Локальные гипотезы Ленглендса

В математике являются локальные гипотезы Ленглендса , выдвинутые Робертом Ленглендсом ( 1967 , 1970 частью программы Ленглендса ) . Они описывают соответствие между комплексными представлениями редуктивной алгебраической группы G над локальным полем F и представлениями Ленглендса группы F в L -группу G . Это соответствие, вообще говоря, не является биекцией. Гипотезы можно рассматривать как обобщение локальной теории полей классов с абелевых групп Галуа на неабелевы группы Галуа.

Локальные гипотезы Ленглендса для GL ₁

Локальные гипотезы Ленглендса для GL ₁ ( K (и по существу эквивалентны ей) ) следуют из локальной теории полей классов . Точнее, отображение Артина дает изоморфизм из группы GL ₁ ( K )= K ^* к абелианизации группы Вейля . В частности, неприводимые гладкие представления группы GL ₁ ( K ) одномерны, поскольку группа абелева, поэтому их можно отождествить с гомоморфизмами группы Вейля в GL ₁ ( C ). Это дает соответствие Ленглендса между гомоморфизмами группы Вейля в GL ₁ ( C ) и неприводимые гладкие представления GL ₁ ( K ).

Представления группы Вейля

Представления группы Вейля не вполне соответствуют неприводимым гладким представлениям общих линейных групп. Чтобы получить биекцию, нужно немного изменить понятие представления группы Вейля до так называемого представления Вейля – Делиня. Он состоит из представления группы Вейля в векторном пространстве V вместе с нильпотентным эндоморфизмом N группы V таким, что wNw ⁻¹ =|| ш || N или, что то же самое, представление группы Вейля – Делиня . Кроме того, представление группы Вейля должно иметь открытое ядро ​​и быть (по Фробениусу) полупростым.

Для каждого полупростого комплексного Фробениуса n -мерного представления Вейля–Делиня ρ группы Вейля группы F существуют L-функция L ( s ,ρ) и локальный ε-фактор ε( s ,ρ,ψ) (зависящий от характера ψ F ).

Представления GL _n ( F )

Представления группы GL _n ( F ), входящие в локальное соответствие Ленглендса, являются гладкими неприводимыми комплексными представлениями.

• «Гладкий» означает, что каждый вектор фиксируется некоторой открытой подгруппой.
• «Неприводимый» означает, что представление ненулевое и не имеет других подпредставлений, кроме 0 и самого себя.

Гладкие неприводимые комплексные представления автоматически допустимы.

Классификация Бернштейна – Зелевинского сводит классификацию неприводимых гладких представлений к представлениям возврата.

Для каждого неприводимого допустимого комплексного представления π существует L-функция L ( s ,π) и локальный ε-фактор ε( s ,π,ψ) (зависящий от характера ψ из F ). В более общем смысле, если существуют два неприводимых допустимых представления π и π' общих линейных групп, то существуют локальные L-функции свертки Рэнкина–Сельберга L ( s ,π×π') и ε-факторы ε( s ,π×π', ψ).

Бушнелл и Куцко (1993) описали неприводимые допустимые представления общих линейных групп над локальными полями.

Локальные гипотезы Ленглендса для GL ₂

Локальная гипотеза Ленглендса для GL ₂ локального поля утверждает, что существует (единственная) биекция π от 2-мерных полупростых представлений Вейля-Делиня группы Вейля к неприводимым гладким представлениям GL ₂ ( F ), сохраняющая L -функции, ε-факторами и коммутирует со скручиванием характерами F ^* .

Жаке и Ленглендс (1970) проверили локальные гипотезы Ленглендса для GL ₂ в случае, когда поле вычетов не имеет характеристики 2. В этом случае все представления группы Вейля имеют циклический или диэдральный тип. Гельфанд и Граев (1962) классифицировали гладкие неприводимые представления GL ₂ ( F ), когда F имеет характеристику нечетного вычета (см. также ( Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969 , глава 2)), и ошибочно утверждали, что классификация для четного вычета Характеристика лишь незначительно отличается от случая характеристики нечетного остатка. Вейль (1974) указал, что когда поле вычетов имеет характеристику 2, существуют некоторые дополнительные исключительные 2-мерные представления группы Вейля, образ которых в PGL ₂ ( C ) имеет тетраэдрический или октаэдрический тип. (Для глобальных гипотез Ленглендса двумерные представления также могут быть икосаэдрического типа, но в локальном случае этого не может произойти, поскольку группы Галуа разрешимы.) Таннелл (1978) доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL. ₂ ( K ) над 2-адическими числами и над локальными полями, содержащими кубический корень из единицы.Куцко ( 1980 , 1980b ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL ₂ ( K ) над всеми локальными полями.

Картье (1981) и Бушнелл и Хенниарт (2006) изложили доказательство.

Локальные гипотезы Ленглендса для GL _n

Локальные гипотезы Ленглендса для общих линейных групп утверждают, что существуют единственные биекции π ↔ ρ _π от классов эквивалентности неприводимых допустимых представлений π группы GL _n ( F ) до классов эквивалентности непрерывных полупростых комплексных Фробениуса n -мерных представлений Вейля–Делиня ρ _π группы группу Вейля группы F , сохраняющие L -функции и ε-факторы пар представлений и совпадающие с отображением Артина для одномерных представлений. Другими словами,

• L( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ) = L( s ,π×π')
• ε( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ,ψ) = ε( s ,π×π',ψ)

Лаумон, Рапопорт и Сталер (1993) доказали локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL _n ( K ) для локальных полей K с положительной характеристикой . Карайол (1992) представил свою работу.

Харрис и Тейлор (2001) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL _n ( K ) для локальных полей K характеристики 0 . Хенниарт (2000) дал еще одно доказательство. Карайол (2000) и Ведхорн (2008) представили свою работу.

Локальные гипотезы Ленглендса для других групп

Борель (1979) и Воган (1993) обсуждают гипотезы Ленглендса для более общих групп. Гипотезы Ленглендса для произвольных редуктивных групп G сформулировать сложнее, чем гипотезы для общих линейных групп, и неясно, каким должен быть лучший способ их формулировки. Грубо говоря, допустимые представления редуктивной группы группируются в непересекающиеся конечные множества, называемые L -пакетами, которые должны соответствовать некоторым классам гомоморфизмов, называемых - параметрами, от локальной группы Ленглендса к L -группе группы G. L В некоторых более ранних версиях вместо локальной группы Ленглендса использовалась группа Вейля-Делиня или группа Вейля, что дает несколько более слабую форму гипотезы.

Ленглендс (1989) доказал гипотезу Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R и C, дав классификацию Ленглендса их неприводимых допустимых представлений (с точностью до бесконечно малой эквивалентности) или, что то же самое, их неприводимых представлений. $({\mathfrak {g}},K)$-модули .

Ган и Такеда (2011) доказали локальные гипотезы Ленглендса для симплектической группы подобия GSp(4) и использовали их в Ган и Такеда (2010) для вывода их для симплектической группы Sp(4).

Ссылки

• Борель, Арманд (1979), «Автоморфные L-функции» , в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Университет штата Орегон, Корваллис, Орегон, 1977), Часть 2 , том. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, ISBN.  978-0-8218-1437-6 , МР   0546608
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN.  978-3-540-31486-8 , МР   2234120
• Бушнелл, Колин Дж .; Куцко, Филип К. (1993), Допустимый двойственный GL (N) через компактные открытые подгруппы , Анналы математических исследований, том. 129, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-03256-6 , МР   1204652
• Карайоль, Анри (1992), «Разновидности компактов Дринфельда, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler» , Asterisque , 206 : 369–409, ISSN   0303-1179 , MR   1206074
• Карайоль, Анри (2000), «Доказательство локальной гипотезы Ленглендса для GL _n : работа Харриса-Тейлора и Хенниарта» , Семинар Бурбаки. Полет. 1998/99., Asterisk , 266 : 191–243, ISSN   0303-1179 , MR   1772675.
• Картье, Пьер (1981), «Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) и доказательство Ф. Куцко» , Семинар Бурбаки, Vol. 1979/80 , Конспекты лекций по математике. (на французском языке), том. 842, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 112–138, номер домена : 10.1007/BFb0089931 , ISBN.  978-3-540-10292-2 , МР   0636520
• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуичиро (2010), «Локальная гипотеза Ленглендса для Sp (4)», International Mathematics Research Notes , 2010 (15): 2987–3038, arXiv : 0805.2731 , doi : 10.1093/imrn/rnp203 , ISSN   1073-7928 , МР   2673717 , S2CID   5990821
• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуичиро (2011), «Локальная гипотеза Ленглендса для GSp (4)», Annals of Mathematics , 173 (3): 1841–1882, arXiv : 0706.0952 , doi : 10.4007/annals.2011.173.3.12 , S2CID   5990821
• Гельфанд, ИМ ; Граев М.И. (1962), "Построение неприводимых представлений простых алгебраических групп над конечным полем", Доклады Академии наук СССР , 147 : 529–532, ISSN   0002-3264 , MR   0148765 Английский перевод в томе 2 собрания сочинений Гельфанда.
• Гельфанд, ИМ ; Граев, М.И. ; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969) [1966], Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, вып. 6, Филадельфия, Пенсильвания: WB Saunders Co., ISBN  978-0-12-279506-0 , МР   0220673
• Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001), Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры , Анналы математических исследований, том. 151, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-09090-0 , МР   1876802
• Хенниарт, Гай (2000), «Простое доказательство гипотез Ленглендса для GL(n) на p-адическом теле», Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007/s002220050012 , ISSN   0020-9910 , MR   1738446 , S2CID   120799103
• Хенниарт, Гай (2006), «О местных переписках Ленглендса и Жаке-Лэнглендса» , в Санс-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и др. (ред.), Международный конгресс математиков. Полет. II , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 1171–1182, ISBN  978-3-03719-022-7 , МР   2275640
• Жаке, Эрве ; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN.  978-3-540-04903-6 , МР   0401654 , S2CID   122773458
• Кудла, Стивен С. (1994), «Местная переписка Ленглендса: неархимедов случай», в Яннсене, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 365–391, ISBN.  978-0-8218-1637-0 , МР   1265559
• Куцко, Филип (1980), «Гипотеза Ленглендса для GL ₂ локального поля», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 2 (3): 455–458, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14765 -5 , ISSN   0002-9904 , МР   0561532
• Куцко, Филип (1980b), «Гипотеза Ленглендса для Gl ₂ локального поля» , Annals of Mathematics , Second Series, 112 (2): 381–412, doi : 10.2307/1971151 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971151 , МР   0592296
• Ленглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вейлю
• Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Ленглендс, Роберт П. (1989) [1973], «О классификации неприводимых представлений вещественных алгебраических групп» , в Салли, Пол Дж.; Воган, Дэвид А. (ред.), Теория представлений и гармонический анализ полупростых групп Ли , Math. Обзоры Моногр., вып. 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 101–170, ISBN.  978-0-8218-1526-7 , МР   1011897
• Лаумон, Г.; Рапопорт, М .; Сталер, У. (1993), «D-эллиптические пучки и соответствие Ленглендса», Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217–338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , doi : 10.1007/BF01244308 , ISSN   0020-9910 , МР   1228127 , S2CID   124557672
• Таннелл, Джерролд Б. (1978), «О локальной гипотезе Ленглендса для GL (2)», Inventiones Mathematicae , 46 (2): 179–200, Bibcode : 1978InMat..46..179T , doi : 10.1007/BF01393255 , ISSN   0020-9910 , MR   0476703 , S2CID   117747963
• Воган, Дэвид А. (1993), «Местная гипотеза Ленглендса» , Адамс, Джеффри; Херб, Ребекка ; Кудла, Стивен; Ли, Цзянь-Шу; Липсман, Рон; Розенберг, Джонатан (ред.), Теория представлений групп и алгебр , Contemp. Матем., вып. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 305–379, ISBN.  978-0-8218-5168-5 , МР   1216197
• Ведхорн, Торстен (2008), «Локальное соответствие Ленглендса для GL (n) над p-адическими полями» (PDF) , в Göttsche, Lothar; Хардер, Г.; Рагунатан, MS (ред.), Школа автоморфных форм на GL (n) , лектор ICTP. Примечания, т. 21, Абдус Салам, международный. Цент. Теория. Phys., Триест, стр. 237–320, arXiv : math/0011210 , Bibcode : 2000math.....11210W , ISBN  978-92-95003-37-8 , MR   2508771 , заархивировано из оригинала (PDF) 7 мая 2020 г.
• Вейль, Андре (1974), «Диадические упражнения», Mathematical Inventions , 27 (1–2): 1–22, Bibcode : 1974InMat..27....1W , doi : 10.1007/BF01389962 , ISSN   0020-9910 , MR   0379445 , S2CID   189830448

Внешние ссылки

• Харрис, Майкл (2000), Местная переписка Ленглендса (PDF) , Заметки (половины) курса в IHP
• Работа Роберта Ленглендса
• Автоморфные формы - Локальная гипотеза Ленглендса. Лекция Ричарда Тейлора.