Слабое измерение

В абстрактной алгебре слабая размерность ненулевого — правого модуля M над кольцом R это наибольшее число n такое, что группа Tor $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)$ отличен от нуля для некоторого левого R -модуля N (или бесконечен, если такого наибольшего n не существует), а слабая размерность левого R -модуля определяется аналогично. Слабое измерение было введено Анри Картаном и Сэмюэлем Эйленбергом ( 1956 , стр. 122). Слабое измерение иногда называют плоским измерением , поскольку оно представляет собой наименьшую длину разрешения модуля плоскими модулями . Слабая размерность модуля не более чем равна его проективной размерности .

Слабая глобальная размерность кольца — это наибольшее число n такое, что $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)$ отличен от нуля для некоторого правого R -модуля M и левого R - N. модуля не существует Если такого наибольшего числа n , слабое глобальное измерение определяется как бесконечное. Оно не более чем равно левой или правой глобальной размерности кольца R .

Примеры

Модуль $\mathbb {Q}$ рациональных чисел над кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел имеет слабую размерность 0, но проективную размерность 1.
Модуль $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ по рингу $\mathbb {Z}$ имеет слабую размерность 1, но инъективную размерность 0.
Модуль $\mathbb {Z}$ по рингу $\mathbb {Z}$ имеет слабую размерность 0, но инъективную размерность 1.
Домен Прюфера имеет слабую глобальную размерность не более 1.
имеет Регулярное кольцо фон Неймана слабую глобальную размерность 0.
Произведение имеет слабую глобальную размерность 0 , бесконечного числа полей но его глобальная размерность не равна нулю.
Если кольцо нётерово справа , то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и является не более чем левым глобальным измерением. В частности, если кольцо нётерово справа и слева, то левое и правое глобальные измерения, а также слабое глобальное измерение одинаковы.
Треугольное матричное кольцо ${\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}$ имеет правое глобальное измерение 1, слабое глобальное измерение 1, но левое глобальное измерение 2. Оно нётерово справа, но не нётерово слева.