Когомологии с компактным носителем

В математике когомологии с компактным носителем относятся к определенным теориям когомологий, обычно с некоторым условием, требующим, чтобы коциклы имели компактный носитель.

когомологии с

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Затем

$\displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}H^{\ast }(X,X\setminus K;R)$

Это также естественно изоморфно когомологиям подцепного комплекса $C_{c}^{\ast }(X;R)$ состоящий из всех сингулярных коцепей $\phi :C_{i}(X;R)\to R$ которые имеют компактный носитель в том смысле, что существует некоторый компактный $K\subseteq X$ такой, что $\phi$ исчезает на всех цепочках в $X\setminus K$.

Функториальное определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством и $p:X\to \star$ карта в точку. Использование прямого образа и прямого образа с компактными опорными функторами $p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={\text{Ab}}$, можно определить когомологии и когомологии с компактным носителем пучка абелевых групп ${\mathcal {F}}$ на $X$ как

$\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},$

$\displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.$

Принимая за ${\mathcal {F}}$ постоянный пучок с коэффициентами в кольце $R$ восстанавливает предыдущее определение.

де Рама с компактным носителем для

Для многообразия X пусть $\Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)$ — вещественное векторное пространство - форм k на X с компактным носителем, а d — стандартная внешняя производная . Тогда группы когомологий де Рама с компактным носителем $H_{\mathrm {c} }^{q}(X)$ представляют собой гомологии цепного комплекса $(\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)$:

$0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots$

то есть , $H_{\mathrm {c} }^{q}(X)$ — векторное пространство замкнутых q- форм по модулю точных q- форм.

Несмотря на свое определение как гомологию восходящего комплекса, группы де Рама с компактным носителем демонстрируют ковариантное поведение; например, учитывая отображение включения j для открытого множества U из X , расширение форм на U до X (путем определения их равными 0 на X – U ) является отображением $j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)$ создание карты

$j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X)$.

Они также демонстрируют контравариантное поведение по отношению к собственным отображениям , то есть таким отображениям, у которых прообраз каждого компакта компактен. Пусть f : Y → X — такое отображение; затем откат

$f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q}(Y)\sum _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)$

вызывает карту

$H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)$.

Если Z — подмногообразие X и U = X – Z — дополнительное открытое множество, существует длинная точная последовательность

$\cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots$

называется длинной точной последовательностью когомологий с компактным носителем. Он имеет многочисленные приложения, такие как теорема Жордана о кривой , которая получается для X = R² и Z — замкнутой кривой в X. простой

Когомологии Де Рама с компактным носителем удовлетворяют ковариантной последовательности Майера–Виеториса : если U и V — открытые множества, покрывающие X , то

$\cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots$

где все отображения индуцированы расширением нулем, также является точным.

См. также

• Гомологии Бореля – Мура
• Двойственность Пуанкаре
• Конструктивная связка
• Производная категория

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , МР   0842190
• Рауль Ботт и Лоринг В. Ту (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для аспирантов по математике, Springer-Verlag
• «Когомологии с носителем и двойственность Пуанкаре» . Обмен стеками .