Спектральная последовательность Гротендика

В математике , в области гомологической алгебры , спектральная последовательность Гротендика , введенная Александром Гротендиком в его в Тохоку статье , представляет собой спектральную последовательность , которая вычисляет производные функторы композиции двух функторов. $G\circ F$ , исходя из знания производных функторов $F$ и $G$ . Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются экземплярами спектральной последовательности Гротендика, например спектральная последовательность Лере .

Заявление

Если $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ и $G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ — это два аддитивных и точных слева функтора между абелевыми категориями, такие что оба ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ иметь достаточно инъективных и $F$ переводит инъективные объекты в $G$ — ациклические объекты , то для каждого объекта $A$ из ${\mathcal {A}}$ существует спектральная последовательность:

E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),

где ${\rm {R}}^{p}G$ обозначает p -й правый функтор функции $G$ и т. д., и где стрелка ' $\Longrightarrow$ ' означает сходимость спектральных последовательностей .

Точная последовательность из пяти членов

Точная последовательность низких градусов читается

0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Если ${\textstyle X}$ и ${\textstyle Y}$ являются топологическими пространствами , пусть ${\textstyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ и ${\textstyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$ – категория пучков абелевых групп на ${\textstyle X}$ и ${\textstyle Y}$ , соответственно.

Для непрерывной карты $f\colon X\to Y$ существует (точный слева) прямого изображения функтор $f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)$ . У нас также есть глобального сечения. функторы

\Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}

и

\Gamma _{Y}\colon \mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .

Тогда с тех пор $\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}$ и функторы $f_{*}$ и $\Gamma _{Y}$ удовлетворяют гипотезам (поскольку функтор прямого образа имеет точное левое сопряженное $f^{-1}$ , проталкивание инъективных инъектив инъективно и, в частности, ациклично для функтора глобального сечения), последовательность в этом случае принимает вид:

H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})

для снопа ${\mathcal {F}}$ абелевых групп на $X$ .

Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучок Ext: пусть F , G — пучки модулей над кольцевым пространством. $(X,{\mathcal {O}})$ ; например, схема. Затем

E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).

^[1]

Это пример спектральной последовательности Гротендика: действительно,

R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)

,

R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)

и

R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)

.

Более того, ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ посылает инъекцию ${\mathcal {O}}$ -модули к опоочным шкивам, ^[2] которые $\Gamma (X,-)$ -ациклический. Следовательно, гипотеза удовлетворена.

Вывод

Мы будем использовать следующую лемму:

Лемма . Если K — инъективный комплекс в абелевой категории C что ядра дифференциалов являются инъективными объектами, то для каждого n такой ,

H^{n}(K^{\bullet })

является инъективным объектом и для любого левого точного аддитивного функтора G на C ,

H^{n}(G(K^{\bullet }))=G(H^{n}(K^{\bullet })).

Доказательство: Пусть $Z^{n},B^{n+1}$ быть ядром и образом $d:K^{n}\to K^{n+1}$ . У нас есть

0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,

который распадается. Это подразумевает, что каждый $B^{n+1}$ является инъективным. Далее мы рассмотрим

0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.

Оно расщепляется, из чего следует первая часть леммы, а также точность

0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.

Аналогично мы имеем (используя ранее проведенное разбиение):

0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.

Далее следует вторая часть. $\square$

Теперь построим спектральную последовательность. Позволять $A^{0}\to A^{1}\to \cdots$ быть инъективной резольвентой A . Письмо $\phi ^{p}$ для $F(A^{p})\to F(A^{p+1})$ , у нас есть:

0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.

Принимайте инъективные резолюции $J^{0}\to J^{1}\to \cdots$ и $K^{0}\to K^{1}\to \cdots$ первого и третьего ненулевых членов. По лемме о подкове их прямая сумма $I^{p,\bullet }=J\oplus K$ является инъективным разрешением $F(A^{p})$ . Таким образом, мы нашли инъективное разрешение комплекса:

0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .

так, что каждая строка $I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots$ удовлетворяет условию леммы (ср. резолюцию Картана–Эйленберга ).

Теперь двойной комплекс $E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})$ порождает две спектральные последовательности, горизонтальную и вертикальную, которые мы сейчас и собираемся рассмотреть. С одной стороны, по определению,

{}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))

,

который всегда равен нулю, если только q = 0, поскольку $F(A^{p})$ является G -ациклическим по условию. Следовательно, ${}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)$ и ${}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }$ . С другой стороны, по определению и лемме

{}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).

С $H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots$ является инъективным разрешением $H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)$ (это разрешение, поскольку его когомологии тривиальны),