Разрешение (алгебра)
В математике , а более конкретно в гомологической алгебре , резольвента (или левая резольвента ; двойственно корезольвента или правая резольвента). [1] ) — точная последовательность модулей ) , (или, шире, объектов абелевой категории которая используется для определения инвариантов , характеризующих структуру конкретного модуля или объекта этой категории. Когда, как обычно, стрелки ориентированы вправо, предполагается, что последовательность бесконечна влево для (левых) разрешений и вправо для правых разрешений. Однако конечное разрешение — это разрешение, при котором только конечное число объектов в последовательности ненулевые ; обычно он представляется конечной точной последовательностью, в которой самый левый объект (для резолюций) или самый правый объект (для совместных разрешений) является нулевым объектом . [2]
Обычно объекты в последовательности ограничены некоторым свойством P (например, свободой). Таким образом, говорят о P-резолюции . В частности, каждый модуль имеет свободные резолюции , проективные резолюции и плоские резолюции , которые являются левыми резолюциями, состоящими соответственно из свободных модулей , проективных модулей или плоских модулей . Аналогично каждый модуль имеет инъективные резольвенты , которые являются правыми резольвентами, состоящими из инъективных модулей .
Разрешения модулей [ править ]
Определения [ править ]
Для модуля M над кольцом R ( левая резольвента или просто резольвента ) модуля M представляет собой точную последовательность (возможно, бесконечную) R -модулей.
Гомоморфизмы d i называются граничными отображениями. Отображение ε называется картой дополнения . Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде
Двойственное понятие — это правильное разрешение (или совместное разрешение , или просто разрешение ). В частности, для модуля M над кольцом R правая резольвента — это, возможно, бесконечная точная последовательность R -модулей.
где каждый C я является R -модулем (обычно используются верхние индексы над объектами в разрешении и отображениями между ними, чтобы указать на двойственную природу такого разрешения). Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде
(Ко)разрешение называется конечным , если только конечное число задействованных модулей отличны от нуля. Длина обозначающий конечного разрешения — это максимальный индекс n, ненулевой модуль в конечном разрешении.
Свободные, проективные, инъективные и плоские разрешения [ править ]
Во многих случаях на модули Ei , разрешающие данный модуль M , накладываются условия . Например, свободная резольвента модуля М в которой все модули Ei — это левая резольвента , являются свободными R -модулями. Аналогично, проективная и плоская резольвенты — это левые резольвенты, такие, что все E i являются проективными и плоскими R -модулями соответственно. Инъективные резольвенты – это правые резольвенты, у которых C я все инъективные модули .
Каждый R -модуль обладает свободной левой резольвентой. [3] Тем более , каждый модуль также допускает проективную и плоскую резольвенты. Идея доказательства состоит в том, чтобы определить E 0 как свободный R -модуль, порожденный элементами M , а затем E 1 как свободный R -модуль, порожденный элементами ядра естественного отображения E 0 → M и т. д. Двойственным образом каждый R -модуль обладает инъективной резольвентой. Проективные разрешения (и, в более общем смысле, плоские разрешения) можно использовать для вычисления функторов Tor .
Проективная резольвента модуля M единственна с точностью до цепной гомотопии , т. е. для данных двух проективных резольвент P 0 → M и P 1 → M модуля M существует цепная гомотопия между ними.
Разрешения используются для определения гомологических размеров . Минимальная длина конечной проективной резольвенты модуля M называется его проективной размерностью и обозначается pd( M ). Например, модуль имеет нулевую проективную размерность тогда и только тогда, когда он является проективным модулем. Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то проективная размерность бесконечна. Например, для коммутативного локального кольца R проективная размерность конечна тогда и только тогда, когда и в R регулярно этом случае она совпадает с размерностью Крулла кольца R . Аналогично, инъективная размерность id( M ) и плоская размерность fd( M для модулей также определяются ).
Инъективная и проективная размерности используются в категории правых R -модулей для определения гомологической размерности R , называемой правой глобальной размерностью R . Аналогичным образом, плоское измерение используется для определения слабого глобального измерения . Поведение этих размеров отражает характеристики кольца. Например, кольцо имеет правую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является полупростым кольцом , а кольцо имеет слабую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является регулярным кольцом фон Неймана .
Градуированные модули и алгебры [ править ]
Пусть M — градуированный модуль над градуированной алгеброй , порожденный над полем своими элементами положительной степени. Тогда M имеет свободную резольвенту, в которой свободные модули E i могут быть градуированы таким образом, что d i и ε являются градуированными линейными отображениями . Среди этих градуированных свободных резолюций минимальными свободными резолюциями являются те, для которых количество базисных элементов каждого E i минимально. Число базисных элементов каждого E i и их степени одинаковы для всех минимальных свободных резолюций градуированного модуля.
Если I — однородный идеал в кольце многочленов над полем, регулярность Кастельнуово–Мамфорда проективного алгебраического множества , определенного I , — это минимальное целое число r такое, что степени базисных элементов E i в минимальном свободном разрешении Я все ниже Ри .
Примеры [ править ]
Классическим примером свободной резольвенты является комплекс Кошуля регулярной последовательности в локальном кольце или однородной регулярной последовательности в градуированной алгебре , конечно порожденной над полем.
Пусть X — асферическое пространство , т. е. его покрытие E стягиваемо универсальное . Тогда каждый сингулярный (или симплициальный ) цепной комплекс E является свободным разрешением модуля Z не только над кольцом Z , но и над групповым кольцом Z [ π 1 ( X )].
Разрешения в абелевых категориях [ править ]
Определение разрешений объекта M в абелевой категории A такое же, как и выше, но E i и C я являются объектами в A , и все задействованные карты морфизмами в A. являются
Аналогичным понятием проективных и инъективных модулей являются проективные и инъективные объекты и, соответственно, проективные и инъективные резольвенты. Однако такие резольвенты не обязательно должны существовать в общей абелевой A. категории Если каждый объект A имеет проективное (соответственно инъективное) разрешение, то A говорят, что имеет достаточно проективов (соответственно достаточно инъективных ). Даже если они существуют, с такими резолюциями зачастую трудно работать. Например, как указывалось выше, каждый R -модуль имеет инъективную резольвенту, но эта резольвента не является функториальной , т. е. при заданном гомоморфизме M → M' вместе с инъективными резольвентами.
вообще не существует функториального способа получить отображение между и .
Абелевы категории без проективных резольвент в целом [ править ]
Одним из классов примеров абелевых категорий без проективных резолюций являются категории когерентных пучков на схеме . Например, если — проективное пространство, любой связный пучок на имеет представление, заданное точной последовательностью
Первые два члена, вообще говоря, не являются проективными, поскольку для . Но оба термина локально свободны и локально плоские. Оба класса пучков могут использоваться для определенных вычислений, заменяя проективные резольвенты для вычисления некоторых производных функторов.
Ациклическое разрешение [ править ]
Во многих случаях на самом деле нас интересуют не объекты, появляющиеся в разрешении, а поведение разрешения по отношению к данному функтору . понятие ациклических резольвент Поэтому во многих ситуациях используется : если задан точный левый функтор F : A → B между двумя абелевыми категориями, резольвента
объекта M из A называется F -ациклическим, если производные функторы R i F ( En ) обращаются в нуль для всех i > 0 и n ≥ 0. Двойственно, левая резольвента ациклична относительно правого точного функтора, если его производные функторы исчезают на объектах разрешения.
Например, для данного R -модуля M тензорное произведение — точный справа функтор Mod ( R ) → Mod ( R ). Любая плоская резольвента ациклична относительно этого функтора. Плоская резольвента ациклична для тензорного произведения на каждое M . Точно так же резольвенты, которые являются ациклическими для всех функторов Hom ( ⋅ , M ), являются проективными резольвентами, а резольвенты, которые являются ациклическими для функторов Hom ( M , ⋅ ), являются инъективными резольвентами.
Любая инъективная (проективная) резольвента является F -ациклической для любого точного слева (соответственно точного справа) функтора.
Важность ациклических резольвент заключается в том, что производные функторы R i F (точного левого функтора, а также L i F точного правого функтора) могут быть получены из гомологии F -ациклических резольвент: задан ациклический разрешение объекта M мы имеем
где правая часть — i -й объект гомологии комплекса
Эта ситуация применима во многих ситуациях. Например, для постоянного пучка R на дифференцируемом многообразии M можно разрешить пучками гладких дифференциальных форм :
Снопы представляют собой тонкие пучки , которые, как известно, ацикличны относительно глобального сечения . функтора . Следовательно, пучковые когомологии , которые являются производными функторами функтора глобального сечения Γ, вычисляются как
Точно так же резольвенты Годемана ацикличны по отношению к функтору глобальных сечений.
См. также [ править ]
- Стандартное разрешение
- Теорема Гильберта – Берча
- Теорема о сизигиях Гильберта
- Бесплатная презентация
- Матричные факторизации (алгебра)
Примечания [ править ]
- ^ Jacobson 2009 , §6.5 использует совместное разрешение , хотя правильное разрешение встречается чаще, как в Weibel 1994 , Chap. 2
- ^ проективное разрешение в n Lab , разрешение в n Lab
- ^ Джейкобсон 2009 , §6.5
Ссылки [ править ]
- Иэн Т. Адамсон (1972), Элементарные кольца и модули , Университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002192-3
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , вып. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 3-540-94268-8 , МР 1322960 , Збл 0819.13001
- Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра II (второе изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
- Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
- Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .