Отвинчивание

В алгебраической геометрии девиссаж — метод, предложенный Александром Гротендиком для доказательства утверждений о когерентных пучках на нётеровых схемах . Девиссаж представляет собой адаптацию определенного рода нётеровской индукции . Он имеет множество приложений, включая доказательство общей плоскостности и доказательство того, что высшие прямые образы когерентных пучков при наличии собственных морфизмов когерентны.

Лоран Грюсон и Мишель Рейно распространили это понятие на относительную ситуацию, то есть на ситуацию, когда рассматриваемая схема не обязательно нётерова, а вместо этого допускает конечно представимый морфизм на другую схему. Они сделали это, определив объект, называемый относительным devissage, который хорошо подходит для определенных видов индуктивных аргументов. чтобы дать новый критерий модуля плоскости Они использовали эту технику , . Как следствие, они смогли упростить и обобщить результаты EGA IV 11 по снижению плоскостности. ^{[ 1 ]}

Слово «dévissage» по-французски означает «откручивание» .

Теорема девиссажа Гротендика

Пусть X — нетерова схема. Пусть C — подмножество объектов категории когерентных O _X -модулей, содержащее нулевой пучок и обладающее тем свойством, что для любой короткой точной последовательности $0\to A'\to A\to A''\to 0$ когерентных пучков, если два из A , A ' и A ' находятся в C , то и третий тоже. Пусть X ′ будет замкнутым подпространством основного топологического X пространства . Предположим, что для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y в X существует когерентный пучок G в C , слой которого в общей точке y из Y является одномерным векторным пространством над полем вычетов k ( y ). Тогда каждый когерентный O _X -модуль, носитель которого содержится в X , содержится в C . ^{[ 2 ]}

В частном случае, когда X ′ = X , теорема утверждает, что C является категорией когерентных O _X -модулей. Это ситуация, в которой теорема применяется чаще всего, но приведенное выше утверждение позволяет доказать теорему методом нётеровой индукции.

Вариант теоремы состоит в том, что если каждый прямой фактор объекта в C снова находится в C , то условие, что слой G в точке x является одномерным, может быть заменено условием, что слой ненулевой. ^{[ 3 ]}

Относительное раскручивание Грюсона и Рейно

Предположим, что f : X → S — конечно представимый морфизм аффинных схем, s — точка S и M — конечный тип O _X -модуля. Если n - натуральное число, то Грюсон и Рейно определяют S -девиссаж в размерности n, состоящий из:

Замкнутая конечно определенная подсхема X ′ в X, содержащая замкнутую подсхему, определенную аннулятором M и такая, что размерность X ′ ∩ f ⁻¹( s ) меньше или равно n .
Схема T и факторизация X ′ → T → S ограничения f на X ′ такие, что X ′ → T — конечный морфизм, а T → S — гладкий аффинный морфизм с геометрически целыми слоями размерности n . Обозначим общую точку T × _Sk s ( ) и переход от M к T через N. через τ
Свободный O _T -модуль L конечного типа и гомоморфизм α : L → N такой, что α ⊗ k (τ) биективен.

Если n ₁ , n ₂ , ..., n _r — строго убывающая последовательность натуральных чисел, то S -девиссаж в размерностях n ₁ , n ₂ , ..., n _r определяется рекурсивно как:

S - девиссаж в размерности n ₁ . Обозначим коядро α P1 _. через
S - девизаж размеров n ₂ , ..., n _r из P ₁ .

Говорят, что девизаж находится между измерениями n ₁ и n _r . r называется длиной девизажа. Последний шаг рекурсии состоит из девизажа в размерности n _r , который включает морфизм α _r : L _r → N _r . Обозначим коядро этого морфизма Pr _через . Девиссаж называется тотальным , если P _r равен нулю. ^{[ 4 ]}

Грюсон и Рейно в общих чертах доказывают, что локально устройства всегда существуют. В частности, пусть f : ( X , x ) → ( S , s ) — конечно определенный морфизм точечных схем, а M — O _X -модуль конечного типа, слой которого в точке x ненулевой. Установите n равным размерности M ⊗ k ( s ) и r равной коглубине M в точке s , то есть n − глубине ( M ⊗ k ( s )) . ^{[ 5 ]} Тогда существуют аффинные этальные окрестности X ' точки x и S ' точки s вместе с точками x ' и s ', поднимающими x и s , такие, что расширения поля вычетов k ( x ) → k ( x ') и k ( s ) → k ( s ′) тривиальны, отображение X ′ → S факторизуется через S ′, эта факторизация отправляет x ′ в s ′, и что возврат M к X ′ допускает тотальный S ′-девиссаж в точке x ′ в размерах между n и n − r .

Ссылки

^ Грусон и Рейно 1971 , с. 1
^ EGA III, Теорема 3.1.2
^ EGA III, следствие 3.1.3
^ Грусон и Рейно 1971 , стр. 7–8
^ EGA 0 _IV , Определение 16.4.9.

Библиография

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР 0217085 .
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР 0173675 .
Грусон, Лоуренс; Рейно, Мишель (1971), «Criteria de platitude et de projectivité», Mathematical Inventions (на французском языке), 13 : 1–17, doi : 10.1007/bf01390094 , ISSN 0020-9910

[1] Грусон и Рейно 1971 , с. 1

[2] EGA III, Теорема 3.1.2

[3] EGA III, следствие 3.1.3

[4] Грусон и Рейно 1971 , стр. 7–8

[5] EGA 0 _IV , Определение 16.4.9.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]