометрическое нулевое сечение участка линейного расслоения.

Пусть L — линейное расслоение на X и s — его сечение такое, что $s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L$ (другими словами, s — это ${\mathcal {O}}_{X}(U)$— регулярный элемент для любого открытого подмножества U. )

Выберите открытую обложку $\{U_{i}\}$ из X такой, что $L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}$. Для каждого i посредством изоморфизмов ограничение $s|_{U_{i}}$ соответствует ненулевому делителю $f_{i}$ из ${\mathcal {O}}_{X}(U_{i})$. Теперь определим замкнутую подсхему $\{s=0\}$ из X (называемого нулевым локусом сечения s ) посредством

$\{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},$

где правая часть означает замкнутую подсхему $U_{i}$ задается идеальным пучком, порожденным $f_{i}$. Это четко определено (т. е. они согласны в отношении совпадений), поскольку $f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ является единичным элементом. По этой же причине закрытая подсхема $\{s=0\}$ не зависит от выбора локальных тривиализаций.

Эквивалентно, нулевой локус s можно построить как слой морфизма; а именно, рассматривая L как его полное пространство, сечение s является X -морфизмом L : морфизмом $s:X\to L$ такой, что следует за ним $L\to X$ это личность. Затем $\{s=0\}$ может быть построено как расслоенное произведение s и вложения нулевого сечения $s_{0}:X\to L$.

Наконец, когда $\{s=0\}$ плоский над базовой схемой S он является эффективным дивизором Картье на X над S. , Более того, эта конструкция исчерпывает все эффективные дивизоры Картье на X следующим образом. Пусть D — эффективный дивизор Картье и $I(D)$ обозначим идеальный пучок D . Ввиду локальной свободы, принимая $I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-$ из $0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0$ дает точную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0$

В частности, 1 в $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ можно идентифицировать по разделу в $\Gamma (X,I(D)^{-1})$, который мы обозначим через $s_{D}$.

Теперь мы можем повторить предыдущий аргумент с $L=I(D)^{-1}$. Поскольку D — эффективный делитель Картье, D локально имеет вид $\{f=0\}$ на $U=\operatorname {Spec} (A)$ для некоторого ненолевого делителя f в A . Тривиализация $L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A$ дается умножением на f ; в частности, 1 соответствует f . Следовательно, нулевой локус $s_{D}$ это Д. ​

Характеристики

• Если D и D' — эффективные делители Картье, то сумма $D+D'$ - эффективный делитель Картье, локально определяемый как $fg=0$ если f , g дают локальные уравнения для D и D' .
• Если D — эффективный делитель Картье и $R\to R'$ является кольцевым гомоморфизмом, то $D\times _{R}R'$ является эффективным делителем Картье в $X\times _{R}R'$.
• Если D — эффективный делитель Картье и $f:X'\to X$ плоский морфизм над R , то $D'=D\times _{X}X'$ — эффективный дивизор Картье в X' с идеальным пучком $I(D')=f^{*}(I(D))$.

Примеры

Эффективные делители Картье на относительной кривой

С этого момента предположим, что X — гладкая кривая (все еще над R ). Пусть D — эффективный дивизор Картье в X и предположим, что он собственный над R (что является непосредственным, если X собственный). Тогда $\Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})$ является локально свободным R -модулем конечного ранга. Этот ранг называется степенью D и обозначается через $\deg D$. Это локально постоянная функция на $\operatorname {Spec} R$. Если D и D' — собственные эффективные делители Картье, то $D+D'$ правильна над R и $\deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')$. Позволять $f:X'\to X$ — конечный плоский морфизм. Затем $\deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)$. С другой стороны, изменение базы не меняет степень: $\deg(D\times _{R}R')=\deg(D)$.

Замкнутая подсхема D схемы X конечна, плоская и конечного представления тогда и только тогда, когда она является эффективным дивизором Картье, собственным над R .

Дивизоры Вейля, связанные с эффективными дивизорами Картье

Учитывая эффективный дивизор Картье D , существует два эквивалентных способа связать дивизор Вейля $[D]$ к этому.

Ссылки

• Кац, Николас М ; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08352-5 .