Безкрутильный модуль

Не путать с модулем без скручивания .

В абстрактной алгебре модуль если M над кольцом R называется без кручения, его можно вложить в некоторое прямое произведение R. ^я . Эквивалентно, M не имеет кручения, если каждый ненулевой элемент M имеет ненулевой образ при некотором R -линейном функционале f :

$f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.$

Это понятие было введено Хайманом Бассом .

Свойства и примеры

Модуль не имеет кручения тогда и только тогда, когда каноническое отображение в свой двойник двойной

$M\to M^{\ast \ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast },R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast },$

является инъективным . Если это отображение биективно, то модуль называется рефлексивным . По этой причине некрутильные модули еще называют полурефлексивными .

• Унитарный свободный модуль не имеет кручения. В более общем смысле, прямая сумма модулей без кручения не имеет кручения.
• Свободный модуль рефлексивен, если он конечно порожден , а для некоторых колец существуют также бесконечно порожденные свободные модули, которые являются рефлексивными. Например, прямая сумма счетного числа копий целых чисел представляет собой рефлексивный модуль над целыми числами, см., например.

• Субмодуль безкрутильного модуля является безкрученным. В частности, любой проективный модуль над R не имеет кручения; любой левый идеал кольца R является левым модулем без кручения, и аналогично для правых идеалов.
• Любой модуль без кручения над областью является модулем без кручения , но обратное неверно, поскольку Q -модуль без кручения — Z , который не является без кручения.
• Если R — коммутативное кольцо , являющееся областью целостности , а M — конечно порожденный модуль без кручения, то M можно вложить в R ^н , и, следовательно, M не имеет кручения.
• Предположим, что N — правый R -модуль, тогда его двойственный N ^∗ имеет структуру левого R -модуля. Оказывается, любой левый R- возникающий таким образом модуль не имеет кручения (аналогично любой правый R -модуль, двойственный левому R -модулю, не имеет кручения).
• В дедекиндовой области конечно порожденный модуль рефлексивен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения.
• Пусть R — нётерово кольцо , а M рефлексивный конечно порождённый модуль над R. — Затем $M\otimes _{R}S$ является рефлексивным модулем S если S плоско , над R. над

с

Стивен Чейз доказал следующую характеристику полунаследственных колец в связи с модулями без кручения:

Для любого кольца R следующие условия эквивалентны:

• R полунаследственный слева.
• Все правые R -модули без кручения плоские .
• Кольцо R слева когерентно и удовлетворяет любому из четырех условий, которые, как известно, эквивалентны:
  • Все правые идеалы R плоские.
  • Все левые идеалы R плоские.
  • Подмодули всех правых плоских R -модулей плоские.
  • Подмодули всех левых плоских R -модулей плоские.

(Смешение левых и правых прилагательных в утверждении не является ошибкой.)

См. также

• Домен экзаменатора
• рефлексивная связка

Ссылки

• Глава VII Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN  3-540-64239-0
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294