Теорема о кубе

В математике теорема о кубе — это условие тривиальности линейного расслоения над произведением трёх полных многообразий. Это был принцип, открытый в контексте линейной эквивалентности итальянской школой алгебраической геометрии . Окончательная версия теоремы о кубе была впервые опубликована Лангом (1959) , который приписал ее Андре Вейлю . Обсуждение истории было дано Клейманом (2005) . трактовка с помощью пучковых когомологий и описание в терминах функтора Пикара Дана . Мамфорд (2008) .

Заявление

Теорема утверждает, что для любых полных многообразий U , V и W над алгебраически замкнутым полем и данных точек u , v и w на них любой обратимый пучок L , который имеет тривиальное ограничение на каждое из U × V × { w }, U × { v } × W и { u } × V × W сами по себе тривиальны. (Мамфорд, стр. 55; результат там немного сильнее, поскольку одно из многообразий не обязательно должно быть полным и его можно заменить связной схемой.)

Особые случаи

В окольцованном пространстве X обратимый пучок L тривиален, если изоморфен O _X , как O _X -модуль. Если база X — комплексное многообразие , то обратимый пучок — это (пучок сечений) голоморфное линейное расслоение , а тривиальность означает голоморфно эквивалентную тривиальному расслоению , а не просто топологически эквивалентную.

Переформулирование с использованием бирасширений

Результат Вейля был переформулирован в терминах бирасширений — концепции, которая сейчас обычно используется в теории двойственности абелевых многообразий .

Теорема квадрата

Теорема о квадрате ( Lang 1959 ) ( Mumford 2008 , p.59) является следствием (также принадлежащим Вейлю), применимым к многообразию A. абелеву Одна из версий гласит, что функция φ _L, переводящая x ∈ A в T ^*
_x L ⊗ L ⁻¹ — групповой гомоморфизм из A в Pic ( A ) (где T ^*
_x — перевод на x на расслоениях строк).

Ссылки

• Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR   2223410
• Ланг, Серж (1959), Абелевы многообразия , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 7, Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., MR   0106225.
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-81-85931-86-9 , МР   0282985 , OCLC   138290