Локальные гипотезы Ленглендса

В математике являются локальные гипотезы Ленглендса , выдвинутые Робертом Ленглендсом ( 1967 , 1970 частью программы Ленглендса ) . Они описывают соответствие между комплексными представлениями редуктивной алгебраической группы G над локальным полем F и представлениями группы Ленглендса группы F в L -группу группы G . Это соответствие, вообще говоря, не является биекцией. Гипотезы можно рассматривать как обобщение локальной теории полей классов с абелевых групп Галуа на неабелевы группы Галуа.

GL ₁

Локальные гипотезы Ленглендса для GL ₁ ( K (и по существу эквивалентны ей) ) следуют из локальной теории полей классов . Точнее, отображение Артина дает изоморфизм из группы GL ₁ ( K )= K ^* к абелианизации группы Вейля . В частности, неприводимые гладкие представления группы GL ₁ ( K ) одномерны, поскольку группа абелева, поэтому их можно отождествить с гомоморфизмами группы Вейля в GL ₁ ( C ). Это дает соответствие Ленглендса между гомоморфизмами группы Вейля в GL ₁ ( C ) и неприводимые гладкие представления GL ₁ ( K ).

Представления группы Вейля

Представления группы Вейля не вполне соответствуют неприводимым гладким представлениям общих линейных групп. Чтобы получить биекцию, нужно немного изменить понятие представления группы Вейля до так называемого представления Вейля – Делиня. Он состоит из представления группы Вейля в векторном пространстве V вместе с нильпотентным эндоморфизмом N группы V таким, что wNw ⁻¹ =|| ш || N или, что то же самое, представление группы Вейля – Делиня . Кроме того, представление группы Вейля должно иметь открытое ядро ​​и быть (по Фробениусу) полупростым.

Для любого полупростого комплексного Фробениуса n -мерного представления Вейля–Делиня ρ группы Вейля группы F существует L-функция L ( s ,ρ) и локальный ε-фактор ε( s ,ρ,ψ) (зависящий от характера ψ из F ).

Представления GL _n ( F )

Представления группы GL _n ( F ), входящие в локальное соответствие Ленглендса, являются гладкими неприводимыми комплексными представлениями.

• «Гладкий» означает, что каждый вектор фиксируется некоторой открытой подгруппой.
• «Неприводимый» означает, что представление ненулевое и не имеет других подпредставлений, кроме 0 и самого себя.

Гладкие неприводимые комплексные представления автоматически допустимы.

Классификация Бернштейна – Зелевинского сводит классификацию неприводимых гладких представлений к представлениям возврата.

Для каждого неприводимого допустимого комплексного представления π существует L-функция L ( s ,π) и локальный ε-фактор ε( s ,π,ψ) (зависящий от характера ψ из F ). В более общем смысле, если существуют два неприводимых допустимых представления π и π' общих линейных групп, то существуют локальные L-функции свертки Ранкина–Сельберга L ( s ,π×π') и ε-факторы ε( s ,π×π', ψ).

Бушнелл и Куцко (1993) описали неприводимые допустимые представления общих линейных групп над локальными полями.

GL ₂

Локальная гипотеза Ленглендса для GL ₂ локального поля утверждает, что существует (единственная) биекция π от 2-мерных полупростых представлений Вейля-Делиня группы Вейля к неприводимым гладким представлениям GL ₂ ( F ), сохраняющая L -функции, ε-факторами и коммутирует со скручиванием характерами F ^* .

Жаке и Ленглендс (1970) проверили локальные гипотезы Ленглендса для GL ₂ в случае, когда поле вычетов не имеет характеристики 2. В этом случае все представления группы Вейля имеют циклический или диэдральный тип. Гельфанд и Граев (1962) классифицировали гладкие неприводимые представления GL ₂ ( F ), когда F имеет характеристику нечетного вычета (см. также ( Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969 , глава 2)), и ошибочно утверждали, что классификация для четного вычета Характеристика лишь незначительно отличается от случая характеристики нечетного остатка. Вейль (1974) указал, что когда поле вычетов имеет характеристику 2, существуют некоторые дополнительные исключительные двумерные представления группы Вейля, образ которых в PGL ₂ ( C ) имеет тетраэдрический или октаэдрический тип. (Для глобальных гипотез Ленглендса двумерные представления также могут быть икосаэдрического типа, но в локальном случае этого не может произойти, поскольку группы Галуа разрешимы.) Таннелл (1978) доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL. ₂ ( K ) над 2-адическими числами и над локальными полями, содержащими кубический корень из единицы.Куцко ( 1980 , 1980b ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL ₂ ( K ) над всеми локальными полями.

Картье (1981) и Бушнелл и Хенниарт (2006) изложили доказательство.

Ленглендса для _n

Локальные гипотезы Ленглендса для общих линейных групп утверждают, что существуют единственные биекции π ↔ ρ _π от классов эквивалентности неприводимых допустимых представлений π группы GL _n ( F ) до классов эквивалентности непрерывных полупростых комплексных Фробениуса n -мерных представлений Вейля–Делиня ρ _π группы группу Вейля группы F , сохраняющие L -функции и ε-факторы пар представлений и совпадающие с отображением Артина для одномерных представлений. Другими словами,

• L( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ) = L( s ,π×π')
• ε( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ,ψ) = ε( s ,π×π',ψ)

Лаумон, Рапопорт и Сталер (1993) доказали локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL _n ( K ) для локальных полей K с положительной характеристикой . Карайол (1992) представил свою работу.

Харрис и Тейлор (2001) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL _n ( K ) для локальных полей K характеристики 0 . Хенниарт (2000) дал еще одно доказательство. Карайол (2000) и Ведхорн (2008) представили свою работу.

Ленглендса для

Борель (1979) и Воган (1993) обсуждают гипотезы Ленглендса для более общих групп. Гипотезы Ленглендса для произвольных редуктивных групп G сформулировать сложнее, чем гипотезы для общих линейных групп, и неясно, каким должен быть лучший способ их формулировки. Грубо говоря, допустимые представления редуктивной группы группируются в непересекающиеся конечные множества, называемые L -пакетами, которые должны соответствовать некоторым классам гомоморфизмов, называемых - параметрами, от локальной группы Ленглендса к L -группе группы G. L В некоторых более ранних версиях вместо локальной группы Ленглендса использовалась группа Вейля-Делиня или группа Вейля, что дает несколько более слабую форму гипотезы.

Ленглендс (1989) доказал гипотезу Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R и C, дав классификацию Ленглендса их неприводимых допустимых представлений (с точностью до бесконечно малой эквивалентности) или, что то же самое, их неприводимых представлений. $({\mathfrak {g}},K)$-модули .

Ган и Такеда (2011) доказали локальные гипотезы Ленглендса для симплектической группы подобия GSp(4) и использовали их в Ган и Такеда (2010) для вывода их для симплектической группы Sp(4).

Ссылки

• Борель, Арманд (1979), «Автоморфные L-функции» , в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Университет штата Орегон, Корваллис, Орегон, 1977), Часть 2 , том. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, ISBN.  978-0-8218-1437-6 , МР   0546608
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN.  978-3-540-31486-8 , МР   2234120
• Бушнелл, Колин Дж .; Куцко, Филип К. (1993), Допустимый двойственный GL (N) через компактные открытые подгруппы , Анналы математических исследований, том. 129, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-03256-6 , МР   1204652
• Карайоль, Анри (1992), «Разновидности компактов Дринфельда, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler» , Asterisque , 206 : 369–409, ISSN   0303-1179 , MR   1206074
• Карайоль, Анри (2000), «Доказательство локальной гипотезы Ленглендса для GL _n : работа Харриса-Тейлора и Хенниарта» , Семинар Бурбаки. Полет. 1998/99., Asterisk , 266 : 191–243, ISSN   0303-1179 , MR   1772675.
• Картье, Пьер (1981), «Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) и доказательство Ф. Куцко» , Семинар Бурбаки, Vol. 1979/80 , Конспекты лекций по математике. (на французском языке), том. 842, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 112–138, номер домена : 10.1007/BFb0089931 , ISBN.  978-3-540-10292-2 , МР   0636520
• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуичиро (2010), «Локальная гипотеза Ленглендса для Sp (4)», International Mathematics Research Notifications , 2010 (15): 2987–3038, arXiv : 0805.2731 , doi : 10.1093/imrn/rnp203 , ISSN   1073-7928 , МР   2673717 , S2CID   5990821
• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуитиро (2011), «Локальная гипотеза Ленглендса для GSp (4)», Annals of Mathematics , 173 (3): 1841–1882, arXiv : 0706.0952 , doi : 10.4007/annals.2011.173.3.12 , S2CID   5990821
• Гельфанд, ИМ ; Граев М.И. (1962), "Построение неприводимых представлений простых алгебраических групп над конечным полем", Доклады Академии наук СССР , 147 : 529–532, ISSN   0002-3264 , MR   0148765 Английский перевод в томе 2 собрания сочинений Гельфанда.
• Гельфанд, ИМ ; Граев, М.И. ; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969) [1966], Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, вып. 6, Филадельфия, Пенсильвания: WB Saunders Co., ISBN  978-0-12-279506-0 , МР   0220673
• Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001), Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры , Анналы математических исследований, том. 151, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-09090-0 , МР   1876802
• Хенниарт, Гай (2000), «Простое доказательство гипотез Ленглендса для GL(n) на p-адическом теле», Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007/s002220050012 , ISSN   0020-9910 , MR   1738446 , S2CID   120799103
• Хенниарт, Гай (2006), «О местных переписках Ленглендса и Жаке-Лэнглендса» , в Санс-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и др. (ред.), Международный конгресс математиков. Полет. II , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 1171–1182, ISBN  978-3-03719-022-7 , МР   2275640
• Жаке, Эрве ; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN.  978-3-540-04903-6 , МР   0401654 , S2CID   122773458
• Кудла, Стивен С. (1994), «Местная переписка Ленглендса: неархимедов случай», в Яннсене, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 365–391, ISBN.  978-0-8218-1637-0 , МР   1265559
• Куцко, Филип (1980), «Гипотеза Ленглендса для GL ₂ локального поля», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 2 (3): 455–458, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14765 -5 , ISSN   0002-9904 , МР   0561532
• Куцко, Филип (1980b), «Гипотеза Ленглендса для Gl ₂ локального поля» , Annals of Mathematics , Second Series, 112 (2): 381–412, doi : 10.2307/1971151 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971151 , МР   0592296
• Ленглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вейлю
• Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Ленглендс, Роберт П. (1989) [1973], «О классификации неприводимых представлений вещественных алгебраических групп» , в Салли, Пол Дж.; Воган, Дэвид А. (ред.), Теория представлений и гармонический анализ полупростых групп Ли , Math. Обзоры Моногр., вып. 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 101–170, ISBN.  978-0-8218-1526-7 , МР   1011897
• Лаумон, Г.; Рапопорт, М .; Сталер, У. (1993), «D-эллиптические пучки и соответствие Ленглендса», Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217–338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , doi : 10.1007/BF01244308 , ISSN   0020-9910 , МР   1228127 , S2CID   124557672
• Таннелл, Джерролд Б. (1978), «О локальной гипотезе Ленглендса для GL (2)», Inventiones Mathematicae , 46 (2): 179–200, Bibcode : 1978InMat..46..179T , doi : 10.1007/BF01393255 , ISSN   0020-9910 , MR   0476703 , S2CID   117747963
• Воган, Дэвид А. (1993), «Местная гипотеза Ленглендса» , Адамс, Джеффри; Херб, Ребекка ; Кудла, Стивен; Ли, Цзянь-Шу; Липсман, Рон; Розенберг, Джонатан (ред.), Теория представлений групп и алгебр , Contemp. Матем., вып. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 305–379, ISBN.  978-0-8218-5168-5 , МР   1216197
• Ведхорн, Торстен (2008), «Локальное соответствие Ленглендса для GL (n) над p-адическими полями» (PDF) , в Göttsche, Lothar; Хардер, Г.; Рагунатан, MS (ред.), Школа автоморфных форм на GL (n) , лектор ICTP. Примечания, т. 21, Абдус Салам, международный. Цент. Теория. Phys., Триест, стр. 237–320, arXiv : math/0011210 , Bibcode : 2000math.....11210W , ISBN  978-92-95003-37-8 , MR   2508771 , заархивировано из оригинала (PDF) 7 мая 2020 г.
• Вейль, Андре (1974), «Диадические упражнения», Mathematical Inventions , 27 (1–2): 1–22, Bibcode : 1974InMat..27....1W , doi : 10.1007/BF01389962 , ISSN   0020-9910 , MR   0379445 , S2CID   189830448

Внешние ссылки

• Харрис, Майкл (2000), Местная переписка Ленглендса (PDF) , Заметки (половины) курса в IHP
• Работа Роберта Ленглендса
• Автоморфные формы - Локальная гипотеза Ленглендса. Лекция Ричарда Тейлора.