Общая плоскостность

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре теоремы общей плоскостности и общей свободы что при определенных гипотезах пучок модулей утверждают , на схеме является плоским или свободным . Они принадлежат Александру Гротендику .

Общая плоскостность утверждает, что если Y — целая локально нётерова схема, u : X → Y — морфизм схем конечного типа и F — когерентный O _X -модуль, то существует непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение F на u ⁻¹( U ) плоская над U . ^[1]

Поскольку Y целое, U является плотным открытым подмножеством Y . Это можно применить для вывода варианта общей плоскостности, который верен, когда основание не является целым. ^[2] Предположим, что — нетерова схема, u : X → S — морфизм конечного типа и F — когерентный модуль OX _S . Тогда существует разбиение S на локально замкнутые подмножества со _{следующим} свойством : _{S 1 , ..., Sn} Дайте каждому S _i его приведенную схемную структуру, обозначим через X _i послойное произведение X × _S S _i и обозначим через F _i ограничение F ⊗ _{O _S} O _{S _i} ; тогда каждое F _i плоское.

Общая свобода

Родовая плоскость является следствием леммы о родовой свободе. Общая свобода утверждает, что если A — нётерова область целостности , B -алгебра конечного типа — A и M — конечный B -модуль типа, то существует ненулевой элемент f из A такой, что M _f — свободный A _f -модуль. ^[3] Общая свобода может быть распространена на градуированную ситуацию: если B градуирован натуральными числами, A действует в нулевой степени и M является градуированным B -модулем, то f можно выбрать так, чтобы каждый градуированный компонент M _f был свободным. ^[4]

Родовая свобода доказывается с помощью техники девизсажа Гротендика . Другой вариант родовой свободы можно доказать с помощью леммы о нормализации Нётер .

Ссылки

^ EGA IV ₂ , Теорема 6.9.1
^ EGA IV ₂ , следствие 6.9.3
^ EGA IV ₂ , Лемма 6.9.2
^ Эйзенбуд, Теорема 14.4

Библиография

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР 0199181 .

[1] EGA IV ₂ , Теорема 6.9.1

[2] EGA IV ₂ , следствие 6.9.3

[3] EGA IV ₂ , Лемма 6.9.2

[4] Эйзенбуд, Теорема 14.4

[1]

[2]

[3]

[4]