Локальное поле

В математике поле , K называется неархимедовым локальным полем если оно полно относительно метрики, индуцированной дискретным нормированием v , и если его поле вычетов k конечно. В общем, локальное поле — это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии . Действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартной топологией) являются архимедовыми локальными полями. Учитывая локальное поле, определенная на нем оценка может быть любого из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тем, в которых оценка является архимедовой , и тем, в которых она не является архимедовой. В первом случае локальное поле называют архимедовым локальным полем , во втором случае — неархимедовым локальным полем . Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей .

Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей — поля p -адических чисел для положительного простого целого числа p — были введены Куртом Хензелем в конце 19 век.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих:

• Архимедовы локальные поля ( нулевая характеристика : действительные числа R и комплексные числа C. )
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения Q p -адических чисел p ₍ где p — любое простое число ).
• Неархимедовы локальные поля характеристики p (для p любое заданное простое число): поле Лорана F _q (( T )) над конечным полем F _q , где q - степень p формального ряда .

В частности, что важно в теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного нормирования, соответствующего одному из их максимальных идеалов . В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным и имело положительные характеристики, а не обязательно конечное. В этой статье используется первое определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение в поле K можно определить следующую топологию , на K : для положительного действительного числа m определите подмножество B _m поля K следующим образом:

$B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.$

Тогда b+B _m составляют базис окрестности b в K .

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить, используя меру Хаара аддитивной группы поля.

Основные особенности неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначаемым |·|) важны следующие объекты:

• его кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}$ которое является кольцом дискретного нормирования , является замкнутым единичным шаром F и компактно ;
• единицы в кольце целых чисел ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$ которая образует группу и является сферой F единичной ;
• уникальный ненулевой простой идеал ${\mathfrak {m}}$ в своем кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром $\{a\in F:|a|<1\}$;
• генератор ​ $\varpi$ из ${\mathfrak {m}}$ называется униформизатором ​ $F$;
• его поле вычетов $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ который конечен (поскольку компактен и дискретен ).

Каждый ненулевой элемент a из F можно записать как a = ϖ ^н u , где u — единица измерения, а n — уникальное целое число.Нормализованная оценка F F — это сюръективная функция v : ∪ {∞}, определенная путем → Z перевода ненулевого a в уникальное целое число n, такое что a = ϖ ^н u с u единицей и отправив 0 на ∞. Если q — мощность поля вычетов, абсолютное значение поля F, индуцированное его структурой как локального поля, определяется формулой:

$|a|=q^{-v(a)}.$

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, полное относительно дискретного нормирования и поле вычетов которого конечно.

Примеры

1. p - числа : кольцо целых чисел Qp _{адические} кольцом целых p -адических чисел Zp _{является} . Его первичный идеал — p Z _p а поле вычетов — Z / p Z. , Каждый ненулевой элемент Q _p можно записать как u p ^н где u — единица в Z _p , а n — целое число, то v ( u p ^н ) = n для нормированной оценки.
2. Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F _q (( T )) является кольцом формальных степенных рядов F _q [[ T ]]. Его максимальный идеал — ( T ) (т.е. степенной ряд которого , постоянный член равен нулю), а его поле вычетов — F _q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:

   $v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m$ (где a _{− m} не равно нулю).

3. Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле вычетов — C [[ T ]]/( T ) = C , которое не является конечным.

Высшие группы единиц

Затем ​ ^й группа высшей единицы неархимедова локального поля F равна

$U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}$

при n ≥ 1. Группа U ⁽¹⁾ называется группой главных единиц , а любой ее элемент — главной единицей . Полная группа юнитов ${\mathcal {O}}^{\times }$ обозначается U ⁽⁰⁾ .

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.

${\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots$

чьи отношения определяются выражением

${\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$

для n ≥ 1. (Здесь " $\approx$" означает неканонический изоморфизм.)

Структура группы подразделений

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

$F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}$

где q — порядок поля вычетов, а µ _{q −1} — группа корней ( q −1)-й степени из единицы (в F ). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :

• Если F имеет положительную характеристику p , то

$F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }$

где N обозначает натуральные числа ;

• Если F т.е. является конечным расширением Qp _{имеет нулевую характеристику (} степени d ), то

$F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}$

где a ≥ 0 определено так, что группа корней из единицы p -степени в F равна $\mu _{p^{a}}$.

Теория локальных полей

Эта теория включает в себя изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширений Галуа локальных полей, групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p -адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например,

Локальные поля более высокой размерности

Основная статья: Высшее местное поле

Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в ее неособой точке.

Для неотрицательного целого числа n -мерное n локальное поле представляет собой полное поле дискретных оценок, поле вычетов которого является ( n - 1)-мерным локальным полем. В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле является либо конечным полем (в соответствии с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.

С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественно сопоставляются с полным флагом подсхем n -мерной арифметической схемы.

См. также

• Лемма Гензеля
• Группа ветвления
• Теория поля локальных классов
• Высшее местное поле

Ссылки

• Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl   0153.07403
• Фесенко Иван Борисович ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3259-2 , г-н   1915966
• Милн, Джеймс С. (2020), Алгебраическая теория чисел (изд. 3.08)
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Том 322. Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Вейль, Андре (1995), Основная теория чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN  3-540-58655-5
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67 (первое издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  0-387-90424-7

Внешние ссылки

• «Локальное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]