Гомологии Бореля – Мура

В топологии гомологии Бореля-Мура или гомологии с замкнутым носителем — это теория гомологии для локально компактных пространств , введенная Арманом Борелем и Джоном Муром в 1960 году.

Для разумных компактов гомологии Бореля–Мура совпадают с обычными сингулярными гомологиями . Для некомпактных пространств каждая теория имеет свои преимущества. В частности, замкнутое ориентированное подмногообразие определяет класс в гомологиях Бореля–Мура, но не в обычных гомологиях, если только подмногообразие не компактно.

Примечание. Борелевские эквивариантные когомологии — инвариант пространств с действием группы G ; это определяется как $H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).$ Это не имеет отношения к теме данной статьи.

Определение

Существует несколько способов определения гомологии Бореля-Мура. Все они совпадают для разумных пространств, таких как многообразия и локально конечные комплексы CW .

Определение через когомологии пучка

Для любого локально компактного пространства X гомологии Бореля–Мура с целыми коэффициентами определяются как когомологии двойственного цепного комплекса , который вычисляет пучковые когомологии с компактным носителем. В результате получается короткая точная последовательность, аналогичная теореме об универсальных коэффициентах :

$$0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.$$

Далее коэффициенты $\mathbb {Z}$ не написаны.

Определение через локально конечные цепи

Сингулярные гомологии топологического пространства X определяются как гомологии цепного комплекса сингулярных цепей, т. е. конечных линейных комбинаций непрерывных отображений симплекса в X . С другой стороны, гомологии Бореля–Мура разумного локально компактного пространства X изоморфны гомологиям цепного комплекса локально конечных сингулярных цепей. Здесь «разумный» означает, что X локально стягиваемо, σ-компактно и имеет конечную размерность.

Подробнее позвольте $C_{i}^{BM}(X)$ — абелева группа формальных (бесконечных) сумм

$$u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,$$

где σ пробегает множество всех непрерывных отображений стандартного i -симплекса ∆ ^я к X и каждое a _σ является целым числом, так что для каждого компактного подмножества K из X мы имеем $a_{\sigma }\neq 0$ только для конечного числа σ , образ которого соответствует K . Тогда обычное определение границы ∂ особой цепи превращает эти абелевы группы в цепной комплекс:

$$\cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.$$

Группы гомологий Бореля–Мура. $H_{i}^{BM}(X)$ являются группами гомологии этого цепного комплекса. То есть,

$$H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).$$

Если X компактно, то каждая локально конечная цепь фактически конечна. Итак, учитывая, что X «разумно» в указанном выше смысле, гомологии Бореля-Мура $H_{i}^{BM}(X)$ совпадает с обычными сингулярными гомологиями $H_{i}(X)$ для X компакта.

Определение через компактификации

Предположим, что X гомеоморфно дополнению замкнутого подкомплекса S в конечном комплексе CW Y . Тогда гомологии Бореля–Мура $H_{i}^{BM}(X)$ изоморфен относительным гомологиям H _i ( Y , S ). При том же предположении на гомеоморфна конечному комплексу CW X одноточечная компактификация X . В результате гомологии Бореля–Мура можно рассматривать как относительные гомологии одноточечной компактификации относительно добавленной точки.

Определение через двойственность Пуанкаре

Пусть X — любое локально компактное пространство с замкнутым вложением в ориентированное многообразие M размерности m . Затем

$$H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),$$

где в правой части имеются в виду относительные когомологии .

Определение через дуализирующий комплекс

любого локально компактного пространства X конечной размерности пусть D _X — дуализирующий комплекс X Для . Затем

$$H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),$$

где в правой части гиперкогомологии . имеются в виду

Характеристики

Гомологии Бореля-Мура — ковариантный функтор относительно собственных отображений . То есть правильное отображение f : X → Y индуцирует прямого действия. гомоморфизм $H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)$ для всех целых чисел i . В отличие от обычных гомологии, в гомологиях Бореля-Мура для произвольного непрерывного отображения f не существует никаких уточнений . В качестве контрпримера можно рассмотреть несобственное включение $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.$

Гомологии Бореля-Мура — контравариантный функтор относительно включений открытых подмножеств. То есть для U , открытого в X , существует естественный обратного образа или ограничения . гомоморфизм $H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).$

Для любого локально компактного пространства X и любого замкнутого подмножества F , при котором $U=X\setminus F$ комплемента существует длинная точная последовательность локализации : $$\cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots$$

Гомологии Бореля–Мура гомотопически инвариантны в том смысле, что для любого пространства X существует изоморфизм $H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).$ Сдвиг размерности означает, что гомологии Бореля–Мура не являются гомотопически инвариантными в наивном смысле. Например, гомологии Бореля–Мура евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ изоморфен $\mathbb {Z}$ в степени n и в противном случае равен нулю.

Двойственность Пуанкаре распространяется на некомпактные многообразия с использованием гомологий Бореля – Мура. А именно, для ориентированного n -многообразия X двойственность Пуанкаре представляет собой изоморфизм сингулярных когомологий в гомологии Бореля–Мура, $$H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)$$ для всех целых чисел i . Другой версией двойственности Пуанкаре для некомпактных многообразий является изоморфизм когомологий с компактным носителем в обычные гомологии: $$H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).$$

Ключевое преимущество гомологий Бореля-Мура состоит в том, что каждое ориентированное многообразие M размерности n (в частности, каждое гладкое комплексное алгебраическое многообразие ), не обязательно компактное, имеет фундаментальный класс $[M]\in H_{n}^{BM}(M).$ Если многообразие M имеет триангуляцию , то его фундаментальный класс представлен суммой всех симплексов верхней размерности. Фактически, в гомологиях Бореля–Мура можно определить фундаментальный класс для произвольных (возможно, сингулярных) комплексных многообразий. В этом случае дополнение множества гладких точек $M^{\text{reg}}\subset M$ имеет (действительную) коразмерность не менее 2, а также длинной точной последовательностью над верхнемерными гомологиями M и $M^{\text{reg}}$ канонически изоморфны. Тогда фундаментальный класс M определяется как фундаментальный класс $M^{\text{reg}}$.

Примеры

Компактные пространства

Учитывая компактное топологическое пространство $X$ его гомология Бореля-Мура согласуется со стандартной гомологией; то есть,

$$H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)$$

Реальная линия

Первое нетривиальное вычисление гомологии Бореля-Мура имеет действительный характер. Сначала заметим, что любой $0$-цепь когомологична $0$. Поскольку это сводится к случаю точки $p$, заметьте, что мы можем взять цепочку Бореля-Мура

$$\sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot [p+i,p+i+1]$$

поскольку граница этой цепочки $\partial \sigma =p$ а несуществующая точка на бесконечности — точка когомологична нулю. Теперь мы можем взять цепочку Бореля-Мура.

$$\sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }[k,k+1]$$

который не имеет границы и, следовательно, является классом гомологии. Это показывает, что

$$H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Настоящее n-пространство

Предыдущее вычисление можно обобщить на случай $\mathbb {R} ^{n}.$ Мы получаем

$$H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Бесконечный цилиндр

Используя разложение Куннета, мы видим, что бесконечный цилиндр $S^{1}\times \mathbb {R}$ имеет гомологию

$$H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Реальное n-пространство минус точка

Используя длинную точную последовательность в гомологиях Бореля-Мура, получаем (при $n>1$) ненулевые точные последовательности

$$0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0$$

и

$$0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0$$

Из первой последовательности мы получаем, что

$$H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})$$

и со второго мы получаем это

$$H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})$$ и

$$0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})$$

Мы можем интерпретировать эти ненулевые классы гомологии, используя следующие наблюдения:

1. Существует гомотопическая эквивалентность $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.$
2. Топологический изоморфизм $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.$

следовательно, мы можем использовать вычисления для бесконечного цилиндра для интерпретации $H_{n}^{BM}$ как класс гомологии, представленный $S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}$ и $H_{1}^{BM}$ как $\mathbb {R} _{>0}.$

Самолет с удаленными точками

Позволять $X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ иметь $k$- удалены отдельные точки. Обратите внимание, что предыдущее вычисление с учетом того факта, что гомологии Бореля-Мура являются инвариантом изоморфизма, дает это вычисление для случая $k=1$. В общем, мы найдем $1$-класс, соответствующий циклу вокруг точки, и фундаментальный класс $[X]$ в $H_{2}^{BM}$.

Двойной конус

Рассмотрим двойной конус $X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}$. Если мы возьмем $U=X\setminus \{0\}$ тогда длинная точная последовательность показывает

$${\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}$$

Кривая второго рода с удаленными тремя точками

Дана кривая второго рода ( риманова поверхность ) $X$ и три балла $F$, мы можем использовать длинную точную последовательность для вычисления гомологии Бореля-Мура $U=X\setminus F.$ Это дает

$${\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}$$

С $F$ у нас всего три очка

$$H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.$$

Это дает нам это $H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .$ Используя двойственность Пуанкаре, мы можем вычислить

$$H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,$$

с $U$ деформация сводится к одномерному CW-комплексу. Наконец, используя вычисление гомологии компактной кривой рода 2, мы получаем точную последовательность

$$0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0$$

показывая

$$H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}$$

поскольку мы имеем короткую точную последовательность свободных абелевых групп

$$0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0$$

из предыдущей последовательности.

Ссылки

Обзорные статьи

• Горески, Марк , Primer on Sheaves (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2017 г.

Книги

• Борель, Арман ; Мур, Джон К. (1960). «Теория гомологии локально компактных пространств» . Мичиганский математический журнал . 7 (2): 137–159. дои : 10.1307/mmj/1028998385 . ISSN   0026-2285 . МР   0131271 .
• Бредон, Глен Э. (1997). Теория снопа (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-94905-5 . МР   1481706 .
• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-62046-4 . МР   1644323 .
• Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-16389-1 . МР   0842190 .