Квазиконечное поле

В математике квазиконечное поле является обобщением конечного поля . Стандартная теория полей локальных классов обычно имеет дело с полными значными полями, поле вычетов которых конечно (т.е. неархимедовыми локальными полями ), но теория применима одинаково хорошо, когда поле вычетов предполагается только квазиконечным.

Формальное определение

Квазиконечное поле — это совершенное поле K вместе с изоморфизмом топологических групп.

$\phi :{\hat {\mathbb {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),$

где K _s — алгебраическое замыкание K совершенно (необходимо сепарабельное, поскольку K ). Расширение поля K _s / K бесконечно, и группе Галуа соответственно задана топология Крулля . Группа ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ является проконечным пополнением целых чисел относительно своих подгрупп конечного индекса.

Это определение эквивалентно утверждению, что K имеет единственное (обязательно циклическое ) расширение K _n степени n для каждого целого числа n ≥ 1 и что объединение этих расширений равно K _s . , как часть структуры квазиконечного поля, существует генератор Fn _{Более того} для каждого Gal( Kn _/ n K ), и генераторы должны быть когерентными , в том смысле, что если делит m , то ограничение F _{от m} до K _n равно F _n .

Примеры

Самый простой пример, мотивирующий это определение, — это конечное поле K = GF ( q ). Он имеет единственное циклическое расширение степени n , а Kn _именно = GF ( q ^н ). Объединение Kn _есть алгебраическое Ks _. замыкание возьмем Fn _; качестве элемента Фробениуса В то есть F _n ( x ) = x ^д .

Другой пример — K = C (( T )), кольцо формальных рядов Лорана в T над полем C комплексных чисел . (Это просто формальные степенные ряды , в которых мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени.) Тогда K имеет единственное циклическое расширение

$K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))$

степени n для каждого n объединение которого является алгебраическим замыканием K, называемым полем ряда Пюизо , и что генератор Gal( Kn _/ ≥ 1 , K ) задается формулой

$F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.$

Эта конструкция работает, если C заменить любым алгебраически замкнутым полем C нулевой характеристики.

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1967], Теория поля классов , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-4426-7 , МР   2467155 , Збл   1179.11040
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике , том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90424-7 , МР   0554237 , Збл   0423.12016