Цепной комплекс
В математике цепной комплекс — это алгебраическая структура , состоящая из последовательности абелевых групп (или модулей ) и последовательности гомоморфизмов между последовательными группами, таких, что образ каждого гомоморфизма входит в ядро следующего. С цепным комплексом связана его гомология , которая описывает, как изображения включаются в ядра.
Коцепной комплекс подобен цепному комплексу, за исключением того, что его гомоморфизмы направлены в противоположном направлении. Гомологии коцепного комплекса называются его когомологиями .
В алгебраической топологии сингулярный цепной комплекс топологического пространства X строится с использованием непрерывных отображений симплекса в X, а гомоморфизмы цепного комплекса отражают то , как эти отображения ограничиваются границей симплекса. Гомологии этого цепного комплекса называются сингулярными гомологиями X и являются обычно используемым инвариантом топологического пространства.
Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре , но используются в нескольких областях математики, включая абстрактную алгебру , теорию Галуа , дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию . В более общем смысле их можно определить в абелевых категориях .
Определения [ править ]
Цепной комплекс представляет собой последовательность абелевых групп или модулей ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... соединенных гомоморфизмами (называемыми граничными операторами или дифференциалами ) d n : A n → A n −1 , такой, что композиция любых двух последовательных карт является нулевой картой. Явно, дифференциалы удовлетворяют условию d n ∘ d n +1 = 0 или с подавленными индексами d 2 = 0 . Комплекс можно записать следующим образом.
Коцепной комплекс – это двойственное понятие цепному комплексу. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей ..., A 0 , А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , ... связанные гомоморфизмами d н : А н → А п +1 удовлетворение д п +1 ∘ д н = 0 . Коцепной комплекс может быть записан аналогично цепному комплексу.
Индекс n либо в An , либо в A н называется степенью (или размерностью ). Разница между цепными и коцепными комплексами заключается в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. Все концепции и определения цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они следуют другому соглашению о размерности, и часто терминам будет присвоен префикс co- . В данной статье будут даны определения цепным комплексам, когда различие не требуется.
— Ограниченный цепной комплекс в котором почти все равны это комплекс , An 0; то есть конечный комплекс, расширенный влево и вправо на 0. Примером является цепной комплекс, определяющий симплициальные гомологии конечного симплициального комплекса . Цепной комплекс ограничен сверху, если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу, если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Очевидно, что комплекс ограничен как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда комплекс ограничен.
Элементы отдельных групп (ко)цепного комплекса называются (ко)цепями . Элементы ядра d называются (ко)циклами (или замкнутыми элементами), а элементы образа d называются (ко)границами (или точными элементами). Прямо из определения дифференциала все границы являются циклами. n -я (ко)гомологическая группа H n ( H н ) — группа (ко)циклов по модулю (ко)границ степени n , т. е.
Точные последовательности [ править ]
Точная последовательность (или точный комплекс) — это цепной комплекс, все группы гомологии которого равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы комплекса точны. Короткая точная последовательность в которой только группы Ak — это ограниченная точная последовательность , , Ak + 1 , Ak + 2 могут быть ненулевыми. Например, следующий цепной комплекс представляет собой короткую точную последовательность.
В средней группе замкнутыми элементами являются элементы p Z ; это явно точные элементы этой группы.
Карты цепочек [ править ]
Цепное отображение f между двумя цепными комплексами и это последовательность гомоморфизмов для каждого n , коммутирующего с граничными операторами на двух цепных комплексах, поэтому . Это записано в следующей коммутативной диаграмме .
Цепная карта переводит циклы в циклы, а границы в границы и, таким образом, порождает карту гомологии. .
Непрерывное отображение f между топологическими пространствами X и Y индуцирует цепное отображение между сингулярными цепными комплексами X и Y отображение f * между сингулярными гомологиями X и Y. и, следовательно, индуцирует также Когда X и Y оба равны n -сфере , отображение, индуцированное гомологиями, определяет степень отображения f .
Понятие цепной карты сводится к понятию границы посредством построения конуса цепной карты.
Цепная гомотопия [ править ]
Цепная гомотопия предлагает способ связать две цепные карты, которые индуцируют одно и то же отображение в группах гомологии, даже если эти карты могут быть разными. Учитывая два цепных комплекса A и B и два цепных отображения f , g : A → B , гомотопия цепи — это последовательность гомоморфизмов h n : A n → B n +1 таких, что hd A + d B h = f − g . Отображения можно записать в виде следующей диаграммы, но эта диаграмма не является коммутативной.
Отображение hd A + d B h, как легко проверить, индуцирует нулевое отображение гомологии для любого h . Отсюда сразу следует, что f и g индуцируют одно и то же отображение гомологии. Говорят, что f и g гомотопны по цепочке (или просто гомотопны ), и это свойство определяет отношение эквивалентности между отображениями цепочек.
Пусть X и Y — топологические пространства. В случае сингулярных гомологий гомотопия между непрерывными отображениями f , g : X → Y индуцирует цепную гомотопию между цепными отображениями, соответствующими f и g . Это показывает, что два гомотопических отображения индуцируют одно и то же отображение сингулярных гомологий. Название «цепная гомотопия» мотивировано этим примером.
Примеры [ править ]
Сингулярные гомологии [ править ]
Пусть X — топологическое пространство. Определим C n ( X ) для натурального n как свободную абелеву группу, формально порожденную сингулярными n-симплексами в X , и определим граничное отображение быть
где шляпка означает пропуск вершины . То есть граница сингулярного симплекса представляет собой знакопеременную сумму ограничений на его грани. Можно показать, что ∂ 2 = 0, поэтому представляет собой цепной комплекс; сингулярная гомология является гомологией этого комплекса.
Сингулярные гомологии — полезный инвариант топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности . Группа гомологии нулевой степени является свободной абелевой группой на пути X . компонентах
когомологии де Рама [ править ]
Дифференциальные , k -формы на любом гладком многообразии M образуют вещественное векторное пространство называемое Ω к ( М ) в дополнении. Внешняя производная d отображает Ω к ( M ) к Ω к +1 ( М ) и d 2 = 0 по существу следует из симметрии вторых производных , поэтому векторные пространства k -форм вместе с внешней производной представляют собой коцепной комплекс.
Когомологии этого комплекса называются де Рама когомологиями М . Локально постоянные функции обозначаются своим изоморфизмом где c — количество взаимно несвязных M. компонентов Таким образом, комплекс был расширен, чтобы оставить комплекс точным на уровне нулевой формы с использованием оператора подмножества.
Гладкие отображения между многообразиями индуцируют цепные отображения, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют цепные гомотопии.
Категория цепных комплексов [ править ]
Цепные комплексы K -модулей с цепными отображениями образуют категорию Ch K , где K — коммутативное кольцо.
Если В = В и W = W являются цепными комплексами, их тензорное произведение представляет собой цепной комплекс с элементами степени n , заданными формулой
и дифференциал, заданный формулой
где a и b — любые два однородных вектора в V и W соответственно, и обозначает степень a .
Это тензорное произведение превращает категорию Ch K в симметричную моноидальную категорию . Объектом идентичности относительно этого моноидального произведения является базовое кольцо K , рассматриваемое как цепной комплекс степени 0. Расплетение задается на простых тензорах однородных элементов формулой
Признак необходим для того, чтобы плетение представляло собой карту цепочки.
Более того, категория цепных комплексов K -модулей также имеет внутренний Hom : для данных цепных комплексов V и W внутренний Hom V и W , обозначаемый Hom( V , W ), представляет собой цепной комплекс с элементами степени n , заданный формулой и дифференциал, заданный формулой
- .
Имеем естественный изоморфизм
Дальнейшие примеры [ править ]
- Комплекс Амицур
- Комплекс, используемый для определения высших групп Чау Блоха.
- Комплекс Самшит-Рим
- Богемский комплекс
- Комплекс двоюродного брата
- Комплекс Иагон-Норткотт
- Герстенский комплекс
- Графовый комплекс [1]
- Рубашка комплексная
- Комплекс Мура
- Комплекс Шур
См. также [ править ]
- Дифференциальная градуированная алгебра
- Дифференциальная градуированная алгебра Ли
- Соответствие Долда-Кана гласит, что существует эквивалентность между категорией цепных комплексов и категорией симплициальных абелевых групп .
- Критерий ацикличности Самшита – Эйзенбуда
- Дифференциальный модуль
Ссылки [ править ]
- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
- Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .