Тривиальная группа

В математике тривиальная группа или нулевая группа — это группа, состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальной группе. Единственный элемент тривиальной группы является единичным элементом , поэтому его обычно обозначают так: $0,1,$ или $e$ в зависимости от контекста. Если групповая операция обозначается $\,\cdot \,$ тогда оно определяется $e\cdot e=e.$

Аналогичным образом определяется тривиальный моноид также является группой, поскольку его единственный элемент является его собственным обратным и, следовательно, совпадает с тривиальной группой.

Тривиальная группа отличается от пустого множества , которое не имеет элементов и, следовательно, не имеет единичного элемента и поэтому не может быть группой.

Определения

Учитывая любую группу $G,$ группа, состоящая только из единичного элемента, подгруппой является $G,$ и, будучи тривиальной группой, называется тривиальная подгруппа $G.$

Термин, когда его называют « $G$ не имеет нетривиальных собственных подгрупп» относится к единственным подгруппам $G$ будучи тривиальной группой $\{e\}$ и группа $G$ сам.

Свойства

Тривиальная группа циклическая порядка $1$; как таковое его можно обозначить $\mathrm {Z} _{1}$ или $\mathrm {C} _{1}.$ Если групповая операция называется сложением, тривиальную группу обычно обозначают через $0.$ Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением тривиальной группы. Их объединение приводит к тривиальному кольцу , в котором операции сложения и умножения идентичны и $0=1.$

Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , то есть она является одновременно начальным и конечным объектом .

Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной , снабдив ее тривиальным нестрогим порядком. $\,\leq .$

См. также

• Нулевой объект (алгебра) - алгебраическая структура только с одним элементом.
• Список малых групп

Ссылки

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа» . Математический мир .