Лемма о подкове

В гомологической алгебре лемма о подкове , также называемая теоремой одновременного разрешения , представляет собой утверждение, связывающее разрешения двух объектов. $A'$ и $A''$ резолюциямрасширения $A'$ к $A''$. В нем говорится, что если объект $A$ является продолжением $A'$ к $A''$, то разрешение $A$ может быть построено индуктивно с n -м элементом разрешения, равным копроизведению -го элемента n в разрешениях $A'$ и $A''$. Название леммы происходит от формы диаграммы, иллюстрирующей гипотезу леммы.

Официальное заявление

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть абелевой категорией с достаточным количеством проективов . Если

это диаграмма в ${\mathcal {A}}$ такой, что столбец точный истроки представляют собой проективные разрешения $A'$ и $A''$ соответственно, тогдаего можно дополнить до коммутативной диаграммы

где все столбцы точны, средняя строка представляет собой проективную резольвенту.из $A$, и $P_{n}=P'_{n}\oplus P''_{n}$ для всех н . Если ${\mathcal {A}}$ этоабелевой категории с достаточным количеством инъективных , двойственное утверждение также верно.

Лемму можно доказать индуктивно. На каждом этапе индукции свойства проективных объектов используются для определения карт в проективном разрешении $A$. Затем лемма о змее используется , чтобы показать, что построенное на данный момент одновременное разрешение имеет точные строки.

См. также

• Девятая лемма

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956]. Гомологическая алгебра . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-04991-5 .
• Осборн, М. Скотт (2000). Основная гомологическая алгебра . Спрингер. ISBN  978-0-387-98934-1 .

Эта статья включает в себя материал из леммы о подкове на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .