Локальная константа Ленглендса – Делиня

В математике локальная константа Ленглендса-Делиня , также известная как локальный эпсилон-фактор. или локальное корневое число Артина (с точностью до элементарной вещественной функции от s ), — элементарная функция, связанная с представлением группы Вейля локального поля . Функциональное уравнение

L(ρ, s ) = ε(ρ, s )L(ρ ^∨ ,1− с )

имеет L-функции Артина элементарную функцию ε(ρ, s ), равную константе, называемой корневым числом Артина , умноженной на элементарную действительную функцию от s , и Ленглендс обнаружил, что ε(ρ, s ) можно записать каноническим образом как продукт

ε(ρ, s ) = Π ε(ρ _v , s , ψ _v )

локальных констант ε(ρ _v , s , ψ _v ), ассоциированных с простыми числами v .

Тейт доказал существование локальных констант в случае, когда ρ одномерен В диссертации Тейта . Дворк (1956) доказал существование локальной константы ε(ρ _v , s , ψ _v ) с точностью до знака. Первоначальное доказательство существования локальных констант Ленглендсом (1970) использовало локальные методы, было довольно длинным и сложным и никогда не публиковалось. Позже Делинь (1973) нашел более простое доказательство, используя глобальные методы.

Характеристики

Локальные константы ε(ρ, s , _ψE ) зависят от представления ρ группы Вейля и выбора характера ψE _{аддитивной} группы E. группы Они удовлетворяют следующим условиям:

• Если ρ одномерен, то ε(ρ, s , _ψE ) — константа, связанная с ней по тезису Тейта как константа в функциональном уравнении локальной L-функции.
• ε(ρ1 _⊕ρ2 , _ρ2 s , ψE ₎ = ε(ρ1 _, s , ψE ₎ ε( _, s , ψE ₎ . В результате ε(ρ, s , _ψE ) можно определить и для виртуальных представлений ρ.
• Если ρ — виртуальное представление размерности 0 и E содержит K, то ε(ρ, s , ψ _E ) = ε(Ind _{E / K} ρ, s , ψ _K )

Из теоремы Брауэра об индуцированных характерах следует, что эти три свойства характеризуют локальные константы.

Делинь (1976) показал, что локальные константы тривиальны для вещественных (ортогональных) представлений группы Вейля.

Соглашения об обозначениях

Существует несколько различных соглашений для обозначения локальных констант.

• Параметр s является избыточным и его можно объединить с представлением ρ, поскольку ε(ρ, s , ψE ₎ = ε(ρ⊗|| ^с , 0, ψ _E ) для подходящего характера ||.
• Делинь включает дополнительный параметр dx, состоящий из выбора меры Хаара в локальном поле. Другие соглашения опускают этот параметр, фиксируя выбор меры Хаара: либо мера Хаара, самодвойственная по отношению к ψ (используется Ленглендсом), либо мера Хаара, которая дает целые числа меры E 1. Эти различные соглашения отличаются элементарностью. члены, которые являются положительными действительными числами.

Ссылки

• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN.  978-3-540-31486-8 , МР   2234120
• Делинь, Пьер (1973), «Константы функциональных уравнений функций L», Модульные функции одной переменной, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972) , Конспекты лекций по математике, том. 349, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 501–597, doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_7 , ISBN  978-3-540-06558-6 , МР   0349635
• Делинь, Пьер (1976), «Локальные константы функционального уравнения функции L Артина ортогонального представления», Inventiones Mathematicae , 35 : 299–316, doi : 10.1007/BF01390143 , ISSN   0020-9910 , MR   0506172 , S2CID   119880957
• Дворк, Бернард (1956), «О корневом числе Артина», American Journal of Mathematics , 78 (2): 444–472, doi : 10.2307/2372524 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372524 , MR   0082476
• Ленглендс, Роберт (1970), О функциональном уравнении L-функций Артина , Неопубликованные заметки
• Тейт, Джон Т. (1977), «Локальные константы», Фрелих, А. (ред.), Поля алгебраических чисел: L-функции и свойства Галуа (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975) , Бостон , Массачусетс: Academic Press , стр. 89–131, ISBN.  978-0-12-268960-4 , МР   0457408
• Тейт, Дж. (1979), «Основы теории чисел» , Автоморфные формы, представления и L-функции. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 3–26, ISBN.  0-8218-1435-4

Внешние ссылки

• Перлис, Р. (2001) [1994], «Корневые числа Артина» , Энциклопедия математики , EMS Press