перезвон

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать об ударении, см. Кольцо (диакритический знак) .

В математике перекрытие области целостности содержит область целостности, а поле дробей области целостности содержит перекрытие. Overrings обеспечивают лучшее понимание различных типов колец и доменов .

Определение

В этой статье все кольца являются коммутативными кольцами , а кольцо и надкольцо имеют один и тот же единичный элемент .

Позволять ${\textstyle Q(A)}$ представляют собой поле дробей области целостности ${\textstyle A}$. Кольцо ${\textstyle B}$ является перекрытием области целостности ${\textstyle A}$ если ${\textstyle A}$ является подкольцом ​ ${\textstyle B}$ и ${\textstyle B}$ является подкольцом поля дробей ${\textstyle Q(A)}$; отношения ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$.

Свойства

Кольцо дробей

Кольца ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ являются кольцами дробей колец ${\textstyle R,S,T}$ по мультипликативному множеству ${\textstyle A}$. Предполагать ${\textstyle T}$ является перекрытием ${\textstyle R}$ и ${\textstyle A}$ является мультипликативным множеством в ${\textstyle R}$. Кольцо ${\textstyle T_{A}}$ является перекрытием ${\textstyle R_{A}}$. Кольцо ${\textstyle T_{A}}$ полное кольцо дробей ${\textstyle R_{A}}$ если каждый неединичный элемент ${\textstyle T_{A}}$ является делителем нуля. Каждое перезвон ${\textstyle R_{A}}$ содержится в ${\textstyle T_{A}}$ это кольцо ${\textstyle S_{A}}$, и ${\textstyle S}$ является перекрытием ${\textstyle R}$. Кольцо ${\textstyle R_{A}}$ является интегрально замкнутым в ${\textstyle T_{A}}$ если ${\textstyle R}$ является интегрально замкнутым в ${\textstyle T}$.

Нётеровский домен

Определения

См. Также: Обычный элемент (значения)

Нётерово кольцо удовлетворяет трем эквивалентным конечности условиям : i) каждая возрастающая цепочка идеалов конечный конечна, ii) каждое непустое семейство идеалов имеет максимальный элемент и iii) каждый идеал имеет базис .

Область целостности называется дедекиндовой областью, если каждый идеал области является конечным произведением простых идеалов .

кольца Ограниченная размерность — это максимальный ранг среди рангов всех простых идеалов, содержащих регулярный элемент.

Кольцо ${\textstyle R}$ нильпотентносвободен локально , если каждое кольцо ${\textstyle R_{M}}$ с максимальным идеалом ${\textstyle M}$ не содержит нильпотентных элементов или является кольцом, в котором каждая неединица является делителем нуля .

Аффинное кольцо — это гомоморфный образ кольца многочленов над полем .

Свойства

Каждое перекольцо дедекиндова кольца является дедекиндовым кольцом.

Любое переопределение прямой суммы колец, все неединичные элементы которого являются делителями нуля, является нетеровым кольцом.

Каждое надкольцо Крулла является нётеровым кольцом. одномерной нетеровой области

Эти утверждения эквивалентны для нётерова кольца. ${\textstyle R}$ со встроенным замком ${\textstyle {\bar {R}}}$.

• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ является нётеровым кольцом.
• Для каждого максимального идеала ${\textstyle M}$ из ${\textstyle R}$, каждое перезвон ${\textstyle R_{M}}$ является нётеровым кольцом.
• Кольцо ${\textstyle R}$ локально нильпотентносвободен с ограниченной размерностью 1 или меньше.
• Кольцо ${\textstyle {\bar {R}}}$ нётерово, и кольцо ${\textstyle R}$ имеет ограниченный размер 1 или меньше.
• Каждое перезвон ${\textstyle {\bar {R}}}$ является цельно закрытым.

Эти утверждения эквивалентны для аффинного кольца. ${\textstyle R}$ со встроенным замком ${\textstyle {\bar {R}}}$.

• Кольцо ${\textstyle R}$ локально нильпотентносвободен.
• Кольцо ${\textstyle {\bar {R}}}$ является конечным ${\textstyle \operatorname {R-} }$модуль .
• Кольцо ${\textstyle {\bar {R}}}$ является нетеровским.

Целозамкнутое локальное кольцо ${\textstyle R}$ представляет собой область целостности или кольцо, все неединичные элементы которого являются делителями нуля.

Нётерова область целостности называется дедекиндовым кольцом, если каждое надкольцо нётерово кольца целозамкнуто.

Каждое надкольцо нётеровой области целостности является кольцом частных, если нётерова область целостности является дедекиндовым кольцом с периодической группой классов.

Когерентные кольца

Определения

— Когерентное кольцо это коммутативное кольцо, в котором каждый конечно порожденный идеал конечно представлен . Нётеровы домены и домены Прюфера когерентны.

Пара ​ ${\textstyle (R,T)}$ целостное доменное расширение указывает на ${\textstyle T}$ над ${\textstyle R}$.

Кольцо ${\textstyle S}$ является промежуточным доменом для пары ${\textstyle (R,T)}$ если ${\textstyle R}$ является субдоменом ${\textstyle S}$ и ${\textstyle S}$ является субдоменом ${\textstyle T}$.

Свойства

Размерность Крулла нётерового кольца равна 1 или меньше, если каждое перекрытие когерентно.

Для целой пары доменов ${\textstyle (R,T)}$, ${\textstyle T}$ является перекрытием ${\textstyle R}$ если каждая промежуточная область целостности целозамкнута в ${\textstyle T}$.

Интегральное замыкание ${\textstyle R}$ является областью Прюфера, если каждое собственное перекольцо ${\textstyle R}$ является последовательным.

Надкольца областей Прюфера и одномерных нётеровых областей Крулля когерентны.

Домены экзаменатора

Свойства

Кольцо обладает свойством QR , если каждое надкольцо является локализацией с мультипликативным множеством. Домены QR являются доменами Prüfer. Домен Прюфера с торсионной группой Пикара представляет собой QR-домен. Область Прюфера является областью QR, если радикал каждого конечно порожденного идеала равен радикалу, порожденному главным идеалом .

Заявление ${\textstyle R}$ является доменом Prüfer, эквивалентно:

• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ является пересечением локализаций ${\textstyle R}$, и ${\textstyle R}$ является цельно закрытым.
• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ есть пересечение колец дробей ${\textstyle R}$, и ${\textstyle R}$ является цельно закрытым.
• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ имеет простые идеалы, которые являются расширениями простых идеалов ${\textstyle R}$, и ${\textstyle R}$ является цельно закрытым.
• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ имеет не более 1 простого идеала, лежащего над любым простым идеалом ${\textstyle R}$, и ${\textstyle R}$ полностью закрыт
• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ является цельно закрытым.
• Каждое перезвон ${\textstyle R}$ является последовательным.

Заявление ${\textstyle R}$ является доменом Prüfer, эквивалентно:

• Каждое перезвон $S$ из ${\textstyle R}$ плоский , как $\operatorname {S-}$модуль.
• Каждое оценки превышение ${\textstyle R}$ представляет собой кольцо дробей.

Минимальное превышение

Определения

Минимальный кольцевой гомоморфизм ${\textstyle f}$ является инъективным несюръективным гомоморфизмом , и если гомоморфизм ${\textstyle f}$ является композицией гомоморфизмов ${\textstyle g}$ и ${\textstyle h}$ затем ${\textstyle g}$ или ${\textstyle h}$ является изоморфизмом.

Правильное минимальное расширение кольца ${\textstyle T}$ подкольца ${\textstyle R}$ если кольцевое включение происходит , ${\textstyle R}$ в ${\textstyle T}$ является минимальным кольцевым гомоморфизмом. Это подразумевает наличие кольцевой пары ${\textstyle (R,T)}$ не имеет собственного промежуточного кольца.

Минимальный перезвон ${\textstyle T}$ кольца ${\textstyle R}$ происходит, если ${\textstyle T}$ содержит ${\textstyle R}$ как подкольцо и пара колец ${\textstyle (R,T)}$ не имеет собственного промежуточного кольца.

Идеальное преобразование Капланского ( преобразование Хейса , S-преобразование ) идеала ${\textstyle I}$ относительно области целостности ${\textstyle R}$ является подмножеством поля дроби ${\textstyle Q(R)}$. Это подмножество содержит элементы ${\textstyle x}$ такой, что для каждого элемента ${\textstyle y}$ идеального ${\textstyle I}$ есть целое положительное число ${\textstyle n}$ с продуктом ${\textstyle x\cdot y^{n}}$ содержится в области целостности ${\textstyle R}$.

Свойства

Любой домен, созданный из минимального кольцевого расширения домена. ${\textstyle R}$ является перекрытием ${\textstyle R}$ если ${\textstyle R}$ это не поле.

Поле дробей ${\textstyle R}$ содержит минимальный перезвон ${\textstyle T}$ из ${\textstyle R}$ когда ${\textstyle R}$ это не поле.

Предположим целозамкнутую область целостности. ${\textstyle R}$ не является полем. Если минимальное перекольцо области целостности ${\textstyle R}$ существует, то это минимальное перекольцо возникает как преобразование Капланского максимального идеала ${\textstyle R}$.

Примеры

Область целостности Безу представляет собой разновидность области Прюфера; Определяющим свойством области Безу является то, что каждый конечно порожденный идеал является главным идеалом. Домен Bézout будет использовать все свойства переадресации домена Prüfer.

Целочисленное кольцо является кольцом Прюфера, а все надкольца являются кольцами частных. Двоично -рациональная дробь — это дробь с целым числителем и степенью 2 знаменателя.Диадическое рациональное кольцо — это локализация целых чисел по степеням двойки и надкольцо целочисленного кольца.

См. также

• Категориальное кольцо
• Категория колец — математическая категория, объектами которой являются кольца.
• Когерентное кольцо - Алгебраическая структура
• Домен Дедекинда - Кольцо с уникальной факторизацией идеалов (математика)
• Глоссарий теории колец
• Интегральный элемент
• Размерность Крулля - в математике размерность кольца.
• Локальное кольцо - (математическое) кольцо с единственным максимальным идеалом.
• Локализация (коммутативная алгебра)
• Нильпотент - элемент в кольце, некоторая степень которого равна 0.
• Группа Пикара - математическая группа, встречающаяся в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий.
• Главный идеал - идеал кольца, порожденный одним элементом кольца.
• Домен Prüfer – полунаследственный целостный домен. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Нётерово кольцо - математическое кольцо с хорошими идеалами.
• Регулярный элемент (в теории колец):
  • Регулярное кольцо фон Неймана - Кольца, допускающие слабые обратные
  • Делитель нуля — кольцевой элемент, который можно умножить на ненулевой элемент, чтобы получить значение 0.
• Подкольцо - подмножество кольца, которое само образует кольцо.
• Общее кольцо дробей
• Кольцо оценок - Понятие в алгебре

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN  9780201407518 .
• Баццони, Сильвана; Глаз, Сара (2006). «Кольца Прюфера». На кольцах Брюэра Джеймс В.; Глаз, Сара; Хейнцер, Уильям Дж.; Ольбердинг, Брюс М. (ред.). Мультипликативная теория идеалов в коммутативной алгебре: дань уважения работам Роберта Гилмера . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 54–72. дои : 10.1007/978-0-387-36717-0 . ISBN  978-0-387-24600-0 .
• Коэн, Ирвинг С. (1950). «Коммутативные кольца с ограниченным условием минимума» . Математический журнал Дьюка . 17 (1): 27–42. дои : 10.1215/S0012-7094-50-01704-2 .
• Дэвис, Эдвард Д. (1962). «Перекрытия коммутативных колец. I. Нётеровы кольца» (PDF) . Труды Американского математического общества . 104 (1): 52–61.
• Дэвис, Эдвард Д. (1964). «Перекрытия коммутативных колец. II. Целозамкнутые перекольца» (PDF) . Труды Американского математического общества . 110 (2): 196–212. дои : 10.1090/S0002-9947-1964-0156868-2 .
• Дэвис, Эдвард Д. (1973). «Перекрытия коммутативных колец. III. Нормальные пары» (PDF) . Труды Американского математического общества : 175–185.
• Доббс, Дэвид Э.; Шапиро, Джей (2006). «Классификация минимальных кольцевых расширений области целостности» . Журнал алгебры . 305 (1): 185–193. дои : 10.1016/j.jalgebra.2005.10.005 .
• Доббс, Дэвид Э.; Шапиро, Джей (2007). «Спуск минимальных надколец целозамкнутых областей к неподвижным кольцам» . Хьюстонский математический журнал . 33 (1).
• Ферран, Дэниел; Оливье, Жан-Пьер (1970). «Минимальные гомоморфизмы колец» (PDF) . Журнал алгебры . 16 (3): 461–471. дои : 10.1016/0021-8693(70)90020-7 .
• Фонтана, Марко; Папик, Ира Дж. (2002), «Домены Дедекинда и Прюфера», Михалев, Александр В.; Пильц, Гюнтер Ф. (ред.), Краткий справочник по алгебре , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, стр. 165–168, ISBN  9780792370727
• Фукс, Ласло; Хейнцер, Уильям; Ольбердинг, Брюс (2004), «Максимальные простые делители в арифметических кольцах», Кольца, модули, алгебры и абелевы группы , Конспекты лекций в Pure и Appl. Матем., вып. 236, Деккер, Нью-Йорк, стр. 189–203, MR   2050712.
• Лейн, Сондерс Мак; Шиллинг, ОФГ (1939). «Бесконечные числовые поля с идеальными теориями Нётер» . Американский журнал математики . 61 (3): 771–782. дои : 10.2307/2371335 . JSTOR   2371335 .
• Папик, Ира Дж. (1978). «Замечание о когерентных перезвонах» . Канадский математический бюллетень . 21 (3): 373–375. дои : 10.4153/CMB-1978-067-4 .
• Папик, Ира Дж. (1979). «Последовательные перезвоны» . Канадский математический бюллетень . 22 (3): 331–337. дои : 10.4153/CMB-1979-041-3 .
• Папик, Ира Дж. (1980). «Заметки о правильных переворотах» . Риккё Дайгаку Сугаку Засши . 28 137–140 ) : ( 2 .
• Пендлтон, Роберт Л. (1966). «Характеристика Q-доменов» . Бюллетень Американского математического общества . 72 (4): 499–500. дои : 10.1090/S0002-9904-1966-11514-8 .
• Сато, Джунро; Сугатани, Такаси; Ёсида, Кен-ичи (январь 1992 г.). «О минимальных перекрытиях нетеровой области» . Связь в алгебре . 20 (6): 1735–1746. дои : 10.1080/00927879208824427 .
• Зариский, Оскар; Самуэль, Пьер (1965). Коммутативная алгебра . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90089-6 .