Комплекс Амицур

В алгебре комплекс Амицура — это естественный комплекс, ассоциированный с кольцевым гомоморфизмом . Его представил Шимшон Амицур ( 1959 ). Когда гомоморфизм точно плоский , комплекс Амицура точен (определяя таким образом резольвенту), что является основой теории точно плоского спуска .

Эту идею следует рассматривать как механизм, выходящий за рамки традиционной локализации колец и модулей .

Определение

Позволять $\theta :R\to S$ — гомоморфизм (не обязательно коммутативных) колец. Сначала определите косимплициальное множество $C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}$ (где $\otimes$ относится к $\otimes _{R}$, нет $\otimes _{\mathbb {Z} }$) следующее. Определите карты лиц $d^{i}:S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}$ вставив $1$ в $i$место:

$d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.$

Определите вырождения $s^{i}:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}$ путем умножения $i$й и $(i+1)$места:

$s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.$

Они удовлетворяют «очевидным» косимплициальным тождествам и, таким образом, $S^{\otimes \bullet +1}$ является косимплициальным множеством. Затем он определяет комплекс с увеличением $\theta$, комплекс Амицур :

$0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots$

где $\delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.$

Точность комплекса Амицур

Совершенно плоский корпус

В приведенных выше обозначениях, если $\theta$ является точно плоским справа, то теорема Александра Гротендика утверждает, что (расширенный) комплекс $0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}$ является точным и, следовательно, является разрешением. В более общем смысле, если $\theta$ правая точно плоская, то для каждого левого $R$-модуль $M$,

$0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots$

это точно.

Доказательство :

Шаг 1 : Утверждение верно, если $\theta :R\to S$ распадается как гомоморфизм колец.

Что " $\theta$ расщепляется», то есть $\rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}$ для некоторого гомоморфизма $\rho :S\to R$ ( $\rho$ представляет собой откат и $\theta$ раздел). Учитывая такой $\rho$, определять

$h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M$

к

${\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}$

Простое вычисление показывает следующее тождество: с $\delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} _{M}:M\to S\otimes _{R}M$,

$h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}$.

Это значит, что $h$ является гомотопическим оператором , поэтому $\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}$ определяет нулевое отображение когомологий: т. е. комплекс точен.

Шаг 2 : Утверждение в целом верно.

Мы отмечаем, что $S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x$ это раздел $T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy$. Таким образом, шаг 1 был применен к гомоморфизму расщепляемых колец $S\to T$ подразумевает:

$0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,$

где $M_{S}=S\otimes _{R}M$, это точно. С $T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M$и т. д., говоря «достоверно плоско», исходная последовательность точна. $\square$

Случай топологии дуги

Бхаргав Бхатт и Питер Шольце ( 2019 , §8) показывают, что комплекс Амицура точен, если $R$ и $S$ являются (коммутативными) совершенными кольцами , и отображение должно быть покрытием в дуговой топологии (что является более слабым условием, чем покрытие в плоской топологии ).

Ссылки

• Артин, Майкл (1999), Некоммутативные кольца (конспекты лекций в Беркли) (PDF)
• Амицур, Шимшон (1959), «Простые алгебры и группы когомологий произвольных полей», Труды Американского математического общества , 90 (1): 73–112.
• Бхатт, Бхаргав ; Шольце, Питер (2019), Призмы и призматические когомологии , arXiv : 1905.08229
• Комплекс Амицур в n лаборатории