Теоремы о замене базы

В математике замене базы связывают прямой образ и обратный образ пучков теоремы о . Точнее, речь идет о карте изменения основания, заданной следующим естественным преобразованием пучков:

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})

где

{\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}

является декартовым квадратом топологических пространств и ${\mathcal {F}}$ является пучком на X .

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по сути произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази)когерентных пучков и собственного f или g- плоского, аналогично в аналитической геометрии , но также и для этальных пучков для f правильный или г гладкий.

Введение [ править ]

Простое явление замены базы возникает в коммутативной алгебре, когда A — коммутативное кольцо , а B и A' — две A -алгебры. Позволять $B'=B\otimes _{A}A'$ . В этой ситуации для данного B -модуля M существует изоморфизм ( A' -модулей):

(M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.

Здесь индекс указывает на функтор забывания, т. е. $M_{A}$ является M , но рассматривается как A -модуль. Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением

M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.

Таким образом, две операции, а именно функторы забывания и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Теоремы о замене базы, обсуждаемые ниже, представляют собой утверждения аналогичного типа.

Определение карты базовых изменений [ править ]

Все представленные ниже теоремы о замене базы утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений) следующая карта замены базы

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})

является изоморфизмом, где

{\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}

представляют собой непрерывные отображения между топологическими пространствами, образующими декартов квадрат и ${\mathcal {F}}$ является пучком на X . ^[1] Здесь $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ обозначает высший прямой образ ${\mathcal {F}}$ под f , т.е. производный функтор функтора прямого изображения (также известного как выдвижение вперед) $f_{*}$ .

Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Он строится следующим образом: поскольку $g'^{*}$ остается присоединенным к $g'_{*}$ , существует естественная карта (называемая картой единиц)

\operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}

и так

R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.

затем Спектральная последовательность Гротендика дает первую карту и последнюю карту (они являются картами ребер) в:

R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.

Объединение этого с вышеуказанными доходами

R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.

Используя сопряженность $g^{*}$ и $g_{*}$ наконец дает желаемую карту.

Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ и следовательно, $X'=\operatorname {Spec} (B')$ , и квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}:={\tilde {M}}$ ассоциированный с B -модулем M .

Концептуально удобно организовать приведенные выше карты базовых изменений, которые включают только один функтор прямого изображения более высокого уровня, в одну, которая кодирует все $R^{r}f_{*}$ вовремя. Фактически, аргументы, аналогичные приведенным выше, дают отображение в производной категории пучков на S':

g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})

где $Rf_{*}$ обозначает (общий) производный функтор $f_{*}$ .

Общая топология [ править ]

Правильное изменение базы [ править ]

Если X — топологическое хаусдорфово пространство , S — локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т. е. $X\times _{S}T\to T$ является замкнутым отображением для любого непрерывного отображения $T\to S$ ), затем карта изменения базы

g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}

является изоморфизмом. ^[2] Действительно, мы имеем: для $s\in S$ ,

(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)

и так для $s=g(t)$

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.

Чтобы закодировать все отдельные функторы высших производных $f_{*}$ в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта базовых изменений

g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}

является квазиизоморфизмом .

Предположения о том, что задействованные пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Шнурером и Зёргелем (2016) .

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на когомологии неабелевых пучков , т. е. пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп). ^[3]

Прямое изображение с компактной поддержкой [ править ]

Если карта f не замкнута, карта изменения базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

{\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}

Один с одной стороны $f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ всегда равен нулю, но если ${\mathcal {F}}$ это локальная система на $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ соответствующий представлению фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$ (который изоморфен Z ), то $g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}$ вычислены как инварианты монодромии могут быть действия $\pi _{1}(X,x)$ на стебле ${\mathcal {F}}_{x}$ (для любого $x\neq 0$ ), которые не обязательно должны исчезать.

Чтобы получить результат изменения базы, функтор $f_{*}$ (или его производный функтор) необходимо заменить прямым образом с компактным носителем $Rf_{!}$ . Например, если $f:X\to S$ является включение открытого подмножества, как в приведенном выше примере, $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ является расширением нулем, т. е. его стебли задаются формулой

(Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}

В общем есть карта $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ , который является квазиизоморфизмом, если f собственный, но не вообще. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм ^[4]

g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.

квазикогерентных пучков Базовое изменение для

Правильное изменение базы [ править ]

Правильные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применимы в следующей ситуации: $f:X\to S$ является собственным морфизмом нётеровых схем и ${\mathcal {F}}$ является когерентным пучком над , плоским S ( т. е. ${\mathcal {F}}_{x}$ плоский ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ ). В этой ситуации справедливы следующие утверждения: ^[5]

«Теорема полунепрерывности»:
- Для каждого $p\geq 0$ , функция $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ является полунепрерывным сверху .
- Функция $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ локально постоянна, где $\chi ({\mathcal {F}})$ обозначает эйлерову характеристику .
« S Теорема Грауэрта»: если редуцировано и связно, то для каждого $p\geq 0$ $p\geq 0$ следующие эквивалентны
- $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$ является постоянным.
- $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ локально свободна и естественная карта

R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})

является изоморфизмом для всех

s\in S

.

Более того, если эти условия выполнены, то естественное отображение

R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})

является изоморфизмом для всех

s\in S

.

Если для р некоторого $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ для всех $s\in S$ , то естественное отображение

R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})

является изоморфизмом для всех

s\in S

.

Как стебель снопа $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ тесно связан с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с базовым расширением». ^[6]

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где помимо сделанных выше предположений $S=\operatorname {Spec} A$ : существует конечный комплекс $0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0$ конечно порожденных проективных A -модулей и естественный изоморфизм функторов

H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0

по категории $A$ -алгебры.

Изменение плоской базы [ править ]

Карта изменения базы

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})

является изоморфизмом квазикогерентного пучка ${\mathcal {F}}$ (на $X$ ), при условии, что карта $g:S'\rightarrow S$ является плоским (вместе с рядом технических условий: f должен быть отделённым морфизмом конечного типа , используемые схемы должны быть нётеровыми). ^[7]

Фиксированное базовое изменение в производной категории [ править ]

Далеко идущее расширение плоского изменения базы возможно при рассмотрении карты изменения базы.

Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})

в производной категории пучков на S', аналогично упомянутому выше. Здесь $Lg^{*}$ это (полный) производный функтор обратного хода ${\mathcal {O}}$ -модули (потому что $g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}$ включает в себя тензорное произведение, $g^{*}$ не является точным, когда $g$ не является плоским и, следовательно, не равен своему производному функтору $Lg^{*}$ ). Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий: ^[8]

$S$ является квазикомпактным и $f$ является квазикомпактным и квазиразделенным,
${\mathcal {F}}$ является объектом в $D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})$ , ограниченная производная категория ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули, а его пучки когомологий квазикогерентны (например, ${\mathcal {F}}$ может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
$X$ и $S'$ независимы Tor от $S$ , что означает, что если $x\in X$ и $s'\in S'$ удовлетворить $f(x)=s=g(s')$ , то для всех целых чисел $p\geq 1$ ,

\operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0

.

Выполняется одно из следующих условий:
- ${\mathcal {F}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно $f$ , что означает, что он квазиизоморфен в $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$ в комплекс ${\mathcal {F}}'$ такой, что $({\mathcal {F}}')^{i}$ является $f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$ -квартира для всех $i$ вне некоторого ограниченного интервала $[m,n]$ ; эквивалентно, существует интервал $[m,n]$ такой, что для любого комплекса ${\mathcal {G}}$ в $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$ , надо $\operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0$ для всех $i$ снаружи $[m,n]$ ; или
- $g$ имеет конечную Tor-размерность, что означает, что ${\mathcal {O}}_{S'}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно $g$ .

Одним из преимуществ этой формулировки является то, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .

Базовое изменение в геометрии алгебраической производной

Производная алгебраическая геометрия позволяет отказаться от предположения о плоскостности при условии, что обратный ход $X'$ заменяется гомотопическим возвратом . В самом простом случае, когда X , S и $S'$ аффинны (в обозначениях, приведенных выше), гомотопический возврат задается производным тензорным произведением

X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)

Тогда, предполагая, что рассматриваемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) квазикомпактны и квазиразделены, естественное преобразование

Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}

является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплекса квазикогерентных пучков. ^[9] Вышеупомянутый результат замены плоской базы на самом деле является частным случаем, поскольку для g -плоского гомотопический обратный образ (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным обратным образцом (локально заданным полученным тензорным произведением), и поскольку вдоль плоских отображений g и g' (т. е. автоматический вывод $Lg^{*}=g^{*}$ ). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме о замене базы, также становятся ненужными.

В приведенной выше форме изменение базы было расширено Бен-Цви, Фрэнсисом и Надлером (2010) на ситуацию, когда X , S и S' являются (возможно, производными) стопками , при условии, что отображение f является совершенным отображением (которое включает случай, когда f является квазикомпактным, квазиразделенным отображением схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG алгебраической группы в нулевой характеристике).

Варианты и приложения [ править ]

Правильная замена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий и комплексных аналитических пространств . ^[10] Теорема о формальных функциях представляет собой вариант правильной замены базы, в которой обратный образ заменяется операцией пополнения .

Принцип качелей и теорема куба , являющиеся основополагающими фактами теории абелевых многообразий , являются следствием правильной замены базы. ^[11]

Замена базы также справедлива для D-модулей : если X , S , X' и S' — гладкие многообразия (но f и g не обязательно должны быть плоскими или собственными и т. д.), существует квазиизоморфизм

g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},

где $-^{\dagger }$ и $\int$ обозначают функторы обратного и прямого образа для D -модулей. ^[12]

Базовое изменение для шкивов [ править ]

Для плоских витых шкивов ${\mathcal {F}}$ , существует два результата изменения базы, называемые правильным и плавным изменением базы соответственно: изменение базы имеет место, если $f:X\rightarrow S$ является правильным . ^[13] Это также верно, если , при g гладкая условии, что f квазикомпактна и кручение ${\mathcal {F}}$ просто характеристикой полей вычетов X . с ^[14]

С правильной заменой базы тесно связан следующий факт (обе теоремы обычно доказываются одновременно): пусть X — многообразие над сепарабельно замкнутым полем и ${\mathcal {F}}$ пучок конструктивный на $X_{\text{et}}$ . Затем $H^{r}(X,{\mathcal {F}})$ конечны в каждом из следующих случаев:

X завершен, или
${\mathcal {F}}$ не имеет p -кручения, где p — характеристика k .

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил правильную теорему о замене базы на этальные пучки без кручения.

Приложения [ править ]

По аналогии с упомянутой выше топологической ситуацией, отображение замены базы для открытого погружения f ,

g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}

обычно не является изоморфизмом. ^[15] Вместо этого расширение нулевым функтором $f_{!}$ удовлетворяет изоморфизму

g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.

Этот факт и правильная замена базы позволяют определить функтор прямого образа с компактным носителем для отображения f формулой

Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}

где $f=p\circ j$ является компактификацией f , т . е. факторизацией в открытое погружение с последующим правильным отображением. Правильная теорема о замене базы необходима, чтобы показать, что она корректна, т. е. независима (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. Более того, опять же по аналогии со случаем пучков в топологическом пространстве, формула замены базы для $g_{*}$ против. $Rf_{!}$ справедливо для несобственных отображений f .

Для структурной карты $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ схемы над полем k отдельные когомологии $Rf_{!}({\mathcal {F}})$ , обозначенный $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ называются когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий .

Подобные идеи используются и для построения аналога функтора $Rf_{!}$ в ¹-гомотопическая теория . ^[16]^[17]

См. также [ править ]

Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии.
Смена базы (значения)
Поднятие базового изменения автоморфных форм

Дальнейшее чтение [ править ]

Эно, Х.; Керц, М.; Виттенберг, О. (2016), «Изоморфизм ограничения для циклов нулевой относительной размерности», Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID 54896268

Примечания [ править ]

^ Роли $X$ и $S'$ симметричны, и в некоторых контекстах (особенно при плавном изменении базы) более знакома другая формулировка (вместо этого речь идет о отображении $f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}$ для ${\mathcal {G}}$ сноп на $S'$ ). Для последовательности результаты в этой статье ниже приведены для одной и той же ситуации, а именно карты $g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ ; но читатели должны обязательно сверить это со своими ожиданиями.
^ Милн (2012 , Теорема 17.3)
^ Лурье (2009 , Теорема 7.3.1.16)
^ Иверсен (1986) , предполагается, что четыре пространства локально компактны и имеют конечную размерность.
^ Гротендик (1963 , раздел 7.7), Хартсхорн (1977 , теорема III.12.11), Вакил (2015 , глава 28 Когомологии и теоремы о замене базы )
^ Хартсхорн (1977 , стр. 255)
^ Хартсхорн (1977 , Предложение III.9.3)
^ Бертло, Гротендик и Иллюзи (1971 , SGA 6 IV, Предложение 3.1.0)
^ Тоен (2012 , Предложение 1.4)
^ Грауэрт (1960)
^ Мамфорд (2008)
^ Хотта, Такеучи и Танисаки (2008 , теорема 1.7.3)
^ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XII), Милн (1980 , раздел VI.2)
^ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XVI)
^ Милн (2012 , пример 8.5)
^ Аюб, Джозеф (2007), Шесть операций Гротендика и формализм мимолетных циклов в мотивном мире. I. , Французское математическое общество, ISBN 978-2-85629-244-0 , Збл 1146.14001
^ Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2019), Триангулированные категории смешанных мотивов , Монографии Спрингера по математике, arXiv : 0912.2110 , Бибкод : 2009arXiv0912.2110C , doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 , ISBN 978-3-030-33241-9 , S2CID 115163824

Ссылки [ править ]

Артин, Майкл ; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 3 (PDF) , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. vi + 640, номер домена : 10.1007/BFb0070714 , ISBN 978-3-540-06118-2
Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Соц. , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR 2669705 , S2CID 2202294
Бертло, Пьер ; Гротендик, Александр ; Иллюзи, Люк (1971), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283 , ISBN. 978-3-540-05647-8
Денингер, Кристофер (1988), «Правильная теорема о замене базы для некрученных пучков в этальных когомологиях», Journal of Pure and Applied Algebra , 50 (3): 231–235, doi : 10.1016/0022-4049(88)90102 -8
Габбер, « Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем ».
Грауэрт, Ганс (1960), «Теорема аналитической теории пучков и пространства модулей комплексных структур» (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5 : 5–64, doi : 10.1007/BF02684746 , S2CID 122593346 , Zbl 0100.08001
Гротендик, А. (1963), "Элементы алгебраической геометрии. III. Когомологическое исследование когерентных пучков. II" , Опубл. Математика. IHÉS , заархивировано из оригинала 5 января 2017 г. , получено 4 января 2017 г.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , OCLC 13348052
Хотта, Рёши, Такеучи, Киёси, Тошиюки (2008), D -модули, перверсивные пучки и теория представлений , Биркхойзер;
Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3 , МР 0842190
Лурье, Джейкоб (2009), Теория высшего топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , doi : 10.1515/9781400830558 , ISBN 978-0-691-14049-0 , МР 2522659
Милн, Джеймс С. (1980), Государственные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-81-85931-86-9 , МР 0282985 , OCLC 138290
Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы , arXiv : 1210.2827 , Bibcode : 2012arXiv1210.2827T
Шнурер, О.М.; Зёргель, В. (2016), «Правильное изменение базы для разделенных локально правильных карт», Rend. Семин. Мат. унив. Падуя , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171/RSMUP/135-13 , S2CID 118024164
Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

Внешние ссылки [ править ]

[1] Роли $X$ и $S'$ симметричны, и в некоторых контекстах (особенно при плавном изменении базы) более знакома другая формулировка (вместо этого речь идет о отображении $f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}$ для ${\mathcal {G}}$ сноп на $S'$ ). Для последовательности результаты в этой статье ниже приведены для одной и той же ситуации, а именно карты $g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ ; но читатели должны обязательно сверить это со своими ожиданиями.

[2] Милн (2012 , Теорема 17.3)

[3] Лурье (2009 , Теорема 7.3.1.16)

[4] Иверсен (1986) , предполагается, что четыре пространства локально компактны и имеют конечную размерность.

[5] Гротендик (1963 , раздел 7.7), Хартсхорн (1977 , теорема III.12.11), Вакил (2015 , глава 28 Когомологии и теоремы о замене базы )

[6] Хартсхорн (1977 , стр. 255)

[7] Хартсхорн (1977 , Предложение III.9.3)

[8] Бертло, Гротендик и Иллюзи (1971 , SGA 6 IV, Предложение 3.1.0)

[9] Тоен (2012 , Предложение 1.4)

[10] Грауэрт (1960)

[11] Мамфорд (2008)

[12] Хотта, Такеучи и Танисаки (2008 , теорема 1.7.3)

[13] Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XII), Милн (1980 , раздел VI.2)

[14] Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XVI)

[15] Милн (2012 , пример 8.5)

[16] Аюб, Джозеф (2007), Шесть операций Гротендика и формализм мимолетных циклов в мотивном мире. I. , Французское математическое общество, ISBN 978-2-85629-244-0 , Збл 1146.14001

[17] Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2019), Триангулированные категории смешанных мотивов , Монографии Спрингера по математике, arXiv : 0912.2110 , Бибкод : 2009arXiv0912.2110C , doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 , ISBN 978-3-030-33241-9 , S2CID 115163824

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]