Стандартный комплекс

В математике стандартный комплекс , также называемый стандартным разрешением , барной резолюцией , барным комплексом , барной конструкцией , — это способ построения резольвент в гомологической алгебре . Впервые для частного случая алгебр над коммутативным кольцом Сондерсом оно было введено Сэмюэлем Эйленбергом и Мак Лейном ( 1953 ) и Анри Картаном и Эйленбергом ( 1956 , IX.6) и с тех пор было обобщено многими способами.

Название «барный комплекс» происходит от того факта, что Эйленберг и Мак Лейн (1953) использовали вертикальную планку | как сокращенная форма тензорного произведения $\otimes$ в их обозначениях для комплекса.

Определение

Если A — ассоциативная алгебра над полем K , стандартный комплекс — это

\cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A\rightarrow 0\,,

с дифференциалом, определяемым

d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+1}\,.

Если A -алгебра с единицей — K , стандартный комплекс точен. Более того, $[\cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]$ является свободным A -бимодулем резольвенты A - A. бимодуля

Нормализованный стандартный комплекс

Нормализованный (или уменьшенный) стандартный комплекс заменяет $A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A$ с $A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A$ .