Проективный объект

В теории категорий понятие проективного объекта обобщает понятие проективного модуля . Проективные объекты в абелевых категориях используются в гомологической алгебре . Двойственное объекта понятие проективного объекта — это понятие инъективного .

Определение

Объект ​ $P$ в категории ${\mathcal {C}}$ проективен , если для любого эпиморфизма $e:E\twoheadrightarrow X$ и морфизм $f:P\to X$, существует морфизм ${\overline {f}}:P\to E$ такой, что $e\circ {\overline {f}}=f$, т.е. следующая диаграмма коммутирует :

То есть каждый морфизм $P\to X$ факторы через каждый эпиморфизм $E\twoheadrightarrow X$.

Если C , локально мало т. е., в частности, $\operatorname {Hom} _{C}(P,X)$ является множеством для любого объекта X в C , это определение эквивалентно условию, что функтор hom (также известный как корпредставимый функтор )

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

сохраняет эпиморфизмы .

Проективные объекты в абелевых категориях

Если категория C является абелевой категорией, такой как, например, категория абелевых групп , то P проективна тогда и только тогда, когда

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

— точный функтор , где Ab — категория абелевых групп .

Абелева категория ${\mathcal {A}}$ Говорят, что проективов достаточно , если для каждого объекта $A$ из ${\mathcal {A}}$, существует проективный объект $P$ из ${\mathcal {A}}$ и эпиморфизм из P в A или, что то же самое, короткая точная последовательность

$0\to K\to P\longrightarrow A\longrightarrow 0.$

Цель этого определения — гарантировать, что любой объект A допускает проективную резольвенту , т. е. (длинную) точную последовательность.

$\dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0$

где объекты $P_{0},P_{1},\dots$ являются проективными.

по отношению к

Семадени (1963) обсуждает понятие проективных (и дуально инъективных) объектов относительно так называемой бикатегории, которая состоит из пары подкатегорий «инъекций» и «сюръекций» в данной C. категории Эти подкатегории подчиняются определенным формальным свойствам, включая требование, чтобы любая сюръекция была эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сюръекций) тогда является объектом P, так что Hom( P , −) превращает фиксированный класс сюръекций (в отличие от всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).

Свойства

• Копроизведение . двух проективных объектов проективно
• Ретракт . проективного объекта проективен

Примеры

Утверждение, что все множества проективны, эквивалентно аксиоме выбора .

Проективными объектами категории абелевых групп являются свободные абелевы группы .

Позволять $R$ быть кольцом с индивидуальностью. Рассмотрим (абелеву) категорию $R$- Мод слева $R$-модули. Проективные объекты в $R$— Mod — это в точности проективные левые R-модули . Следовательно, $R$ сам по себе является проективным объектом в $R$- Мод . Двойственно, инъективные объекты в $R$— Mod — это в точности инъективные левые R-модули .

Категория левая (правая) $R$-modules также имеет достаточно проективов. Это верно, поскольку для каждого левого (правого) $R$-модуль $M$, мы можем взять $F$ быть свободным (и, следовательно, проективным) $R$-модуль, создаваемый генераторной установкой $X$ для $M$ (например, мы можем взять $X$ быть $M$). Тогда каноническая проекция $\pi \colon F\to M$ – искомая сюръекция .

Проективными объектами в категории бикомпактов являются в точности экстремально несвязные пространства . Этот результат принадлежит Глисону (1958) с упрощенным доказательством, данным Рейнуотером (1959) .

В категории банаховых пространств и сжатий (т. е. функционалов, норма которых не превосходит 1) эпиморфизмами являются в точности отображения с плотным образом . Wiweger (1969) показывает, что нулевое пространство — единственный проективный объект в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, проективные относительно класса сюръективных сжатий. В категории нормированных векторных пространств со сжатием (и сюръективных отображений как «сюръекций») проективными объектами являются именно $l^{1}$-пространства.

$l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.$

Ссылки

• Аводи, Стив (2010), Теория категорий (2-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  9780199237180 , OCLC   740446073
• Глисон, Эндрю М. (1958), «Проективные топологические пространства», Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR   0121775
• Мак Лейн, Сондерс (1978), Категории для работающего математика (второе изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, стр. 114, ISBN  1441931236 , OCLC   851741862
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Том. 17. Академическая пресса. ISBN  978-0-124-99250-4 . МР   0202787 .
• Потовен, Кеннет (1969), «Проективные и инъективные объекты в категории банаховых пространств», Труды Американского математического общества , 22 (2): 437–438, doi : 10.2307/2037073 , JSTOR   2037073
• Рейнуотер, Джон (1959), «Заметки о проективных резолюциях», Труды Американского математического общества , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR   2033466
• Семадени, З. (1963), "Проективность, инъективность и двойственность" , Розправы Матем. , 35 , МР   0154832

Внешние ссылки

проективный объект в n лаборатории