Идеальное поле

В алгебре поле , k является совершенным если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Каждый неприводимый многочлен над k не имеет кратных корней ни в каком расширении поля F/k .
• Каждый неприводимый многочлен над k имеет ненулевую формальную производную .
• Любой многочлен над k сепарабельен . неприводимый
• Каждое конечное k ​ сепарабельно расширение .
• Каждое алгебраическое расширение k сепарабельно .
• Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p > 0 , каждый элемент k является p -й степенью .
• Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p > 0 , эндоморфизм Фробениуса x ↦ x ^п является автоморфизмом k ​ .
• Сепарабельное замыкание k ​ замкнуто алгебраически .
• Всякая приведенная коммутативная k -алгебра A является сепарабельной алгеброй ; то есть, $A\otimes _{k}F$ уменьшается F каждого расширения поля / для k . (см. ниже)

В противном случае k называется несовершенным .

В частности, все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.

Совершенные поля важны, потому что теория Галуа над этими полями становится проще, поскольку общее предположение Галуа о сепарабельности расширений полей автоматически выполняется над этими полями (см. третье условие выше).

Еще одним важным свойством совершенных полей является то, что они допускают векторы Витта .

В более общем смысле кольцо характеристики p ( p a простое число ) называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом . (При ограничении целых областей это эквивалентно приведенному выше условию «каждый элемент k является p -й степенью».)

Примеры

Примеры идеальных полей:

• каждое поле нулевой характеристики, поэтому $\mathbb {Q}$ и каждое конечное расширение, и $\mathbb {C}$;
• каждое конечное поле $\mathbb {F} _{q}$;
• всякое алгебраически замкнутое поле ;
• объединение множества совершенных полей, полностью упорядоченных по расширению;
• поля, алгебраические над совершенным полем.

Большинство полей, встречающихся на практике, идеальны. Несовершенный случай возникает главным образом в алгебраической геометрии в характеристике p > 0 . Каждое несовершенное поле обязательно трансцендентно над своим простым подполем (минимальным подполем), поскольку последнее совершенно. Примером несовершенного поля является поле $\mathbf {F} _{q}(x)$, поскольку эндоморфизм Фробениуса отправляет $x\mapsto x^{p}$ и поэтому не является сюръективным. Это поле встраивается в идеальное поле

$\mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )$

назвал его совершенством . Несовершенные поля вызывают технические трудности, поскольку неприводимые многочлены могут стать приводимыми при алгебраическом замыкании основного поля. Например, учитывать $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ для $k$ несовершенное поле характеристики $p$ и a не является p -й степенью k . Тогда в своем алгебраическом замыкании $k^{\operatorname {alg} }[x,y]$, имеет место следующее равенство:

$f(x,y)=(x+by)^{p},$

где б ^п = a и такой b существует в этом алгебраическом замыкании. Геометрически это означает, что $f$ не определяет аффинную плоскую кривую в $k[x,y]$.

Расширение поля над идеальным полем

Любое конечно порожденное расширение поля K над совершенным полем k сепарабельно порождено, т. е. допускает разделяющую базу трансцендентности , т. е. такую ​​базу трансцендентности Γ, что K сепарабельно алгебраична над k (Γ).

Идеальное завершение и совершенство

Одно из эквивалентных условий гласит, что в характеристике p поле, сопряжённое со всеми p ^р -корни ( r ≥ 1 ) совершенны; называют идеальным замыканием k его и обычно обозначают $k^{p^{-\infty }}$.

Идеальное закрытие можно использовать в тесте на разделимость. Точнее, коммутативная k -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ снижается.

С точки зрения универсальных свойств , совершенным замыканием кольца A характеристики p является совершенное кольцо A _p характеристики p вместе с кольцевым гомоморфизмом u : A → Ap _таким , что для любого другого совершенного кольца B характеристики p с гомоморфизмом v : A → B существует единственный гомоморфизм f : A _p → B такой, что v факторизуется через u (т. е. v = fu ). Идеальное замыкание всегда существует; доказательство включает в себя «примыкание корней p-й степени элементов A », как и в случае полей.

Совершенство — это двойственное понятие ( кольца A характеристики p хотя этот термин иногда используется для обозначения совершенного замыкания). Другими словами, совершенство R ( A ) кольца A — это совершенное кольцо характеристики p вместе с отображением θ : R ( A ) → A таким, что для любого совершенного кольца B характеристики p, снабженного отображением φ : B → A , существует единственное отображение f : B → R ( A ) такое, что φ факторизуется через θ (т. е. φ = θf ). Совершенство А можно построить следующим образом. Рассмотрим проективную систему

$\cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots$

где отображения переходов представляют собой эндоморфизм Фробениуса. Обратный предел этой системы равен R ( A состоит из последовательностей ( x0 _{) и} , x1 _, ...) элементов A таких, что $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ для всех я . Отображение θ : R ( A ) → A переводит ( x _i ) в x ₀ .

См. также

• р-кольцо
• Идеальное кольцо
• Квазиконечное поле

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2003), Алгебра II , Springer, ISBN  978-3-540-00706-7
• Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), заметки Летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF) , получено 5 февраля 2010 г.
• Кон, ПМ (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Мацумура, Хидеюки (2003), Коммутативная теория колец , Перевод с японского М. Рида. Кембриджские исследования по высшей математике , том. 8 (2-е изд.)
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике , вып. 67 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90424-5 , МР   0554237

Внешние ссылки

• «Идеальное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]