Структурная теорема для конечно порожденных модулей в области главных идеалов

В математике , в области абстрактной алгебры , структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главного идеала является обобщением фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах и грубо утверждает, что конечно порожденные модули в области главного идеала (PID) могут быть однозначно разложены во многом так же, как целые числа имеют простую факторизацию . Результат обеспечивает простую основу для понимания различных результатов канонической формы для квадратных матриц над полями .

Заявление

Если векторное пространство над полем F имеет конечное можно извлечь базис, состоящий из конечного числа n векторов, и поэтому пространство изоморфно F. порождающее множество, то из него ^н . Соответствующее утверждение, в котором F обобщено на область главных идеалов R, больше не верно, поскольку базис для конечно порожденного модуля над R может не существовать. Однако такой модуль все равно изоморфен фактору некоторого модуля R ^н с конечным n (чтобы убедиться в этом, достаточно построить морфизм, переводящий элементы канонического базиса R ^н к генераторам модуля и множим по его ядру .) Изменяя выбор порождающего набора, можно фактически описать модуль как частное некоторого R ^н особенно простым подмодулем , и это структурная теорема.

Структурная теорема для конечно порожденных модулей в области главных идеалов обычно появляется в следующих двух формах.

факторное

Для каждого конечно порожденного модуля M над областью главных идеалов R существует единственная убывающая последовательность собственных идеалов. $(d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})$ такой, что M изоморфен сумме циклических модулей :

$M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).$

Генераторы $d_{i}$ идеалов уникальны с точностью до умножения на и называются инвариантными М. единицу факторами Поскольку идеалы должны быть собственными, эти факторы сами по себе не должны быть обратимыми (это позволяет избежать тривиальных факторов в сумме), а включение идеалов означает, что существует делимость. $d_{1}\,|\,d_{2}\,|\,\cdots \,|\,d_{n}$. Свободная часть видна в той части разложения, которая соответствует факторам $d_{i}=0$. Такие факторы, если таковые имеются, возникают в конце последовательности.

Хотя прямая сумма однозначно определяется M , изоморфизм, задающий само разложение, вообще говоря, не единственен . Например, если R на самом деле является полем, то все встречающиеся идеалы должны быть равны нулю, и получается разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространств ; количество таких факторов фиксировано, а именно размерность пространства, но имеется большая свобода выбора самих подпространств (если dim M > 1 ).

Ненулевое $d_{i}$ элементы вместе с количеством $d_{i}$ которые равны нулю, образуют полный набор инвариантов модуля. Явно это означает, что любые два модуля, имеющие один и тот же набор инвариантов, обязательно изоморфны.

Некоторые предпочитают писать свободную часть М отдельно:

$R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n-f})\;,$

где видно $d_{i}$ ненулевые, а f — количество $d_{i}$в исходной последовательности, которые равны 0.

Первичное разложение

Каждый конечно порожденный модуль M над областью главных идеалов R изоморфен одному из видов

$\bigoplus _{i}R/(q_{i})\;,$

где $(q_{i})\neq R$ и $(q_{i})$ являются первичными идеалами . $q_{i}$ уникальны (с точностью до умножения на единицы).

Элементы $q_{i}$ называются делителями M . элементарными В ПИД ненулевые первичные идеалы являются степенями простых чисел, поэтому $(q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})=(p_{i})^{r_{i}}$. Когда $q_{i}=0$, результирующий неразложимый модуль будет $R$ сам по себе, и это внутри той части M , которая является свободным модулем.

Слагаемые $R/(q_{i})$ неразложимы , поэтому первичное разложение представляет собой разложение на неразложимые модули, и, таким образом, каждый конечно порожденный модуль над PID является полностью разложимым модулем . Поскольку ПИД являются нетеровыми кольцами , это можно рассматривать как проявление теоремы Ласкера-Нётер .

Как и раньше, можно написать свободную часть (где $q_{i}=0$) отдельно и выразим M как

$R^{f}\oplus (\bigoplus _{i}R/(q_{i}))\;,$

где видно $q_{i}$ ненулевые.

Доказательства

Одно из доказательств выглядит следующим образом:

• Каждый конечно сгенерированный модуль над PID также является конечно представленным, поскольку PID является нётеровым, что является даже более сильным условием, чем когерентность .
• Сделайте презентацию, которая представляет собой карту $R^{r}\to R^{g}$ (отношения к генераторам) и приведем к нормальной форме Смита .

Это дает разложение на инвариантные факторы, а диагональные элементы нормальной формы Смита являются инвариантными факторами.

Еще один план доказательства:

• Обозначим через tM подмодуль кручения модуля M . Тогда M / tM — конечно порожденный модуль без кручения , и такой модуль над коммутативным ПИД — свободный модуль конечного ранга , поэтому он изоморфен $R^{n}$ для положительного целого числа n . Этот свободный модуль может быть вложен как подмодуль F модуля M так, что вложение разбивает (является правой инверсией) карту проекции; поднять каждую из образующих F в M. достаточно Как следствие $M=tM\oplus F$.
• Тогда для простого элемента p в R мы можем говорить о $N_{p}=\{m\in tM\mid \exists i,mp^{i}=0\}$. Это подмодуль tM , и оказывается, что каждый N _p является прямой суммой циклических модулей и что tM является прямой суммой N _p для конечного числа различных простых чисел p .
• Объединив предыдущие два шага, М разлагается на циклические модули указанных типов.

Следствия

Сюда входит классификация конечномерных векторных пространств как частный случай, когда $R=K$. Поскольку поля не имеют нетривиальных идеалов, каждое конечно порожденное векторное пространство является свободным.

принимая $R=\mathbb {Z}$ дает фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах .

Пусть T — линейный оператор в конечномерном векторном пространстве V над K . принимая $R=K[T]$, алгебра полиномов оцененными с коэффициентами из K, в T , дает структурную информацию о T . V можно рассматривать как конечно порожденный модуль над $K[T]$. Последний инвариантный множитель представляет собой минимальный полином , а произведение инвариантных множителей представляет собой характеристический полином . В сочетании со стандартной матричной формой для $K[T]/p(T)$, это дает различные канонические формы :

• инвариантные факторы + сопутствующая матрица дают нормальную форму Фробениуса (также известную как рациональная каноническая форма )
• первичное разложение + сопутствующая матрица дает первичную рациональную каноническую форму
• первичное разложение + жордановые блоки дает жорданову каноническую форму (последняя справедлива только над алгебраически замкнутым полем )

Уникальность

Хотя инварианты (ранг, инвариантные факторы и элементарные делители) уникальны, изоморфизм между M и его канонической формой не уникален и даже не сохраняет разложение в прямую сумму . Это следует из того, что существуют нетривиальные автоморфизмы этих модулей, не сохраняющие слагаемые.

Однако существует канонический подмодуль кручения T и подобные канонические подмодули, соответствующие каждому (отдельному) инвариантному фактору, которые дают каноническую последовательность:

$0<\cdots <T<M.$

Сравните композиционные ряды в теореме Жордана–Гёльдера .

Например, если $M\approx \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2$, и $(1,{\bar {0}}),(0,{\bar {1}})$ это одна основа, то $(1,{\bar {1}}),(0,{\bar {1}})$ это другой базис, а замена базисной матрицы ${\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}$ не сохраняет слагаемое $\mathbf {Z}$. Однако он сохраняет $\mathbf {Z} /2$ слагаемое, так как это подмодуль кручения (что эквивалентно здесь 2-торсионным элементам).

Обобщения

Группы

Теорема Йордана–Гёльдера — более общий результат для конечных групп (или модулей над произвольным кольцом). В этой общности получается композиционный ряд , а не прямая сумма .

Теорема Крулля-Шмидта и связанные с ней результаты дают условия, при которых модуль имеет что-то вроде первичного разложения, разложения в прямую сумму неразложимых модулей , в которых слагаемые уникальны с точностью до порядка.

Первичное разложение

Первичное разложение обобщается на конечно порожденные модули над коммутативными нётеровыми кольцами , и этот результат называется теоремой Ласкера-Нётер .

Неразложимые модули

Напротив, уникальное разложение на неразложимые подмодули не дает столь далекого обобщения, и отказ измеряется идеальной группой классов , которая исчезает для PID.

Для колец, которые не являются областями главных идеалов, однозначное разложение может не выполняться даже для модулей над кольцом, порожденным двумя элементами. Для кольца R = Z [√−5] как модуль R , так и его подмодуль M, порожденный 2 и 1 + √−5, неразложимы. Хотя R не изоморфен M , R ⊕ R изоморфен M ⊕ M ; таким образом, образы слагаемых M дают неразложимые подмодули L ₁ , L ₂ < R ⊕ R которые дают другое разложение R ⊕ R. , Неудача однозначной факторизации R ⊕ R в прямую сумму неразложимых модулей напрямую связана (через идеальную группу классов) с неудачей однозначной факторизации элементов R в неприводимые элементы R .

Однако в дедекиндовой области группа идеальных классов является единственным препятствием, и структурная теорема обобщается на конечно порожденные модули в дедекиндовой области с небольшими модификациями. По-прежнему существует единственная часть кручения с дополнением без кручения (единственным с точностью до изоморфизма), но модуль без кручения над дедекиндовой областью больше не обязательно является свободным. Модули без кручения над дедекиндовой областью определяются (с точностью до изоморфизма) рангом и классом Стейница (который принимает значение в группе идеальных классов), а разложение в прямую сумму копий R (свободных модулей первого ранга) заменяется прямая сумма в проективные модули ранга один : отдельные слагаемые не определены однозначно, но класс Стейница (суммы) определен.

Неконечно генерируемые модули

Аналогично, для модулей, которые не являются конечно порожденными, нельзя ожидать такого хорошего разложения: даже количество факторов может варьироваться. Существуют Z -подмодули модуля Q ⁴ которые одновременно являются прямыми суммами двух неразложимых модулей и прямыми суммами трех неразложимых модулей, показывая, что аналог первичного разложения не может выполняться для бесконечно порожденных модулей, даже для целых чисел Z .

Другая проблема, которая возникает с неконечно сгенерированными модулями, заключается в том, что существуют модули без кручения, которые не являются свободными. Например, рассмотрим кольцо Z целых чисел. Тогда Q -модуль без кручения, — Z который не является свободным. Другим классическим примером такого модуля является группа Бэра – Спекера , группа всех последовательностей целых чисел при почленном сложении. В общем, вопрос о том, какие бесконечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными, зависит от того, какие большие кардиналы существуют. Следствием этого является то, что любая структурная теорема для бесконечно порожденных модулей зависит от выбора аксиом теории множеств и может быть недействительной при другом выборе.

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-43334-7 , МР   2286236
• Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра , Нью-Йорк: Springer, стр. 218–226, Раздел IV.6: Модули в основной идеальной области, ISBN  978-0-387-90518-1
• Джейкобсон, Натан (1985), Основная алгебра. I (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii+499, ISBN  0-7167-1480-9 , МР   0780184
• Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5