Теорема Брауэра об индуцированных характерах

Теорема Брауэра о индуцированных характерах , часто известная как теорема индукции Брауэра и названная в честь Рихарда Брауэра , является основным результатом в разделе математики, известном как теория характеров , в рамках теории представлений конечной группы . ^{[ нужна ссылка ]}

Фон

Предшественником теоремы индукции Брауэра была теорема индукции Артина , которая утверждает, что | г | раз тривиальный характер группы G представляет собой целочисленную комбинацию символов, каждый из которых индуцирован тривиальными характерами циклических подгрупп группы G. Теорема Брауэра удаляет множитель | Г |, но за счет расширения набора используемых подгрупп. Через несколько лет после появления доказательства теоремы Брауэра Дж. А. Грин показал (в 1955 г.), что никакая такая теорема индукции (с целочисленными комбинациями характеров, индуцированными из линейных характеров) не может быть доказана с набором подгрупп, меньшим, чем элементарные подгруппы Брауэра. ^{[ нужна ссылка ]}

Другой результат между теоремой индукции Артина и теоремой индукции Брауэра, также принадлежащий Брауэру и также известный как теорема Брауэра или лемма Брауэра, заключается в том, что регулярное представление G можно записать как $1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}$ где $\lambda _{i}$ являются положительными рациональными рациональными числами , а $\rho _{i}$ индуцируются характерами циклических подгрупп группы G . Обратите внимание, что в теореме Артина характеры индуцируются из тривиального характера циклической группы, а здесь они индуцируются из произвольных характеров (в приложениях к L -функциям Артина важно, чтобы группы были циклическими и, следовательно, все характеры были линейными, т.е. соответствующие функции L аналитичны). ^{[ 1 ]}

Заявление

Пусть G — конечная группа и пусть Char( G ) обозначает подкольцо кольца комплекснозначных функций класса группы G, состоящее из целочисленных комбинаций неприводимых характеров . Char( G ) известен как кольцо символов G , а его элементы известны как виртуальные символы (альтернативно, как обобщенные символы или иногда как разностные символы ). Это кольцо в силу того, что произведение характеров группы G снова является характером группы G. Его умножение задается поэлементным произведением функций классов. ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема индукции Брауэра показывает, что кольцо характеров может быть порождено (как абелева группа ) индуцированными характерами вида $\lambda _{H}^{G}$ , где H пробегает подгруппы G , а λ пробегает линейные характеры (имеющие степень 1) из H . ^{[ нужна ссылка ]}

Фактически Брауэр показал, что подгруппы H можно выбрать из очень ограниченный набор, который теперь называется элементарными подгруппами Брауэра . Это прямые произведения циклических групп и групп, порядок которых равен степени простого числа. ^{[ нужна ссылка ]}

Доказательства

Доказательство индукционной теоремы Брауэра использует кольцевую структуру Char( G ) (в большинстве доказательств также используется кольцо немного большего размера Char*(G), которое состоит из $\mathbb {Z} [\omega ]$ -комбинации неприводимых характеров, где ω — примитивный комплекс | G |-й корень из единицы). Множество целочисленных комбинаций характеров, индуцированных линейными характерами элементарных подгрупп Брауэра, является идеалом I ( G ) группы Char( G ), поэтому доказательство сводится к показу того, что тривиальный характер находится в I ( G ). Несколько доказательств теоремы, начиная с доказательства Брауэра и Джона Тейта , показывают, что тривиальный характер находится в аналогично определенном идеале I *( G ) группы Char*( G ) путем концентрации внимания на одном простом числе p за раз, и построение целочисленных элементов I *( G ), которые отличаются (поэлементно) от тривиального символа на (целое число, кратное) достаточно высокой степени p. Как только это будет достигнуто для каждого простого делителя | G |, некоторые манипуляции со сравнениями и целые алгебраические числа , снова используя тот факт, что I *( G ) является идеалом Ch*( G ), помещают тривиальный характер в I ( G ). Вспомогательным результатом здесь является то, что $\mathbb {Z} [\omega ]$ -значная функция класса лежит в идеале I *( G ), если все ее значения делятся (в $\mathbb {Z} [\omega ]$ ) автор | Г |. ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема индукции Брауэра была доказана в 1946 году, и сейчас существует множество альтернативных доказательств. В 1986 году Виктор Снайт дал доказательство с помощью радикально иного подхода, топологического по своей природе (применение теоремы Лефшеца о неподвижной точке ). Недавно была проведена соответствующая работа по вопросу поиска естественных и явных форм теоремы Брауэра, в частности Роберта Болтье .

Приложения

Используя взаимность Фробениуса , теорема индукции Брауэра легко приводит к его фундаментальной характеристике характеров , которая утверждает, что комплекснозначная функция класса группы G является виртуальным характером тогда и только тогда, когда ее ограничение на каждую элементарную подгруппу Брауэра группы G является виртуальным характером. Этот результат, а также тот факт, что виртуальный характер θ является неприводимым характером тогда и только тогда, когда θ(1) > 0 и $\langle \theta ,\theta \rangle =1$ (где $\langle ,\rangle$ — обычное скалярное произведение на кольце комплекснозначных функций класса ) дает средство построения неприводимых персонажей без явного построения связанных с ними представлений.

Первоначальной мотивацией для теоремы индукции Брауэра было применение к L-функциям Артина . Это показывает, что они построены из L-функций Дирихле или, более общих, L-функций Гекке . ли каждый символ G Для этого приложения очень важно узнать, является неотрицательной целочисленной комбинацией символов, полученной из линейных символов подгрупп. В общем, это не так. Фактически, по теореме Такеты, если все характеры группы G так выразимы, то G должна быть разрешимой группой (хотя сама по себе разрешимость не гарантирует таких выражений - например, разрешимая группа SL(2,3) имеет неприводимую группу комплексный характер степени 2, который не выражается целочисленной неотрицательной комбинацией характеров, индуцированной из линейных характеров подгрупп). Компонент доказательства индукционной теоремы Брауэра состоит в том, что когда G — конечная нильпотентная группа , каждый комплексный неприводимый характер группы G индуцируется из линейного характера некоторой подгруппы.

Ссылки

Айзекс, И.М. (1994) [1976]. Теория характеров конечных групп . Дувр. ISBN 0-486-68014-2 . Збл 0849.20004 . Исправленная перепечатка оригинала 1976 года, опубликованная Academic Press. Збл 0337.20005

Дальнейшее чтение

Снайт, вице-президент (1994). Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 40. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46015-8 , Збл 0991.20005 .

Примечания

^ Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел , приложение к главе XVI.

[1] Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел , приложение к главе XVI.

[ 1 ]