Домен экзаменатора

В математике область Прюфера — это тип коммутативного кольца , которое обобщает области Дедекинда в ненетеровом контексте . Эти кольца обладают прекрасными идеальными и теоретико- модульными свойствами дедекиндовых областей, но обычно только для конечно порожденных модулей . Домены Прюфера названы в честь немецкого математика Хайнца Прюфера .

Примеры

Кольцо целых функций на открытой комплексной плоскости $C$ образуют домен Прюфера. Кольцо целозначных многочленов с рациональными коэффициентами является областью Прюфера, хотя кольцо $\mathbb {Z} [X]$ целочисленных полиномов нет ( Наркевич 1995 , стр. 56). Хотя каждое числовое кольцо является дедекиндовой областью , их объединение, кольцо алгебраических целых чисел , является областью Прюфера. Точно так же, как область Дедекинда является локально кольцом дискретного нормирования , область Прюфера является локально кольцом нормирования , так что области Прюфера действуют как ненетеровы аналоги областей Дедекинда. Действительно, домен , который является прямым пределом подколец , являющихся доменами Прюфера, является доменом Прюфера ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 93–94).

Многие области Прюфера также являются областями Безу , то есть не только конечно порожденные идеалы проективны , но даже свободны (то есть являются главными ). Например, кольцо аналитических функций на любой некомпактной римановой поверхности является областью Безу ( Хельмер, 1940 ), а кольцо целых алгебраических чисел — областью Безу.

Определения

— Область Прюфера это полунаследственная область целостности . Эквивалентно, область Прюфера можно определить как коммутативное кольцо без делителей нуля , в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеал обратим. Известно множество различных характеристик доменов Прюфера. Бурбаки перечисляет четырнадцать из них, ( Gilmer 1972 ) — около сорока, а ( Fontana, Huckaba & Papick 1997 , стр. 2) — девять.

Например, следующие условия для области целостности R эквивалентны тому, что R является областью Прюфера, т. е. каждый конечно порожденный идеал R является проективным :

Идеальная арифметика

• Каждый ненулевой конечно порожденный идеал кольца R обратим : I т.е. $\ I\cdot I^{-1}=R$, где $I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}$ и $q(R)$ – дробей R . поле Эквивалентно, каждый ненулевой идеал, порожденный двумя элементами, обратим.
• Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J , K из R имеет место следующее свойство дистрибутивности:

$I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).$

• Для любых (конечно порожденных) идеалов I , J , K из R справедливо следующее свойство дистрибутивности:

$I(J\cap K)=IJ\cap IK.$

• Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J из R справедливо следующее свойство:

$(I+J)(I\cap J)=IJ.$

• Для любых конечно порожденных идеалов I , J , K из R , если IJ = IK, то J = K или I = 0.

Локализации

• Для простого P кольца R локализация является R _P в P каждого областью нормирования . идеала
• Для каждого максимального идеала m в R локализация R _m R m в является областью нормирования.
• R целозамкнуто R каждое надкольцо R , и (то есть кольцо, содержащееся между и его полем частных) является пересечением локализаций R.

Плоскостность

• Любой без кручения R - модуль является плоским .
• Любой -модуль без кручения R является плоским.
• Каждый идеал R плоский
• Каждое перекольцо R является R -плоским.
• Каждый подмодуль плоского R -модуля плоский.
• Если M и N -модули без кручения — R их тензорное произведение M ⊗ _RN   , то не имеет кручения.
• Если I и J — два идеала кольца R , то I ⊗ _R   J не имеет кручения.
• Подмодуль кручения каждого конечно порожденного модуля является прямым слагаемым ( Капланский, 1960 ).

Интегральное закрытие

• Каждое перезвон $R$ закрыт полностью
• $R$ целозамкнута и существует некоторое целое положительное число $n$ такой, что для каждого $a$, $b$ в $R$ у одного есть $(a,b)^{n}=(a^{n},b^{n})$.
• $R$ целозамкнуто и каждый элемент факторполя $K$ из $R$ является корнем многочлена от $R[x]$ чьи коэффициенты порождают $R$ как $R$-модуль ( Гилмер и Хоффманн 1975 , стр. 81).

Характеристики

• Коммутативное кольцо является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда оно является прюферовой областью и нетерово .
• Хотя области Прюфера не обязательно должны быть нетеровыми, они должны быть когерентными , поскольку конечно порожденные проективные модули конечно связаны .
• Хотя идеалы областей Дедекинда могут быть порождены двумя элементами, для каждого положительного целого числа n существуют области Прюфера с конечно порожденными идеалами, которые не могут быть порождены менее чем n элементами ( Swan 1984 ). Однако конечно порожденные максимальные идеалы областей Прюфера являются двупорожденными ( Фонтана, Хукаба и Папик 1997 , стр. 31).
• Если R — прюферова область и K — ее поле частных , то любое кольцо S такое, что R ⊆ S ⊆ K, является прюферовой областью.
• Если R — область Прюфера, K — ее поле частных , а L — поле алгебраического расширения K ) , то интегральное замыкание R . в L является областью Прюфера ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 93
• Конечно порожденный модуль M над областью Прюфера проективен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. Фактически это свойство характеризует домены Прюфера.
• (Теорема Гилмера–Хоффмана) Предположим, что $R$ является целостной областью, $K$ его поле дробей, и $S$ является интегральным замыканием $R$ в $K$. Затем $S$ является областью Прюфера тогда и только тогда, когда каждый элемент $K$ является корнем многочлена от $R[X]$ хотя бы один из коэффициентов которого единицей является $R$ ( Гилмер и Хоффманн, 1975 , Теорема 2).
• Коммутативная область является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он ограничен ( M ограничено, означает rM = 0 для некоторого r в R ), ( Чейз 1960 ). Аналогично, коммутативная область является областью Прюфера тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он конечно порожден ( Капланский 1960 ).

Обобщения

В более общем смысле, кольцо Прюфера — это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеал, содержащий ненулевой делитель, обратим (то есть проективен).

Коммутативное кольцо называется арифметическим , если для каждого максимального идеала m в R локализация Rm _кольца R m в точке является цепным кольцом . Согласно этому определению, домен Прюфера является арифметической областью. Фактически арифметическая область — это то же самое, что и область Прюфера.

Некоммутативные правые или левые полунаследственные области также можно рассматривать как обобщения областей Прюфера.

См. также

• Разделенный домен

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1998) [1989], Коммутативная алгебра. Главы 1–7 , Элементы математики (Берлин), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-64239-0
• Чейз, Стивен У. (1960), «Прямое произведение модулей», Transactions of the American Mathematical Society , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993382 , MR   0120260
• Фонтана, Марко; Хакаба, Джеймс А.; Папик, Ира Дж. (1997), Домены Прюфера , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, том. 203, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  978-0-8247-9816-1 , МР   1413297
• Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1963-0 , МР   1794715
• Гилмер, Роберт (1972), Мультипликативная теория идеалов , Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR   0427289
• Гилмер, Роберт; Хоффманн, Джозеф Ф. (1975), «Характеристика областей Прюфера с точки зрения полиномов» , Pacific J. Math. , 60 (1): 81–85, doi : 10.2140/pjm.1975.60.81 , ISSN   0030-8730 , MR   0412175 .
• Хельмер, Олаф (1940), «Свойства делимости целых функций» , Duke Mathematical Journal , 6 (2): 345–356, doi : 10.1215/S0012-7094-40-00626-3 , ISSN   0012-7094 , MR   0001851
• Каплански, Ирвинг (1960), «Характеристика колец Прюфера», J. Indian Math. Соц. , Новая серия, 24 : 279–281, МР   0125137
• Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98428-3
• Наркевич, Владислав (1995), Полиномиальные отображения , Конспекты лекций по математике, вып. 1600, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-59435-2 , Збл   0829.11002
• Свон, Ричард Г. (1984), «n-генераторные идеалы в областях Прюфера» , Pacific Journal of Mathematics , 111 (2): 433–446, doi : 10.2140/pjm.1984.111.433 , ISSN   0030-8730 , MR   0734865