Правильный морфизм
В алгебраической геометрии собственный морфизм является схем аналогом правильного отображения комплексных аналитических пространств .
Некоторые авторы называют собственное многообразие над полем k многообразием полным . Например, каждое проективное многообразие над полем k является собственным над k . Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является собственной над C тогда и только тогда, когда пространство X ( C ) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово .
является Закрытое погружение правильным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный .
Определение [ править ]
Морфизм Z f : X → Y схем называется универсально замкнутым , если для каждой схемы с морфизмом Z → Y проекция из расслоенного произведения
является замкнутым отображением лежащих в основе топологических пространств . Морфизм схем называется собственным, если он отделим , конечного типа и универсально замкнут ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). Также говорят, что X является собственным над Y . В частности, многообразие X над полем k называется собственным над k, если морфизм X → Spec( k ) является собственным.
Примеры [ править ]
Для любого натурального числа проективное n пространство P н над коммутативным кольцом R является собственным над R . Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы проективны. Например, существует гладкое не проективное над C. собственное комплексное многообразие размерности 3 , [1] Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над полем k . В более общем смысле, собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. [2] Например, нетрудно увидеть, что аффинная линия A 1 над полем k не является собственным над k , поскольку морфизм A 1 → Spec( k ) не является универсально замкнутым. Действительно, обратный морфизм
(заданный ( x , y ) ↦ y ) не является замкнутым, потому что образ замкнутого подмножества xy = 1 в A 1 × А 1 = А 2 это А 1 − 0, незамкнутый в A 1 .
Свойства и характеристики собственных морфизмов [ править ]
Пусть далее f : X → Y — морфизм схем.
- Композиция двух собственных морфизмов правильная.
- Любая замена базы собственного морфизма f : X → Y является собственной. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то полученный морфизм X × Y Z → Z является собственным.
- Правильность — локальное свойство на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрыта некоторыми открытыми подсхемами Y i и ограничение f на все f −1 (Y i ) является правильным, то и f .
- Более строго: правильность локальна на базе топологии fpqc . Например, если X — схема над полем k а E — расширение поля k , то X является правильным над k тогда и только тогда, когда замена базы X E является правильной над E. , [3]
- Закрытое погружение допустимо.
- В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие теоремы о повышении .
- По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. [4] Это было показано Гротендиком, если морфизм f : X → Y локально конечного представления , что следует из других предположений, Y нётеров если . [5]
- Для собственного X над схемой S и Y , разделенного над S , образ любого морфизма X → Y над S является замкнутым подмножеством Y . [6] Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
- Теорема Стейна о факторизации утверждает, что любой правильный морфизм локально нетеровой схемы может быть факторизован как X → Z → Y , где X → Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связные слои, а Z → Y конечен. [7]
- Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами . Одна из версий такова: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неприводимых компонентов (что автоматически для нетеровой схемы Y ), то существует проективный сюръективный морфизм g : W → X такой, что W проективен над Ю. Более того, можно сделать так, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U в X и что g −1 ( U ) плотно в W . Можно также сделать так, чтобы W было целым, если X было целым. [8]
- Теорема о компактификации Нагаты , обобщенная Делинем, гласит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиотделенными схемами действует как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм. [9]
- Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что высшие прямые образы R я f ∗ ( F ) (в частности, прямой образ f ∗ ( F )) когерентного пучка F когерентны (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для правильного отображения между комплексными аналитическими пространствами Грауэрт и Реммерт показали, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) В качестве совершенно частного случая: кольцо регулярных функций на правильной схеме X над полем k имеет конечную размерность. как k -векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k — это кольцо многочленов k [ x ], которое не имеет конечной размерности как k -векторное пространство.
- Существует также несколько более сильное утверждение: ( EGA III , 3.2.4) пусть — морфизм конечного типа, S локально нетеров и а -модуль. Если носитель F собственный над S , то для каждого более высокое прямое изображение является последовательным.
- Для схемы X конечного типа над комплексными числами множество X ( C ) комплексных точек представляет собой комплексное аналитическое пространство , использующее классическую (евклидову) топологию. Для X и Y, разделенных и конечного типа над C , морфизм f : X → Y над C является собственным тогда и только тогда, когда непрерывное отображение f : X ( C ) → Y ( C ) является собственным в том смысле, что прообраз любого компакта компактно. [10]
- Если f : X → Y и g : Y → Z таковы, что gf собственный и g отделим, то f правильный. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.
Ценностный критерий правильности [ править ]
Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Шевалле . Его принято называть оценочным критерием правильности . Пусть f : X → Y — морфизм нётеровых схем конечного типа . Тогда f является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец дискретного нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), отображающейся в точку f ( x ), определенной над R , существует единственная подъем x до . (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм f : X → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактный) «любых» схем X , Y является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), определенную над R , существует единственный подъем x до . (Объединяет теги проекта 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является точкой общей Spec R , а кольца дискретного нормирования являются в точности регулярными локальными одномерными кольцами, можно перефразировать критерий: дана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s : Spec R → Y ) и при подъеме общей точки этой кривой до функция X f является правильной тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую.
Аналогично, f отделена тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме существует не более одного подъема. .
Например, учитывая оценочный критерий, легко проверить, что проективное пространство P н правильна над полем (или даже над Z ). Просто можно заметить, что для кольца дискретного нормирования R с полем дробей K каждая K -точка [ x 0 ,..., x n ] проективного пространства происходит из R -точки путем масштабирования координат так, чтобы все они лежали в R. один из них является единицей в R. и хотя бы
Геометрическая интерпретация с дисками [ править ]
Одним из мотивирующих примеров ценностного критерия правильности является трактовка как бесконечно малый диск, или комплексно-аналитически, как диск . Это происходит из-за того, что каждый степенной ряд
сходится в некотором круге радиуса вокруг начала. Тогда, используя замену координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном круге. Тогда, если мы инвертируем , это кольцо которые представляют собой степенные ряды, которые могут иметь полюс в начале координат. Топологически это представлено как открытый диск. с удаленным источником. Для морфизма схем над , это задается коммутативной диаграммой
Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение пункта в образе .
Пример [ править ]
Поучительно рассмотреть контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм факторы через аффинную диаграмму , сводя диаграмму к
где диаграмма сосредоточена вокруг на . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр
Затем поднятие схемы схем, , будет означать, что существует морфизм отправка из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может случиться. Поэтому не подходит .
интерпретация с кривых помощью Геометрическая
Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую часть интуитивного понимания того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую и дополнение точки . Тогда оценочный критерий правильности можно было бы представить в виде диаграммы.
с подъемом . Геометрически это означает, что каждая кривая на схеме можно завершить до компактной кривой. Эта интуиция согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является локальной проблемой, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца. , который является DVR, и его дробное поле . Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму
где схема представляет собой локальный диск вокруг с закрытой точкой удаленный.
морфизм формальных схем Правильный
Позволять быть морфизмом между локально нётеровыми формальными схемами . Мы говорим, что f является правильным или подходит к концу если (i) f является адическим морфизмом (т. е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение правильно, где и K — идеал определения .( EGA III зависит от выбора K. , 3.4.1) Определение не
Например, если g : Y → Z — собственный морфизм локально нётеровых схем, Z 0 — замкнутое подмножество в Z , а Y 0 — замкнутое подмножество в Y такое, что g ( Y 0 ) ⊂ Z 0 , то морфизм о формальных пополнениях является собственным морфизмом формальных схем.
Гротендик доказал теорему когерентности в этой ситуации. А именно, пусть — собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F — когерентный пучок на , то высшие прямые образы являются последовательными. [11]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Хартсхорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
- ^ Лю (2002), Лемма 3.3.17.
- ^ Проект Stacks, тег 02YJ .
- ^ Гротендик, EGA IV, Часть 4, следствие 18.12.4; Проект Stacks, тег 02LQ .
- ^ Гротендик, EGA IV, часть 3, теорема 8.11.1.
- ^ Проект Stacks, тег 01W0 .
- ^ Проект Stacks, тег 03GX .
- ^ Гротендик, EGA II, следствие 5.6.2.
- ^ Конрад (2007), Теорема 4.1.
- ^ SGA 1 , XII Предложение 3.2.
- ^ Гротендик, EGA III, часть 1, теорема 3.4.2.
- SGA1 Этальные накрытия и фундаментальная группа, Конспект лекций по математике 224, 1971 г.
- Конрад, Брайан (2007), «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) , Журнал Математического общества Рамануджана , 22 : 205–257, MR 2356346
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 :5–222. дои : 10.1007/bf02699291 . МР 0217084 . , раздел 5.3. (определение правильности), раздел 7.3. (ценностный критерий приличия)
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 :5–167. дои : 10.1007/bf02684274 . МР 0217085 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343 . МР 0217086 . , раздел 15.7. (обобщение оценочных критериев на не обязательно нётеровы схемы)
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР 0238860 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
- Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 9780191547805 , МР 1917232
Внешние ссылки [ править ]
- В.И. Данилов (2001) [1994], «Правильный морфизм» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Авторы проекта Stacks, The Stacks Project