Янко группа J 1

Для получения общей информации и истории спорадических групп Янко см. Группа Янко .

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J ₁ представляет собой спорадическую простую порядка группу

   2 ³  · 3  · 5  · 7  · 11  · 19 = 175560

≈ 2 × 10 ⁵ .

История

J ₁ — одна из 26 спорадических групп , первоначально описанная Звонимиром Янко в 1965 году. Это единственная группа Янко, существование которой было доказано самим Янко, и первая спорадическая группа, обнаруженная после открытия групп Матье в 19 век. Его открытие положило начало современной теории спорадических групп .

В 1986 году Роберт А. Уилсон показал, что J ₁ не может быть подгруппой группы монстров . Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Свойства

Наименьшее точное комплексное представление J ₁ имеет размерность 56. J ₁ можно абстрактно охарактеризовать как единственную простую группу с абелевыми 2-силовскими подгруппами и с инволюцией, которой централизатор изоморфен прямому произведению группы второго порядка и знакопеременной группы A ₅ порядка 60, т. е. вращательная группа икосаэдра . Это была первоначальная концепция группы Янко.На самом деле Янко и Томпсон исследовали группы, подобные группам Ри. ² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} ), и показал, что если простая группа G имеет абелевы силовские 2-подгруппы и централизатор инволюции вида Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) для q - степень простого числа не ниже 3, то либо q является степенью из 3 и G имеет тот же порядок, что и группа Ри (позже было показано, что G в этом случае должна быть группой Ри), или q равно 4 или 5. Обратите внимание, что PSL ₂ ( 4 ) = PSL ₂ ( 5 ) = A ₅ . Этот последний исключительный случай привел к появлению группы Янко J ₁ .

J ₁ не имеет внешних автоморфизмов и его мультипликатор Шура тривиален.

J ₁ содержится в группе О'Нана как подгруппа элементов, фиксируемых внешним автоморфизмом порядка 2.

Конструкции

Представление по модулю 11

Янко нашел модульное представление в виде ортогональных матриц 7 × 7 в поле из одиннадцати элементов с генераторами, заданными формулой

${\mathbf {Y} }=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0\end{matrix}}\right)$

и

${\mathbf {Z} }=\left({\begin{matrix}-3&+2&-1&-1&-3&-1&-3\\-2&+1&+1&+3&+1&+3&+3\\-1&-1&-3&-1&-3&-3&+2\\-1&-3&-1&-3&-3&+2&-1\\-3&-1&-3&-3&+2&-1&-1\\+1&+3&+3&-2&+1&+1&+3\\+3&+3&-2&+1&+1&+3&+1\end{matrix}}\right).$

Y имеет порядок 7, а Z имеет порядок 5. Янко (1966) выразил благодарность В.А. Коппелу за то, что он распознал это представление как вложение в Диксона простую группу G ₂ (11) (которая имеет 7-мерное представление над полем с 11 элементами).

Представление перестановок

J ₁ — группа автоморфизмов графа Ливингстона , дистанционно-транзитивного графа с 266 вершинами и 1463 ребрами. Стабилизатор вершины — PSL ₂ (11), стабилизатор ребра — 2×A ₅ .

Это представление перестановок можно построить неявно, начав с подгруппы PSL ₂ (11) и присоединив к ней 11 инволюций t ⁰ ,..., т ^Х . PSL ₂ (11) переставляет эти инволюции согласно исключительному 11-точечному представлению, поэтому их можно отождествить с точками в биплоскости Пэли . Следующие соотношения (в совокупности) достаточны для определения J ₁ :

• Учитывая точки i и j , есть 2 строки, содержащие и i , и j , и 3 точки не лежат ни на одной из этих линий: произведение t ^я т ^дж т ^я т ^дж т ^я — это единственная инволюция в PSL ₂ (11), которая фиксирует эти три точки.
• Учитывая точки i , j и k , которые не лежат на одной прямой, произведение t ^я т ^дж т ^к т ^я т ^дж — это уникальный элемент порядка 6 в PSL ₂ (11), который отправляет i в j , j в k , k обратно в i , поэтому (t ^я т ^дж т ^к т ^я т ^дж ) ³ — это уникальная инволюция, которая фиксирует эти 3 точки.

Презентация

Существует также пара образующих a, b такая, что

а ² =б ³ =(аб) ⁷ =(абаб ⁻¹ ) ¹⁰ =1

Таким образом, J ₁ является группой Гурвица , конечным гомоморфным образом группы треугольников (2,3,7) .

Максимальные подгруппы

Янко (1966) нашел 7 классов сопряженности максимальных подгрупп J ₁ , показанных в таблице. Максимальные простые подгруппы порядка 660 дают J ₁ перестановочное представление степени 266. Он обнаружил, что существует два класса сопряженности подгрупп, изоморфных знакопеременной группе A ₅ , оба из которых находятся в простых подгруппах порядка 660. J ₁ имеет неабелеву группу. простые собственные подгруппы всего двух типов изоморфизма.

Структура	Заказ	Индекс	Описание
ПСЛ 2 (11)	660	266	Исправляет точку в наименьшем представлении перестановки.
2 3 .7.3	168	1045	Нормализатор силовской 2-подгруппы
2×A 5	120	1463	Центратор инволюции
19.6	114	1540	Нормализатор силовской 19-подгруппы
11.10	110	1596	Нормализатор силовской 11-подгруппы
D 6 ×D 10	60	2926	Нормализатор силовской 3-подгруппы и силовской 5-подгруппы
7.6	42	4180	Нормализатор силовской 7-подгруппы

Обозначение А. ​ B означает группу с нормальной подгруппой A с фактором B и D _{2 n} — группа диэдра порядка 2 n .

Количество элементов каждого заказа

Наибольший порядок любого элемента группы равен 19. Порядки и размеры классов сопряженности можно найти в ATLAS.

Заказ	Количество элементов	Сопряжение
1 = 1	1 = 1	1 класс
2 = 2	1463 = 7 · 11 · 19	1 класс
3 = 3	5852 = 2 2 · 7 · 11 · 19	1 класс
5 = 5	11704 = 2 3 · 7 · 11 · 19	2 класса, эквивалент мощности
6 = 2 · 3	29260 = 2 2 · 5 · 7 · 11 · 19	1 класс
7 = 7	25080 = 2 3 · 3 · 5 · 11 · 19	1 класс
10 = 2 · 5	35112 = 2 3 · 3 · 7 · 11 · 19	2 класса, эквивалент мощности
11 = 11	15960 = 2 3 · 3 · 5 · 7 · 19	1 класс
15 = 3 · 5	23408 = 2 4 · 7 · 11 · 19	2 класса, эквивалент мощности
19 = 19	27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11	3 класса, эквивалент мощности

Ссылки

• Шевалле, Клод (1995) [1967], «Группа Янко», Семинар Бурбаки, Том. 10 , Париж: Математическое общество Франции , стр. 293–307, МР   1610425
• Роберт А. Уилсон (1986). Является ли J ₁ подгруппой монстра? , Бык. Лондонская математика. Соц. 18, нет. 4 (1986), 349-350
• Р. Т. Кертис, (1993) Симметричные представления II: группа Янко J1 , J. London Math. Соц., 47 (2), 294-308.
• RT Curtis, (1996) Симметричное представление элементов группы Янко J1 , J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
• Кристоф, Янсен (2005). «Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 : 123. дои : 10.1112/S1461157000000930 .
• Звонимир Янко, Новая конечная простая группа с абелевыми силовскими подгруппами , Тр. Натл. акад. наук. США 53 (1965) 657-658.
• Звонимир Янко, Новая конечная простая группа с абелевыми силовскими подгруппами и ее характеризация , Журнал Алгебры 3: 147-186, (1966) два : 10.1016/0021-8693(66)90010-X
• Звонимир Янко и Джон Г. Томпсон, Об одном классе конечных простых групп Ри , Journal of Algebra, 4 (1966), 274–292.

Внешние ссылки

• MathWorld: Группы Янко
• Атлас представлений конечных групп: J ₁ версия 2
• Атлас представлений конечных групп: J ₁ версия 3