Кручение (алгебра)

В математике , особенно в теории колец , элемент кручения элемент модуля , который дает ноль при умножении на некоторый ненулевой делитель кольца — это . Подмодуль кручения модуля — это подмодуль, образованный элементами кручения (в тех случаях, когда это действительно подмодуль, например, когда кольцо коммутативно ). Торсионный модуль – модуль, полностью состоящий из торсионных элементов. Модуль не имеет кручения, если его единственным элементом кручения является нулевой элемент.

Эта терминология чаще используется для модулей над областью определения , то есть когда регулярными элементами кольца являются все его ненулевые элементы.

Эта терминология применима к абелевым группам (где «модуль» и «подмодуль» заменены на « группа » и « подгруппа »). Это допускается тем фактом, что абелевы группы являются модулями над кольцом целых чисел (фактически отсюда и возникла терминология, которая была введена для абелевых групп до того, как была обобщена на модули).

В случае групп некоммутативных периодический элемент — это элемент конечного порядка . В отличие от коммутативного случая, элементы кручения вообще не образуют подгруппу.

Определение

Элемент m модуля ) , M над кольцом R называется периодическим элементом модуля, если существует регулярный элемент r кольца (элемент, который не является ни левым, ни правым делителем нуля аннулирующий m , т. е. r м = 0. В области целостности ( коммутативном кольце без делителей нуля) каждый ненулевой элемент является регулярным, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности - это элемент, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это определение торсионного элемента, но это определение не работает для более общих колец.

Модуль M над кольцом R называется периодическим, если все его элементы являются периодическими элементами, и без кручения, если единственным периодическим элементом является нуль. ^[1] Если кольцо R то множество всех элементов кручения образует подмодуль M , называемый подмодулем кручения M коммутативно , , иногда обозначаемый T( M ). Если R не коммутативен, T( M ) может быть или не быть подмодулем. показано В ( Lam 2007 ) , что R является правым кольцом Оре тогда и только тогда, когда T( M ) является подмодулем M для всех правых R -модулей. Поскольку правые нётеровы области являются Оре, это охватывает случай, когда R является нётеровой справа областью (которая может не быть коммутативной).

В более общем смысле, пусть M — модуль над кольцом R , а S — мультипликативно замкнутое кольца R. подмножество Элемент m кольца M называется элементом S -кручения, если существует элемент s из S такой, что s аннулирует m , т. е. s m = 0. можно взять В частности, в качестве S множество регулярных элементов кольца R и восстановить определение выше.

Элемент g группы m G называется периодическим элементом группы, если он имеет конечный порядок, т. е. если существует целое положительное число такое , что g ^м = e , где e обозначает единичный элемент группы, а g ^м обозначает произведение m копий g . Группа называется периодической (или периодической), если все ее элементы являются периодическими элементами, а группа без кручения, если ее единственным элементом кручения является единичный элемент. Любую абелеву группу можно рассматривать как модуль над кольцом целых чисел Z , и в этом случае два понятия кручения совпадают.

Примеры

Пусть M — свободный модуль над любым R. кольцом Тогда из определений непосредственно следует, что M не имеет кручения (если кольцо R не является областью определения, то кручение рассматривается относительно множества S неделителей нуля кольца R ). В частности, любая свободная абелева группа не имеет кручения, и любое векторное пространство над полем K не имеет кручения, если рассматривать его как модуль над K .
В отличие от примера 1, любая конечная группа (абелева или нет) периодична и конечно порождена . Проблема Бернсайда , наоборот, спрашивает, должна ли конечно порожденная периодическая группа быть конечной. В целом ответ «нет», даже если период фиксирован.
Элементами кручения мультипликативной группы поля являются его корни из единицы .
В модулярной группе , Γ полученной из группы SL(2, Z ) целочисленных матриц размера 2×2 с единичным определителем путем факторизации ее центра , любой нетривиальный элемент кручения либо имеет второй порядок и сопряжен с элементом S , либо имеет третий порядок. и сопряжен элементу ST . В этом случае элементы кручения не образуют подгруппу, например S · ST = T , имеющую бесконечный порядок.
Абелева группа Q / Z , состоящая из рациональных чисел по модулю 1, является периодической, т. е. каждый элемент имеет конечный порядок. Аналогично, модуль K ( t )/ K [ t ] над кольцом R = K [ t ] многочленов от одной переменной является чистым кручением. Оба эти примера можно обобщить следующим образом: если R — область целостности и Q — ее поле частных , то Q / R — периодический R -модуль.
Периодическая подгруппа группы ( R / Z , +) равна ( Q / Z , + ), а группы ( R , + ) и ( Z , +) не имеют кручения. Фактор абелевой группы без кручения по подгруппе не имеет кручения точно тогда, когда подгруппа является чистой подгруппой .
Рассмотрим линейный оператор L, действующий в конечномерном векторном пространстве V над полем K . Если рассматривать V как K [ L ]-модуль естественным образом, то (в силу многих обстоятельств, либо просто в силу конечномерности, либо как следствие теоремы Кэли–Гамильтона ) V является кручением K [ L ]-модуль.

Случай области главных идеалов

Предположим, что R — (коммутативная) область главных идеалов , а M — конечно порожденный R -модуль . Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает детальное описание модуля M с точностью до изоморфизма . В частности, оно утверждает, что

M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),

где F — свободный R -модуль конечного ранга (зависящий только от M ), а T( M ) — периодический M. подмодуль Как следствие , любой конечно порожденный модуль без кручения над R свободен. Это следствие не справедливо для более общих коммутативных областей, даже для R = K [ x , y ], кольца многочленов от двух переменных.Для неконечно сгенерированных модулей приведенная выше прямая декомпозиция неверна. Круглая подгруппа абелевой группы не может быть прямым слагаемым ее .

Перекрут и локализация

Предположим, что R — коммутативная область, а M — R -модуль. Пусть Q — поле частных кольца R . Тогда можно рассмотреть Q -модуль

M_{Q}=M\otimes _{R}Q,

полученное из M расширением скаляров . Поскольку Q — поле, модуль над Q — векторное пространство, возможно, бесконечномерное. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M в MQ _M , и ядром этого гомоморфизма является в точности подмодуль кручения T( ) . В более общем смысле, если — мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то мы можем рассмотреть локализацию R S -модуля M ,

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

является модулем над локализацией RS _{который} . Существует каноническое отображение M в MS _- , ядром которого является в точности торсионный подмодуль M. S Таким образом, торсионный подмодуль М можно интерпретировать как совокупность элементов, «исчезающих в локализации». Та же интерпретация продолжает сохраняться в некоммутативной ситуации для колец, удовлетворяющих условию Оре для любого множества правого знаменателя S и правого R -модуля M. , или, в более общем смысле ,

Кручение в гомологической алгебре

Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N — два модуля над коммутативной областью R (например, две абелевы группы, когда R = Z ), функторы Tor дают семейство R -модулей Tor _i ( M , N ). -кручение S -модуля R M Tor канонически изоморфно ^Р₁ ( M , RS ₎ / R точной последовательностью Tor ^Р_* : короткая точная последовательность $0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0$ R -модулей дает точную последовательность $0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}$ , и, следовательно, $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)$ является ядром карты локализации M . Символ $Tor,$ обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Тот же результат справедлив для некоммутативных колец, а также до тех пор, пока множество S является множеством правого знаменателя .

Абелевы многообразия

Элементами кручения абелева многообразия являются точки кручения или, в более старой терминологии, точки деления . На эллиптических кривых они могут быть вычислены с помощью полиномов деления .

См. также

Ссылки

^ Роман 2008 , с. 115, §4

Источники

Эрнст Кунц, « Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию », Биркхаузер 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Ирвинг Каплански , « Бесконечные абелевы группы », Мичиганский университет, 1954.
Мишель Хазевинкель (2001) [1994], «Торсионный субмодуль» , Энциклопедия математики , EMS Press
Лам, Цит Юэн (2007), Упражнения с модулями и кольцами , Сборники задач по математике, Нью-Йорк: Springer, стр. xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4 , МР 2278849
Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, стр. 446, ISBN 978-0-387-72828-5 .

[1] Роман 2008 , с. 115, §4

[1]