Jump to content

Правильный морфизм

(Перенаправлено с Правильная схема )

В алгебраической геометрии собственный морфизм является схем аналогом правильного отображения комплексных аналитических пространств .

Некоторые авторы называют собственное многообразие над полем k многообразием полным . Например, каждое проективное многообразие над полем k является собственным над k . Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является собственной над C тогда и только тогда, когда пространство X ( C ) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово .

является Закрытое погружение правильным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный .

Определение [ править ]

Морфизм Z f : X Y схем называется универсально замкнутым , если для каждой схемы с морфизмом Z Y проекция из расслоенного произведения

является замкнутым отображением лежащих в основе топологических пространств . Морфизм схем называется собственным, если он отделим , конечного типа и универсально замкнут ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). Также говорят, что X является собственным над Y . В частности, многообразие X над полем k называется собственным над k, если морфизм X → Spec( k ) является собственным.

Примеры [ править ]

Для любого натурального числа проективное n пространство P н над коммутативным кольцом R является собственным над R . Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы проективны. Например, существует гладкое не проективное над C. собственное комплексное многообразие размерности 3 , [1] Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над полем k . В более общем смысле, собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. [2] Например, нетрудно увидеть, что аффинная линия A 1 над полем k не является собственным над k , поскольку морфизм A 1 → Spec( k ) не является универсально замкнутым. Действительно, обратный морфизм

(заданный ( x , y ) ↦ y ) не является замкнутым, потому что образ замкнутого подмножества xy = 1 в A 1 × А 1 = А 2 это А 1 − 0, незамкнутый в A 1 .

Свойства и характеристики собственных морфизмов [ править ]

Пусть далее f : X Y — морфизм схем.

  • Композиция двух собственных морфизмов правильная.
  • Любая замена базы собственного морфизма f : X Y является собственной. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то полученный морфизм X × Y Z Z является собственным.
  • Правильность — локальное свойство на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрыта некоторыми открытыми подсхемами Y i и ограничение f на все f −1 (Y i ) является правильным, то и f .
  • Более строго: правильность локальна на базе топологии fpqc . Например, если X — схема над полем k а E — расширение поля k , то X является правильным над k тогда и только тогда, когда замена базы X E является правильной над E. , [3]
  • Закрытое погружение допустимо.
  • В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие теоремы о повышении .
  • По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. [4] Это было показано Гротендиком, если морфизм f : X Y локально конечного представления , что следует из других предположений, Y нётеров если . [5]
  • Для собственного X над схемой S и Y , разделенного над S , образ любого морфизма X Y над S является замкнутым подмножеством Y . [6] Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
  • Теорема Стейна о факторизации утверждает, что любой правильный морфизм локально нетеровой схемы может быть факторизован как X Z Y , где X Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связные слои, а Z Y конечен. [7]
  • Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами . Одна из версий такова: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неприводимых компонентов (что автоматически для нетеровой схемы Y ), то существует проективный сюръективный морфизм g : W X такой, что W проективен над Ю. ​Более того, можно сделать так, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U в X и что g −1 ( U ) плотно в W . Можно также сделать так, чтобы W было целым, если X было целым. [8]
  • Теорема о компактификации Нагаты , обобщенная Делинем, гласит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиотделенными схемами действует как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм. [9]
  • Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что высшие прямые образы R я f ( F ) (в частности, прямой образ f ( F )) когерентного пучка F когерентны (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для правильного отображения между комплексными аналитическими пространствами Грауэрт и Реммерт показали, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) В качестве совершенно частного случая: кольцо регулярных функций на правильной схеме X над полем k имеет конечную размерность. как k -векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k — это кольцо многочленов k [ x ], которое не имеет конечной размерности как k -векторное пространство.
  • Существует также несколько более сильное утверждение: ( EGA III , 3.2.4) пусть — морфизм конечного типа, S локально нетеров и а -модуль. Если носитель F собственный над S , то для каждого более высокое прямое изображение является последовательным.
  • Для схемы X конечного типа над комплексными числами множество X ( C ) комплексных точек представляет собой комплексное аналитическое пространство , использующее классическую (евклидову) топологию. Для X и Y, разделенных и конечного типа над C , морфизм f : X Y над C является собственным тогда и только тогда, когда непрерывное отображение f : X ( C ) → Y ( C ) является собственным в том смысле, что прообраз любого компакта компактно. [10]
  • Если f : X Y и g : Y Z таковы, что gf собственный и g отделим, то f правильный. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.
Ценностный критерий правильности

Ценностный критерий правильности [ править ]

Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Шевалле . Его принято называть оценочным критерием правильности . Пусть f : X Y — морфизм нётеровых схем конечного типа . Тогда f является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец дискретного нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x X ( K ), отображающейся в точку f ( x ), определенной над R , существует единственная подъем x до . (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм f : X Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактный) «любых» схем X , Y является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), определенную над R , существует единственный подъем x до . (Объединяет теги проекта 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является точкой общей Spec R , а кольца дискретного нормирования являются в точности регулярными локальными одномерными кольцами, можно перефразировать критерий: дана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s : Spec R Y ) и при подъеме общей точки этой кривой до функция X f является правильной тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую.

Аналогично, f отделена тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме существует не более одного подъема. .

Например, учитывая оценочный критерий, легко проверить, что проективное пространство P н правильна над полем (или даже над Z ). Просто можно заметить, что для кольца дискретного нормирования R с полем дробей K каждая K -точка [ x 0 ,..., x n ] проективного пространства происходит из R -точки путем масштабирования координат так, чтобы все они лежали в R. один из них является единицей в R. и хотя бы

Геометрическая интерпретация с дисками [ править ]

Одним из мотивирующих примеров ценностного критерия правильности является трактовка как бесконечно малый диск, или комплексно-аналитически, как диск . Это происходит из-за того, что каждый степенной ряд

сходится в некотором круге радиуса вокруг начала. Тогда, используя замену координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном круге. Тогда, если мы инвертируем , это кольцо которые представляют собой степенные ряды, которые могут иметь полюс в начале координат. Топологически это представлено как открытый диск. с удаленным источником. Для морфизма схем над , это задается коммутативной диаграммой

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение пункта в образе .

Пример [ править ]

Поучительно рассмотреть контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм факторы через аффинную диаграмму , сводя диаграмму к

где диаграмма сосредоточена вокруг на . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр

Затем поднятие схемы схем, , будет означать, что существует морфизм отправка из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может случиться. Поэтому не подходит .

интерпретация с кривых помощью Геометрическая

Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую часть интуитивного понимания того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую и дополнение точки . Тогда оценочный критерий правильности можно было бы представить в виде диаграммы.

с подъемом . Геометрически это означает, что каждая кривая на схеме можно завершить до компактной кривой. Эта интуиция согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является локальной проблемой, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца. , который является DVR, и его дробное поле . Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму

где схема представляет собой локальный диск вокруг с закрытой точкой удаленный.

морфизм формальных схем Правильный

Позволять быть морфизмом между локально нётеровыми формальными схемами . Мы говорим, что f является правильным или подходит к концу если (i) f является адическим морфизмом (т. е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение правильно, где и K — идеал определения .( EGA III зависит от выбора K. , 3.4.1) Определение не

Например, если g : Y Z — собственный морфизм локально нётеровых схем, Z 0 — замкнутое подмножество в Z , а Y 0 — замкнутое подмножество в Y такое, что g ( Y 0 ) ⊂ Z 0 , то морфизм о формальных пополнениях является собственным морфизмом формальных схем.

Гротендик доказал теорему когерентности в этой ситуации. А именно, пусть — собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F — когерентный пучок на , то высшие прямые образы являются последовательными. [11]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хартсхорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
  2. ^ Лю (2002), Лемма 3.3.17.
  3. ^ Проект Stacks, тег 02YJ .
  4. ^ Гротендик, EGA IV, Часть 4, следствие 18.12.4; Проект Stacks, тег 02LQ .
  5. ^ Гротендик, EGA IV, часть 3, теорема 8.11.1.
  6. ^ Проект Stacks, тег 01W0 .
  7. ^ Проект Stacks, тег 03GX .
  8. ^ Гротендик, EGA II, следствие 5.6.2.
  9. ^ Конрад (2007), Теорема 4.1.
  10. ^ SGA 1 , XII Предложение 3.2.
  11. ^ Гротендик, EGA III, часть 1, теорема 3.4.2.

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1494f547d0d022bb4e260601129e449a__1714957560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/14/9a/1494f547d0d022bb4e260601129e449a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Proper morphism - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)