Плоский морфизм

В математике , в частности в теории схем алгебраической геометрии , плоский морфизм f схемы X в схему Y — это морфизм такой, что индуцированное отображение на каждом стебле является плоским отображением колец, т. е.

f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}

является плоским отображением для всех P в X . ^[1] Карта колец $A\to B$ называется плоским, он является гомоморфизмом, делающим B плоским если A -модулем. Морфизм схем называется точно плоским, если он одновременно сюръективен и плоский. ^[2]

Два основных интуиции относительно плоских морфизмов:

плоскостность — общее свойство ; и
нарушение плоскостности происходит на скачущем множестве морфизма.

Первый из них исходит из коммутативной алгебры : при соблюдении некоторых условий конечности на f можно показать, что существует непустая открытая подсхема. $Y'$ Y Y , такой, что f, ограниченный ′ , является плоским морфизмом ( плоскость общего положения ). Здесь «ограничение» интерпретируется посредством расслоенного произведения схем , примененного к f , и включения отображения $Y'$ в Ю.

Во-вторых, идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы, которые обнаруживаются с помощью плоскостности. Например, операция сдувания в бирациональной геометрии алгебраической поверхности может дать единственный слой размерности 1, тогда как все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность в морфизмах напрямую связана с контролем это своего рода полунепрерывность , или односторонние прыжки.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоского топоса и плоских когомологий пучков из него. Это глубоко укоренившаяся теория, и с ней нелегко справиться. Понятие этального морфизма (и, следовательно, этальных когомологий ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечного типа и неразветвленным .

Примеры/не примеры [ править ]

Рассмотрим аффинную схему

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])

индуцированный из очевидного морфизма алгебр

{\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t\\\end{cases}}

Поскольку доказательство плоскости этого морфизма сводится к вычислению ^[3]

\operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),

решаем комплексные числа

{\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}

и тензор модулем, представляющим нашу схему, дающую последовательность $\mathbb {C} [t]$ -модули

0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}{\xrightarrow {\cdot t}}{\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0

Поскольку $t$ не является делителем нуля, мы имеем тривиальное ядро, следовательно, группа гомологии обращается в нуль.

Чудо-плоскость [ править ]

Другие примеры плоских морфизмов можно найти с помощью «чудо-плосткости». ^[4] в котором говорится, что если у вас есть морфизм $f\colon X\to Y$ между схемой Коэна–Маколея и регулярной схемой с равномерными слоями, то она плоская. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения , гладкие морфизмы и морфизмы стратифицированных многообразий , которые удовлетворяют чудесной плоскостности на каждом из страт.

Схемы Гильберта [ править ]

Универсальные примеры плоских морфизмов схем дают схемы Гильберта . Это связано с тем, что схемы Гильберта параметризуют универсальные классы плоских морфизмов, а каждый плоский морфизм является возвратом к некоторой схеме Гильберта. Т.е., если $f\colon X\to S$ плоская, существует коммутативная диаграмма

{\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}

для схемы Гильберта всех плоских морфизмов на $S$ . С $f$ плоский, волокна $f_{s}\colon X_{s}\to s$ все имеют одинаковый полином Гильберта $\Phi$ , следовательно, мы могли бы написать аналогичным образом ${\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }$ для схемы Гильберта, приведенной выше.

Непримеры [ править ]

Увеличенное изображение [ править ]

Один класс непримеров представляют собой увеличенные карты.

\operatorname {Bl} _{I}X\to X.

Одним из простых примеров является разрушение точки в $\mathbb {C} [x,y]$ . Если мы возьмем начало координат, оно задается морфизмом

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}

отправка

x\mapsto x,y\mapsto y,

где волокно над точкой $(a,b)\neq (0,0)$ является копией $\mathbb {C}$ , то есть,

{\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,

что следует из

M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.

Но для $a=b=0$ , мы получаем изоморфизм

{\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].

Причина, по которой это не является плоским, заключается в лемме Чуда о плоскостности, которую можно проверить локально.

Бесконечное разрешение [ править ]

Простой пример плоского морфизма: $k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.$ Это потому, что

k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k

представляет собой бесконечный комплекс, который мы можем найти, взяв плоское разрешение $k$ ,

\cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k

и тензоризируем разрешение с помощью $k$ , мы находим, что

k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]

показывая, что морфизм не может быть плоским. Другим непримером плоского морфизма является раздутие , поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов [ править ]

Позволять $f\colon X\to Y$ быть морфизмом схем. Для морфизма $g\colon Y'\to Y$ , позволять $X'=X\times _{Y}Y'$ и $f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.$ Морфизм f плоский тогда и только тогда, когда для каждого g обратный образ $f'^{*}$ является точным функтором из категории квазикогерентных ${\mathcal {O}}_{Y'}$ -модули к категории квазикогерентных ${\mathcal {O}}_{X'}$ -модули. ^[5]

Предполагать $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ являются морфизмами схем и f плоская точка x в X . Тогда g плоская точка $f(x)$ тогда и только тогда, когда gf плоская в точке x . ^[6] В частности, если f точно плоская, то g плоская или точно плоская тогда и только тогда, когда gf плоская или точно плоская соответственно. ^[7]

Фундаментальные свойства [ править ]

Композиция двух плоских морфизмов плоская. ^[8]
Слоевое произведение двух плоских или точно плоских морфизмов является соответственно плоским или строго плоским морфизмом. ^[9]
Плоскостность и правильная плоскостность сохраняются за счет замены основания: если f плоское или совершенно плоское и $g\colon Y'\to Y$ , то произведение волокна $f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ является плоским или совершенно плоским соответственно. ^[10]
Множество точек, в которых морфизм (локально конечного представления) является плоским, открыто. ^[11]
Если f строго плоская и имеет конечное представление, и если gf имеет конечный тип или конечное представление, то g имеет конечный тип или конечное представление соответственно. ^[12]

Предполагать $f\colon X\to Y$ является плоским морфизмом схем.

Если F — квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F когерентен), и если J — аннулятор F на Y , то $f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}$ , откат карты включения, является инъекцией, а образ $f^{*}J$ в ${\mathcal {O}}_{X}$ является разрушителем $f^{*}F$ на Х. ^[13]
Если f точно плоская и G — квазикогерентная ${\mathcal {O}}_{Y}$ -модуль, затем карта откатов на глобальных секциях $\Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)$ является инъективным. ^[14]

Предполагать $h\colon S'\to S$ плоский. Пусть X и Y — S -схемы, и пусть $X'$ и $Y'$ быть их базовым изменением на h .

Если $f\colon X\to Y$ квазикомпактен и доминантен, то его база изменится $f'\colon X'\to Y'$ является квазикомпактным и доминирующим. ^[15]
Если h абсолютно плоский, то отображение обратного пути $\operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')$ является инъективным. ^[16]
Предполагать $f\colon X\to Y$ является квазикомпактным и квазиразделенным. Пусть Z — замкнутый образ X и пусть $j\colon Z\to Y$ быть канонической инъекцией. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы $j'\colon Z'\to Y'$ это закрытое изображение $X'$ . ^[17]

Топологические свойства [ править ]

Если $f\colon X\to Y$ плоский, то он обладает всеми следующими свойствами:

Для каждой точки x из X и каждого обобщения y ′ из y = f ( x ) существует такое обобщение x ′ из x , что y ′ = f ( x ′) . ^[18]
Для каждой точки x из X , $f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$ . ^[19]
Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y ′ множества Y каждая неприводимая компонента f ⁻¹( Y ′) доминирует над Y ′. ^[20]
Если Z и Z ′ — два неприводимых замкнутых подмножества Y, причем Z содержится в Z ′, то для каждой неприводимой компоненты T множества f ⁻¹( Z ), существует неприводимая компонента T ′ функции f ⁻¹( Z ′ ), содержащий T . ^[21]
Для каждого неприводимого компонента T из X замыкание f ( T является неприводимым компонентом Y. ) ^[22]
Если Y неприводим с общей точкой y и если f ⁻¹( y ) неприводим, то X неприводим. ^[23]
Если f также замкнуто, образ каждой компоненты связности X является компонентой связности Y . ^[24]
Для каждого проконструируемого подмножества Z множества Y , $f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}$ . ^[25]

Если f плоская и локально конечного представления, то f универсально открыта. ^[26] Однако если f точно плоская и квазикомпактная, то, вообще говоря, неверно, что f открыта, даже если X и Y нётеровы. ^[27] Более того, никакого обратного к этому утверждению не существует: если f — каноническое отображение приведенной схемы X _red в X , то f — универсальный гомеоморфизм, но для X нередуцированного и нётерового f никогда не будет плоским. ^[28]

Если $f\colon X\to Y$ является абсолютно плоским, то:

Топология на Y — это фактортопология относительно f . ^[29]
Если f также квазикомпактно, и если Z является подмножеством Y , то Z является локально замкнутым проконструируемым подмножеством Y тогда и только тогда, когда f ⁻¹( Z ) — локально замкнутое проконструируемое подмножество X . ^[30]

Если f плоская и локально конечного представления, то для каждого из следующих свойств P множество точек, где f имеет P, открыто: ^[31]

Условие Серра S _k (при любом фиксированном k ).
Геометрически правильный.
Геометрически нормально.

Если, кроме того, f является собственным, то то же самое верно для каждого из следующих свойств: ^[32]

Геометрически уменьшенный.
Геометрически приведенный и имеющий k компонент геометрической связности (при любом фиксированном k ).
Геометрически целочисленный.

Плоскостность и размерность [ править ]

Предполагать $X$ и $Y$ локально нетеровы, и пусть $f\colon X\to Y$ .

Пусть x будет точкой X и y = f ( x ) . Если f плоская, то dim _x X = dim _y Y + dim _x f ⁻¹( и ) . ^[33] И наоборот, если это равенство выполняется для всех x , X является Коэном-Маколеем , а Y является регулярным , и, кроме того, f отображает закрытые точки в закрытые точки, то f является плоским. ^[34]
Если f точно плоское, то для каждого замкнутого подмножества в Y codim Y ( ₍ Z ) = codim _X f Z ⁻¹( С )) . ^[35]
Предположим, что f плоский и F — квазикогерентный модуль над Y . Если F имеет проективную размерность не более n , то $f^{*}F$ имеет проективную размерность не более n . ^[36]

Свойства спуска [ править ]

Предположим, является плоским в точке x в X. f Если X уменьшен или нормален в точке x , то Y уменьшен или нормален соответственно в точке f ( x ). ^[37] Обратно, если f также имеет конечное представление и f ⁻¹( y ) уменьшена или нормальна соответственно в точке x , тогда X уменьшена или нормальна соответственно в точке x . ^[38]
В частности, если f строго плоская, то уменьшенное или нормальное значение X означает, что Y уменьшено или нормально соответственно. Если f точно плоская и имеет конечное представление, то из всех слоев f, приведенных или нормальных, следует, что X приведено или нормально соответственно.
Если f является плоским в точке x в X , и если X является целым или целозамкнутым в точке x , то Y является целым или целозамкнутым соответственно в точке f ( x ). ^[39]
Если f точно плоский, X локально целочисленный и топологическое пространство Y локально нётерово, то Y локально целочисленный. ^[40]
Если f точно плоский и квазикомпактный и если X локально нётерово, то Y также локально нётерово. ^[41]
Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X регулярен в точке x , то Y регулярен в точке f ( x ). И наоборот, если Y регулярен в точке f ( x ) и f ⁻¹( f ( x )) регулярно в точке x , то X регулярно в точке x . ^[42]
Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X является нормальным в точке x , то Y является нормальным в точке f ( x ). И наоборот, если Y нормален в точке f ( x ) и f ⁻¹( f ( x )) нормально в точке x , то X нормально в точке x . ^[43]

Пусть g : Y ′ → Y строго плоский. Пусть F — квазикогерентный пучок на Y и пусть F ′ — обратный образ F к Y ′. Тогда F плоская над Y тогда и только тогда, когда F плоская над Y . ^[44]

Предположим, что f строго плоская и квазикомпактная. Пусть G квазикогерентный пучок на Y , и пусть F обозначает его обратный образ к X. — Тогда F имеет конечный тип, конечное представление или локально свободна от ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством. ^[45]

Предположим, f : X → Y — S -морфизм S -схем. Пусть g : S ′ → S точно плоский и квазикомпактный, и пусть X ′, Y ′ и f ′ обозначают замены базы на g . Тогда для каждого из следующих свойств P , если f ' имеет , то f имеет P. P ^[46]

Открыть.
Закрыто.
Квазикомпакт и гомеоморфизм на его образ.
Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств f P имеет P тогда и только тогда, когда f ′ имеет P . ^[47]

Универсально открытый.
Универсально закрыто.
Универсальный гомеоморфизм.
Квазикомпактный.
Квазикомпактный и доминантный.
Квазикомпактный и универсально бинепрерывный.
Отдельно.
Квази-разделенный.
Локально конечного типа.
Локально конечного представления.
Конечный тип.
Конечная презентация.
Правильный.
Изоморфизм.
Мономорфизм.
Открытое погружение.
Квазикомпактное погружение.
Закрытое погружение.
Аффинный.
Почти-похожи.
Конечный.
Квазиконечный.
Интеграл.

Возможно, что f ′ является локальным изоморфизмом, но при этом f даже не является локальным погружением. ^[48]

Если f квазикомпактно и L обратимый пучок на X , то L является f -обильным или f -очень обильным тогда и только тогда, когда его образ L ' является f' -обильным или f' -очень обильным соответственно. ^[49] Однако неверно, что f проективен тогда и только тогда, когда f ′ проективен. Неверно даже то, что если f собственный и f ′ проективен, то f квазипроективен, поскольку ′ возможно существование f ′-обильного пучка на X , который не спускается до X . ^[50]

См. также [ править ]

fpqc морфизм
Относительный эффективный делитель Картье , пример плоского морфизма
Вырождение (алгебраическая геометрия)

Примечания [ править ]

^ ИЛИ IV ₂ , 2.1.1.
^ ИЛИ 0 _I , 6.7.8.
^ Сернеси, Э. (2010). Деформации алгебраических схем . Спрингер . стр. 269–279 .
^ «Плоские морфизмы и плоскостность» .
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.1.3.
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.2.11(iv).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.2.13(iii).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.1.6.
^ EGA IV ₂ , следствие 2.1.7, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(ii).
^ EGA IV ₂ , предложение 2.1.4, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(i).
^ EGA IV ₃ , Теорема 11.3.1.
^ EGA IV ₃ , Предложение 11.3.16.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.1.11.
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.2.8.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.7 (i).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.2.16.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.2.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4 (i).
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(ii).
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(iii).
^ EGA IV ₂ , следствие 2.3.5(i).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.3.5(ii).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.3.5(iii).
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.3.6(ii).
^ EGA IV ₂ , Теорема 2.3.10.
^ EGA IV ₂ , Теорема 2.4.6.
^ EGA IV ₂ , Примечания 2.4.8 (i).
^ EGA IV ₂ , Примечания 2.4.8(ii).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.3.12.
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.3.14.
^ EGA IV ₃ , Теорема 12.1.6.
^ EGA IV ₃ , Теорема 12.2.4.
^ EGA IV ₂ , Следствие 6.1.2.
^ EGA IV ₂ , Предложение 6.1.5. предположение о регулярности Y. Обратите внимание, что здесь важно Расширение $\mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]$ дает контрпример с X регулярным, Y нормальным, f конечным сюръективным, но не плоским.
^ EGA IV ₂ , Следствие 6.1.4.
^ EGA IV ₂ , Следствие 6.2.2.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.
^ EGA IV ₃ , Предложение 11.3.13.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.1.14.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.2.14.
^ EGA IV ₂ , Следствие 6.5.2.
^ EGA IV ₂ , Следствие 6.5.4.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.5.1.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.5.2.
^ EGA IV ₂ , Предложение 2.6.2.
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.6.4 и Предложение 2.7.1.
^ EGA IV ₂ , Примечания 2.7.3(iii).
^ EGA IV ₂ , Следствие 2.7.2.
^ EGA IV ₂ , Примечания 2.7.3(ii).

Ссылки [ править ]

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960 , ISBN 978-0-387-94269-8 , раздел 6.
Серр, Жан-Пьер (1956), «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР 0199181 .
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 . дои : 10.1007/bf02684343 . МР 0217086 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

[1] ИЛИ IV ₂ , 2.1.1.

[2] ИЛИ 0 _I , 6.7.8.

[3] Сернеси, Э. (2010). Деформации алгебраических схем . Спрингер . стр. 269–279 .

[4] «Плоские морфизмы и плоскостность» .

[5] EGA IV ₂ , Предложение 2.1.3.

[6] EGA IV ₂ , Следствие 2.2.11(iv).

[7] EGA IV ₂ , Следствие 2.2.13(iii).

[8] EGA IV ₂ , Следствие 2.1.6.

[9] EGA IV ₂ , следствие 2.1.7, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(ii).

[10] EGA IV ₂ , предложение 2.1.4, и EGA IV ₂ , следствие 2.2.13(i).

[11] EGA IV ₃ , Теорема 11.3.1.

[12] EGA IV ₃ , Предложение 11.3.16.

[13] EGA IV ₂ , Предложение 2.1.11.

[14] EGA IV ₂ , Следствие 2.2.8.

[15] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.7 (i).

[16] EGA IV ₂ , Следствие 2.2.16.

[17] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.2.

[18] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4 (i).

[19] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(ii).

[20] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.4(iii).

[21] EGA IV ₂ , следствие 2.3.5(i).

[22] EGA IV ₂ , Следствие 2.3.5(ii).

[23] EGA IV ₂ , Следствие 2.3.5(iii).

[24] EGA IV ₂ , Предложение 2.3.6(ii).

[25] EGA IV ₂ , Теорема 2.3.10.

[26] EGA IV ₂ , Теорема 2.4.6.

[27] EGA IV ₂ , Примечания 2.4.8 (i).

[28] EGA IV ₂ , Примечания 2.4.8(ii).

[29] EGA IV ₂ , Следствие 2.3.12.

[30] EGA IV ₂ , Следствие 2.3.14.

[31] EGA IV ₃ , Теорема 12.1.6.

[32] EGA IV ₃ , Теорема 12.2.4.

[33] EGA IV ₂ , Следствие 6.1.2.

[34] EGA IV ₂ , Предложение 6.1.5. предположение о регулярности Y. Обратите внимание, что здесь важно Расширение $\mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]$ дает контрпример с X регулярным, Y нормальным, f конечным сюръективным, но не плоским.

[35] EGA IV ₂ , Следствие 6.1.4.

[36] EGA IV ₂ , Следствие 6.2.2.

[37] EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.

[38] EGA IV ₃ , Предложение 11.3.13.

[39] EGA IV ₂ , Предложение 2.1.13.

[40] EGA IV ₂ , Предложение 2.1.14.

[41] EGA IV ₂ , Предложение 2.2.14.

[42] EGA IV ₂ , Следствие 6.5.2.

[43] EGA IV ₂ , Следствие 6.5.4.

[44] EGA IV ₂ , Предложение 2.5.1.

[45] EGA IV ₂ , Предложение 2.5.2.

[46] EGA IV ₂ , Предложение 2.6.2.

[47] EGA IV ₂ , Следствие 2.6.4 и Предложение 2.7.1.

[48] EGA IV ₂ , Примечания 2.7.3(iii).

[49] EGA IV ₂ , Следствие 2.7.2.

[50] EGA IV ₂ , Примечания 2.7.3(ii).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]