Кольцо целых чисел

В математике кольцо целых чисел поля алгебраических чисел. $K$ — кольцо всех целых алгебраических чисел, содержащихся в $K$. Алгебраическое целое число является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами : $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}$. Это кольцо часто обозначается $O_{K}$ или ${\mathcal {O}}_{K}$. Поскольку любое целое число принадлежит $K$ и является неотъемлемым элементом $K$, кольцо $\mathbb {Z}$ всегда подкольцом является $O_{K}$.

Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ — простейшее возможное кольцо целых чисел. А именно, $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }$ где $\mathbb {Q}$ это поле рациональных чисел . И действительно, в теории алгебраических чисел элементы $\mathbb {Z}$ Из-за этого их часто называют «рациональными целыми числами».

Следующий простейший пример — кольцо гауссовских целых чисел. $\mathbb {Z} [i]$, состоящий из комплексных чисел которых , действительная и мнимая части являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в числовом поле $\mathbb {Q} (i)$ гауссовых рациональных чисел , состоящих из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются рациональными числами. Подобно целым рациональным числам, $\mathbb {Z} [i]$ является евклидовой областью .

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел — это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда домен Дедекинда .

Характеристики

Кольцо целых чисел O _K является конечно-порожденным Z - модулем . Действительно, это свободный Z -модуль и, следовательно, он имеет базис , то есть базис b ₁ , ..., b _n ∈ OK _Q пространства - векторного K   такой , что каждый элемент x в OK _{целочисленный} может быть уникально представлен как

$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$

с я _€ ​ Z . Ранг ​   n OK ​ _Z свободного Q равен степени K -модуля над . как

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезным инструментом для вычисления целого замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле K / Q является дискриминант . Если K имеет степень n над Q и $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}$ образуют базис K над Q , положим $d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$. Затем, ${\mathcal {O}}_{K}$ является подмодулем Z , -модуля натянутым на $\alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d$. ^{стр. 33} Действительно, если d свободно от квадратов, то $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ составляет неотъемлемую основу для ${\mathcal {O}}_{K}$. ^{стр. 35}

Циклотомные расширения

Если p — простое число , ζ — корень p- й степени из единицы и K = Q ( ζ ) — соответствующее круговое поле , то целочисленный базис O _K = Z [ ζ ] задается формулой (1, ζ , ζ ² , ..., г ^{р -2} ) .

Квадратичные расширения

Если $d$ представляет собой целое число без квадратов и $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ – соответствующее квадратичное поле , то ${\mathcal {O}}_{K}$ является кольцом целых квадратичных чисел , и его целая база определяется формулой (1, (1 + √ d )/2) , если d ≡ 1 ( mod 4) , и (1, √ d ), если d ≡ 2, 3 (mod 4) . ) . Это можно найти, вычислив минимальный полином произвольного элемента. $a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ где $a,b\in \mathbf {Q}$.

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством однозначной факторизации : например, в кольце целых чисел Z [ √ −5 ] элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. на неприводимые:

$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).$

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовой областью и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы .

Единицы конечно кольца целых чисел — _OK по порожденная абелева группа теореме Дирихле о единицах . состоит Круглая подгруппа из корней из единицы K . Набор образующих без кручения называется набором фундаментальных единиц .

Обобщение

Кольцо целых чисел неархимедова локального поля F определяется как множество всех элементов F с абсолютным значением ≤ 1 ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. Если F является пополнением поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением кольца целых чисел последнего. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.

Например, целые p -адические числа Z _p представляют собой кольцо целых p -адических чисел Q _p   .

См. также

• Минимальный полином (теория поля)
• Интегральное замыкание - дает метод расчета интегральных замыканий.

Ссылки

• Аладжа, Сабан; Уильямс, Кеннет С. (2003). Введение в алгебраическую теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780511791260 .
• Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 3. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-31525-5 . Збл   0595.12006 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Самуэль, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел . Германн/Кершоу.